高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷 第三章 函数概念与性质 B卷 能力提升

第三章   函数概念与性质 B卷

能力提升

【满分：120分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若函数的定义域为，则函数的定义域为(   ).

A. B. C. D.

2.函数则等于(   )

A.1 B.3 C.-1 D.-3

3.下列函数中，与相同的函数是(   ).

A.  B.

C.  D.

4.下列函数中，既是幂函数，又是奇函数的是(   )

A. B. C. D.

5.函数的图像是(   )

A. B.

C. D.

6.若函数与的图像关于直线对称，且，则的图像必过定点(   )

A. B. C. D.

7.已知设，则函数的最大值是(   )

A.-2 B.1 C.2 D.3

8.已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的个数是(   )

①；

②；

③；

④.

A.1 B.2 C.3 D.4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列函数是幂函数的是(   )

A. B. C. D.

10.若函数，则(   )

A.函数为偶函数 B.函数在定义域上单调递增

C.函数的值域为R D.

11.某公司计划定制一批精美的小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾.现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费.甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系的图像分别如图中甲、乙所示，则(   )

A.甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为

B.当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元

C.当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为

D.若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用

12.已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有(   )

A.为偶函数

B.在定义域内为增函数

C.若，则

D.若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数，则__________.

14.已知是奇函数，当时，，则_________.

15.已知函数，若存在实数m，使得函数的定义域和值域都是，则m的值是_________.

16.已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是___________.

四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数（a，b为常数，）满足，方程有唯一解，求：

（1）的解析式；

（2）的值.

18.已知m是整数，幂函数在上是单调递增函数.

（1）求幂函数的解析式；

（2）作出函数的大致图像；

（3）写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性.

19.定义在R上的单调函数满足恒等式，且.

（1）求，；

（2）判断函数的奇偶性，并证明；

（3）若对于任意都有成立，求实数k的取值范围.

20.已知函数.

（1）求函数的定义域和值域；

（2）设，求函数的最大值的表达式.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由，得.

2.答案：D

解析：由题意，得，所以.故选D.

3.答案：D

解析：对于A，两个函数的对应法则不同；对于B，C，两个函数的定义域不同；对于D，因为，所以，且.

4.答案：D

解析：根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，A错误；的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，B错误；是偶函数，C错误；既是幂函数，又是奇函数，D正确.故选D.

5.答案：C

解析：对于，当时，；当时，.即结合选项可知选项C正确.故选C.

6.答案：D

解析：，，，函数的图像过定点.函数与的图像关于直线对称，函数必过定点.故选D.

7.答案：B

解析：当，即时，在上单调递增，所以.当，即时，在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以.综上可知，函数的最大值为1.故选B.

8.答案：D

解析：因为是偶函数，所以.令，得，故，所以，即，所以函数的图像关于直线对称.因为是奇函数，所以，且函数的图像关于点对称.因为函数的图像是由函数的图像向右平移1个单位长度得到的，所以函数的图像关于点对称，所以，所以，则，即，故有，故①正确.由函数的图像关于直线对称，，得，所以，故②正确.因为，且函数的图像关于点对称，所以，所以，故③正确.，故④正确.所以正确命题的个数为4.故选D.

9.答案：BC

解析：的系数不是1，不是幂函数；是幂函数；是幂函数；不是幂函数.故选BC.

10.答案：ACD

解析：因为函数的定义域为，，所以函数为偶函数，A正确；当时，单调递减，单调递增，所以函数单调递减，当时，单调递增，单调递减，所以函数单调递增，B错误；当时，，，所以，当时，，，所以，所以函数的值域为R，C正确；，D正确.故选ACD.

11.答案：ABC

解析：由题图知，甲厂的费用与礼品数量x满足的函数为一次函数，其图像过，两点，所以甲厂的费用与礼品数量x满足的函数关系式为，故A正确.当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为（元），故B正确.易知当时，与x之间的函数为一次函数，其图像过，两点，所以函数的关系式为，故C正确.当时，（千元），（千元）.因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D错误.选ABC.

12.答案：BCD

解析：设.将点的坐标代入，得，则，所以，所以的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确；因为，所以函数在定义域上为增函数，所以B正确；当时，，即，所以C正确；若，则，即，所以D正确.故选BCD.

13.答案：

解析：令，则，，故，.

14.答案：-4

解析：因为是奇函数，当时，，所以，解得.所以，.因为是奇函数，所以.

15.答案：3

解析：函数的图像开口向上，其对称轴为直线，因此在上单调递增.依题意，得，且，即.又，所以.

16.答案：

解析：因为函数对任意给定的实数，，恒成立，即恒成立，所以函数在R上为减函数.又函数是R上的奇函数，所以，则由不等式，得或即或解得.所以原不等式的解集为.

17.答案：（1）

（2）

解析：（1）因为，所以①.

由，得，整理得.

①若方程有两个相等的实根，则，代入①式得，

此时.

②若方程的一根为0，另一根为，

则，这不可能.

综上，.

（2）由（1）知，所以.

18.答案：（1）

（2）见解析

（3）在区间上单调递增

解析：（1）由题意知，，解得.

因为m是整数，所以或.

当时，；当时，.

综上可知，幂函数的解析式为.

（2）由（1）可知，则.

作出函数的图像，如图.

（3）由（2）可知，的单调递减区间为，；单调递增区间为，.

当时，.

设任意的，且，

则，

所以在区间上单调递增.

19.答案：（1），

（2）函数是奇函数

（3）实数k的取值范围为

解析：（1）令，得.

令，，得，

，.

（2）函数是奇函数.证明如下.

令，得，

，即，

函数是奇函数.

（3）因为是奇函数，且在上恒成立，

在上恒成立.

是定义域在R上的单调函数，且，

是R上的增函数，

，

即在上恒成立，

在上恒成立.

令.

，.

由抛物线的图像，得，.

故实数k的取值范围为.

20.答案：（1）函数的定义域是；值域为

（2）

解析：（1）要使函数有意义，需满足解得.

函数的定义域是.

，又，

.

，，

即函数的值域为.

（2）令，则，，

函数可以转化为，.

当时，函数的图像的对称轴为直线.

①当时，，函数在区间上单调递增，.

②当时，，.

③当时，，若，即，

则函数在区间上单调递减，；

若，即，则；

若，即，

则函数在区间上单调递增，.

综上可知，