初中22.1.1 二次函数练习

这是一份初中22.1.1 二次函数练习，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第22章二次函数A卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3
2．已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）关于行驶速度v（km/h）的函数图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列二次函数的图象的对称轴是y轴的是（　　）
A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣x2+1
4．若二次函数（，，为常数，）的图象上有五个不同的点：，，，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
5．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）

A． B． C． D．
6．抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y≥0，则x的取值范围是（    ）

A．-41 D．x<-3或x>1
7．抛物线（是常数）的顶点在（          ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．一条抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，m），m＜0，且与x轴有两个交点，其中一个交点是（5，0），则对a、b、c描述正确的是（    ）
A．a＞0、b＜0、c＞0 B．a＞0、b＜0、c＜0 C．a＜0、b＞0、c＞0 D．a＜0、b＞0、c＜0
9．二次函数的图像如图所示，下列结论正确的是(    )

A． B． C． D．有两个不相等的实数根
10．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（      ）

A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜

二、填空题
11．若抛物线的最低点为，则 ， ．
12．二次函数的解析式为，顶点坐标是 ．
13．二次函数y＝2（x﹣3）2+4的最小值为 ．
14．二次函数y＝x2+bx+c经过（5，3）和（﹣2，3），则当x＝ 时，函数取到最小值．
15．二次函数y=ax2+c的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1，1)，则该二次函数的解析式为 ．
16．抛物线的对称轴是 ．
17．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）在抛物线y=（x+）2上，则y1 y2．（填＞、＜或=号）．
18．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④若点B（－，y1），C（－，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论是 ．


三、解答题
19．画出二次函数y＝(x﹣1)2的图象．
20．已知抛物线，
（1）用配方法求出它的顶点坐标、对称轴方程．
（2）画草图，结合图像回答 x取何值时，y<0?
21．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．  

22．已知二次函数的顶点坐标为(3，－1)，且其图象经过点(4，1)，求此二次函数的解析式.
23．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2  ， 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

24．如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

参考答案：
1．A
【分析】二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k，对称轴为x＝h．
【详解】抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h．
2．C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有：v•t＝s，
∴，
故t与v之间的函数图象为反比例函数，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图象在第一象限．
故选：C．
【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
3．D
【分析】根据二次函数顶点式的性质，分别得出对称轴即可．
【详解】解：A. y＝﹣（x+1）2+1，对称轴是直线x＝﹣1，故此选项不合题意；
B. y＝（x﹣1）2+1，对称轴是直线x＝1，故此选项不合题意；
C. y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴是直线x＝1，故此选项不合题意；
D. y＝﹣x2+1对称轴是y轴，符合题意．
故答案选：D．
【点睛】本题考查二次函数顶点式的基本性质，二次函数顶点式的基本形式为（），其中顶点坐标为，函数的对称轴为直线.
4．B
【分析】由点、的对称性，可求函数的对称轴为，再由与对称轴的距离即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象经过、，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵与对称轴的距离C最远，D最近，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
5．B
【详解】由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y=的图象在第二、四象限，
故选B．
6．B
【分析】根据抛物线的对称轴为x=-1，一个交点为（1，0)，可推出另一交点为（-3，0)，结合图象求出y≥0时，x的范围．
【详解】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=-1，已知一个交点为（1，0)，
根据对称性，则另一交点为（-3，0)，
所以y≥0时，x的取值范围是-3≤x≤1．
故选：B．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点．此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=-x2+bx+c的完整图象
7．A
【详解】∵，
∴顶点坐标为： ，
∵
∴顶点在第一象限．
故选：A．
8．B
【分析】根据抛物线的顶点坐标公式和其中一个交点坐标可得关于 a、b、c、m的方程组，解方程组可将c、b用含a的代数式表示出来，根据m＜0可判断a、b、c的符号．
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
由c﹣4a＜0得，﹣5a﹣4a＜0，故a＞0，则b＜0，c＜0，
故答案为：B．
【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及顶点坐标和解方程组以及不等式等知识，难度一般．
9．C
【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；由对称轴为x==1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x轴下方得到y=a-b+c＜0，结合b=-2a可得 3a+c＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.
【详解】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0，故A选项错误；
∵对称轴x==1，∴b=-2a，即2a+b=0，故B选项错误；
当x=-1时， y=a-b+c＜0，又∵b=-2a，∴ 3a+c＜0，故C选项正确；
∵抛物线的顶点为（1，3），
∴的解为x1=x2=1，即方程有两个相等的实数根，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
10．C
【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤﹣2
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
11． 3
【分析】由对称轴为1可求解b值，再代入b值和最低点即可求解c值.
【详解】解：由题意得，解得b=-2；再代入b=-2和，解得c=3.
【点睛】本题考查了对称轴的知识.
12．
【分析】由已知和抛物线的顶点式，直接判断顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数的解析式为：，
∴二次函数图象的顶点坐标为：（-1，3）．
故答案为（-1，3）．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k）．
13．4
【分析】根据二次函数的顶点式直接写出答案即可．
【详解】解：二次函数y＝2（x﹣3）2+4的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题给到的是二次函数的顶点式，可以直接写出我们的答案．
14．
【分析】利用二次函数的图象上点的坐标特征求得顶点的横坐标即可．
【详解】解：∵二次函数y＝x2+bx+c中，a＝1＞0，
∴函数有最小值，
∵二次函数y＝x2+bx+c经过（5，3）和（﹣2，3），两点的函数值相等，
∴当时，y有最小值，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得二次函数的顶点横坐标是解题的关键．
15．y=-3x2+4
【分析】根据二次函数的性质，利用待定系数法求解．
【详解】解：由题意可设所求函数为：，
∵所求函数经过点(1，1)，
∴，
∴c=4，
∴所求函数为：，
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．
16．
【分析】函数与x轴交点是，，即可求解．
【详解】令，则：或，
即：函数与x轴交点是，，
故：对称轴是
答案是．
【点睛】主要考查了对称点的特点和求抛物线的顶点坐标的方法．
17．
【分析】先判断函数的增减性，根据A、B的坐标可得出答案．
【详解】解：∵y= （x+ ）2，   
∴抛物线对称轴为x=﹣ ，开口向上，
∴当x＜﹣ 时，y随x增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜﹣ ，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点睛】此题考查二次函数的增减性及对称轴知识，难度一般，找出对称轴是关键．
18．①④
【详解】解：由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0即b2＞4ac，故①正确；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴=﹣1，即2a﹣b=0，故②错误；
∵抛物线与x轴的交点A坐标为（﹣3，0）且对称轴为x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∴将（1，0）代入解析式可得，a+b+c=0，故③错误；
∵开口向下，且|﹣+1|=，|﹣+1|=，
∴y1＜y2，故④正确；
综上，正确的结论是：①④，
故答案为：①④．
19．见解析
【分析】首先可得顶点坐标为（1，0），然后利用对称性列表，再描点，连线，即可作出该函数的图象．
【详解】列表得：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
1
0
1
4
…
如图：
．
【点睛】此题考查了二次函数的图象．注意确定此二次函数的顶点坐标是关键．
20．（1）顶点坐标为：（-），对称轴直线为：x=；（2）图见解析，x<-2或 x>
【分析】（1）根据配方法整理成顶点式的形式，然后写出顶点坐标及对称轴直线即可；
（2）求出抛物线与x轴两交点的顶点坐标，求当 y<0时，x的取值范围就是求x轴下方部分相应的自变量的取值范围，根据抛物线与x轴交点的横坐标即可直接得出答案．
【详解】（1）解：y=-2x2-x+6
=-2(x2+x)+6
=-2(x2+x+-)+6
=-2[ (x+ )2 -]+6
= -2(x+ )2 + +6
= -2(x+ )2 +
∴顶点坐标为：（- ），对称轴直线为：x=；
（2）解：画草图如下，

将y=0代入y=-2x2-x+6得-2x2-x+6=0，解得x1=，x2=-2，
∴抛物线与x轴两交点的坐标为（  ， 0），（-2，0），
∴当 y<0时，x的取值范围为 x<-2或 x>．
【点睛】此题属于二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数的性质，二次函数与二次函数的转化．
21．1
【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积．
【详解】解：∵二次函数
∴顶点
∵点在图像上且在轴上，即时的坐标
∴
∴
∴的面积
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键．
22．y=2（x－3）2－1
【分析】已知二次函数的顶点坐标，可用二次函数的顶点式来设抛物线的解析式，再将抛物线上点（4，1）代入，即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：设此二次函数的解析式为y=a（x-3）2-1；
∵二次函数图象经过点（4，1），
∴a（4-3）2-1=1，
∴a=2，
∴y=2（x-3）2-1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，难度不大．
23．y=﹣x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．  
【详解】试题分析：由矩形的性质结合BC的长度可得出AB的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y与x之间的函数关系式.
试题解析：∵四边形ABCD为矩形，BC=x
∴AB=．
根据题意得：，因为墙长25米，所以．
24．0
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数是二次函数，即可答题．
【详解】解：根据二次函数的定义：m2﹣3m+2=2，且m﹣3≠0，
解得：m=0．
【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
25．（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；．
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E．
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；．
连接PP′，则PE⊥CO于E，
．
∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=．
∴y=−；
∴x2-2x-3=−，
解得（不合题意，舍去）．
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），

设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得： ．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
则Q点的坐标为（x，x-3）；
当0=x2-2x-3，
解得：x1=-1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ．
=AB•OC+QP•BF+QP•OF．
=×4×3+ (−x2+3x)×3．
=− (x−)2+．
当x＝时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．