初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆课堂检测

第24章圆A卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）

A．12 B．15 C．16 D．18

2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°

3．若一个扇形的半径是，且它的弧长是 ，则此扇形的圆心角等于（ ）

A．

B．

C．

D．

4．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和4cm， 且O1O2=8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（   ）

A．外离 B．相交 C．相切 D．内含

5．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）

A． B． C．34 D．10

6．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（   ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

7．如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为（   ）

A．5 B． C．5 D．

8．如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（   ）

A．150° B．130° C．155° D．135°

9．下列命题中，正确的命题是（   ）

A．平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧

C．在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD      D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径

10．如图，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线，P为⊙O上的一个动点，作PH⊥于点H，连接PA．如果PA=，AH=y，那么下列图象中，能大致表示与的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图5，若管内污水的面宽AB=60cm，则污水的最大深度为      cm.

12．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝     ．

13．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A⇒B⇒A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当t为     s时，△BEF是直角三角形．

14．如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧 的长为        ．

15．如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠A+∠C=220°，则∠E=     °．

16．⊙O中的弦AB长等于半径长，则弦AB所对的圆周角是        ．

17．如图，线段AB与相切于点B，线段AO与相交于点C，AB=12，AC=8，则的半径长为         ．

18．如图，菱形的对角线相交于点O，将菱形绕点O按逆时针方向旋转得到菱形，若两个菱形重叠部分八边形的周长为16，，则的长为        ．

三、解答题

19．如图，点E为矩形ABCD上一点，且∠ACB=∠DCE．

（1）用尺规作图作⊙O，使其圆心O在对角线AC上，且经过点A、E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求证：CE是⊙O的切线．

20．尺规作图．试将已知圆的面积四等分．（保留作图痕迹，不写作法）

21．如图，中，弦与相交于点， ，连接．求证: ．

22．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm．

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求（1）中所作圆的半径．

23．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

求证：AC=BD．

24．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．

(1)求证：∠DAC=∠DCE；

(2)若AB=2，sin∠D=，求AE的长．

25．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，半径OD⊥AC于点E，过点D的切线与BA延长线交于点F．

(1)求证：∠CDB=∠BFD；

(2)若AB=10，AC=8，求DF的长．

参考答案：

1．A

【详解】∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，

∴AC=BC=AB=4．

设OA=r，则OC=r﹣2，

在Rt△AOC中，

∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，

∴AE=10，

∴BE= ，

∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12．

故选A．

2．B

【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】解：连接CD，

∵∠A＝50°，

∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，

∵E是边BC的中点，

∴OD⊥BC，

∴BD＝CD，

∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°，

故选：B．

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键．

3．D

【分析】由弧长公式变形可得n=，代入数据即可求解.

【详解】根据弧长的公式l= ，得n== =120°，

故选D．

【点睛】本题主要考查了弧长的有关计算，熟知弧长公式l=是解决问题的关键.

4．A

【分析】由⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、4cm，且圆心距O1O2=8cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．

【详解】∵⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、4cm，且圆心距O1O2=8cm，

又∵3+4＜8，

∴两圆的位置关系是外离．

故选A．

【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．

5．D

【详解】分析：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．

详解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．

∵DE=4，四边形DEFG为矩形，

∴GF=DE，MN=EF，

∴MP=FN=DE=2，

∴NP=MN-MP=EF-MP=1，

∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．

故选D．

点睛：本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．

6．A

【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．

【详解】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，

又∵7＞3+2，

∴两圆的位置关系是：外离．

故选A．

【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.

7．A

【分析】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．

【详解】解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，

此时AP+PB=QP+PB=QB，

根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，

连接OQ，OB，

∵B为的中点，

∴∠BOD=∠ACD=30°，

∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°，

∴∠BOQ=30°+60°=90°．

∵直径CD=10，

∴OB=CD=×10=5，

∴BQ===5，即PA+PB的最小值为5 ．

故选A．

【点睛】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理、圆的对称性质应用．

8．B

【分析】先根据切线的性质得到直角，再根据四边形的内角和计算出结果即可．

【详解】根据切线的性质可得：∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形的内角和定理可得：∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°，则∠AOB=360°－90°－90°－50°=130°．

【点睛】本题考查了切线的性质、四边形的内角和．

9．A

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【详解】解：A、平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦，正确，  

B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧，故原命题错误，

C、在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD，错误，

D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径所在的直线，故原命题错误，

故选A．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定，垂径定理，轴对称图形，真命题与假命题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

10．C

【详解】解：作直径AB，连接BP．

∴∠APB=90°，

∴∠B+∠BAP=90°，

∵l是切线，

∴∠BAH=90°，

∴∠PAH+∠BAP=90°，

∴∠PAH=∠B，

∵PH⊥AH，

∴∠BPA=∠AHP=90°，

∴△APB∽△PHA，

∴AB：AP=PA：PH，

∴12：x=x：，

∴，

观察图象，只有C符合，故选C．

11．10

【详解】解：过点O作OD垂直AB，连接OA，

∵OA=50cm，AD=AB=30cm，

在Rt△AOD中， OD==40cm，

∴污水的最大深度为50－40=10cm.

故答案是：10

12．132°/132度

【详解】解：∵正五边形的内角=180°-360°÷5=108°，

正六边形的内角=180°-360°÷6=120°，

∴∠BAC=360°－108°－120°=132°．

故答案为132°．

13．1或或

【详解】解∶∵AB是⊙O的直径，

∴∠C=90°．

∵∠ABC=60°，

∴∠A=30°．

又BC=3cm，

∴AB=6cm．

则当0≤t＜3时，即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．

若△BEF是直角三角形，则当∠BFE=90°时，点E与点O重合，即t=1；

当∠BEF=90°时，则BE=BF=，此时点E走过的路程是或，

则运动时间是s或s．

故答案为∶1或或

14．

【分析】根据已知条件求出圆心角∠BOC的大小，然后利用弧长公式即可解决问题．本题考查切线的性质、弧长公式、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是记住弧长公式，求出圆心角是关键，属于中考常考题型．

【详解】解：

∵AB是⊙O切线，

∴AB⊥OB，

∴∠ABO=90°，

∵∠A=30°，

∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，

∴∠BOC=120°，

∴ 的长为 = ．

故答案为 ．

【点睛】此题主要考查切线的性质，弧长的计算，解题的关键是熟知弧长公式的运用．

15．140

【详解】连接BF，BD，

∵∠A+∠C=220°，∴ 的度数+ 的度数=440°，

∴的度数=440°﹣360°=80°，∴∠DBF=40°，∴∠E=180°﹣∠DBF=140°，

故答案为140．

16．30°或150°

【分析】首先根据题意画出图形，再根据“⊙O中的弦AB长等于半径长”得到等边三角形，则弦所对的圆心角为60度，要求这条弦所对的圆周角分两种情况：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出两种类型的圆周角．

【详解】解：如图，  

AB为⊙O的弦，且AB=OA=BO，

∴△ABO为等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠P= ∠AOB=30°，

∴∠P′=180°﹣∠P=180°﹣30°=150°．

∠P、∠P′都是弦AB所对的圆周角．

所以圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是30°或150°．

故答案为：30°或150°．

【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是根据题意作辅助线进行求解．

17．5

【分析】连接OB，根据切线的性质求出∠ABO＝90°，在△ABO中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长．

【详解】解：连接OB，

∵AB切⊙O于B，

∴OB⊥AB，

∴∠ABO＝90°，

设⊙O的半径长为r，

由勾股定理得：r2+122＝（8+r）2，

解得r＝5．

故答案为：5．

【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是利用好切线的性质.

18．

【分析】设AD与GH交于点M．根据题意易证该八边形八条边分别相等，且OD=OH．即可求出，再根据菱形的性质和三角形外角的性质可求出，即DG=MD=2，设OD=OH=x，则OG=2+x，在中，由正切即可求出x，即OH的长．再在中，由正弦即可求出HG的长．

【详解】设AD与GH交于点M．

由旋转的性质可知该八边形八条边分别相等，且OD=OH．

∴．

∵，

∴，．

∴,

∴，

∴DG=MD=2．

设OD=OH=x，则OG=2+x，

在中，，

∴，

解得，经检验是原方程的根．

∴．

∵．

∴．

故答案为：．

【点睛】本题为旋转综合题，考查旋转的性质，菱形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．掌握菱形的性质是解答本题的关键．

19．（1）作图见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）由在上，作的垂直平分线交于 以为半径作即可得到答案；

（2）如图，连接 由矩形的性质，可得由 得到结合已知条件证明：再证明：从而利用切线的判定定理可得答案．

【详解】解：（1）如图，作的垂直平分线交于 以为半径作．

（2）如图，连接

矩形

由

在上，

是的切线．

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，圆的基本性质，矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，切线的判定定理，掌握以上知识是解题的关键．

20．见解析

【分析】若将已知圆的面积四等分，则可转化为作两条互相垂直的直径即可满足题意．

【详解】如图所示：直线m和n是互相垂直的直径，把圆O分成的四部分面积相等．

【点睛】此题考查复杂作图，熟练掌握垂径定理以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．

21．见解析

【分析】由AB=CD知，得到，再由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．

【详解】解：，

，即，

；

，

在△ADE和△CBE中，

，

∴△ADE≌△CBE（ASA），

.

【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．

22．（1）作图见解析；（2）圆的半径为13 cm．

【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；

（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．

【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，

以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆如图．

（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，

则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13．

答：圆的半径为13cm．

【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

23．证明见解析.

【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD．

【详解】过O作OE⊥AB于点E，

则CE=DE，AE=BE，

∴BE-DE=AE-CE.

即AC=BD.

【点睛】本题考查垂径定理的实际应用．

24．（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；

（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．

【详解】解：（1）∵AD是圆O的切线，

∴∠DAB=90°．

∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°．

∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，

∴∠DAC=∠B．

∵OC=OB，

∴∠B=∠OCB．

又∵∠DCE=∠OCB，

∴∠DAC=∠DCE．

（2）∵AB=2，

∴AO=1．

∵sin∠D=，

∴OD=3，DC=2．

在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==．

∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，

∴，即．

解得：DE=，

∴AE=AD﹣DE=．

25．（1）证明见解析（2）

【分析】（1）根据切线的性质得到DF⊥OD，由于OD⊥AC，推出DF∥AC，根据平行线的性质得到∠CAB=∠BFD，再根据圆周角定理即可得到结论；

（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DF的长．

【详解】解：（1）∵DF与⊙O相切，D为切点，

∴DF⊥OD，

∵OD⊥AC，

∴DF∥AC，

∴∠CAB=∠BFD，

∵∠CAB=∠CDB，

∴∠CDB=∠BFD；

（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，

∴AE=AC=×8＝4，

∵AB是⊙O的直径，

∴OA=OD=AB=×10=5，

在Rt△AEO中，OE==3，

∵AC∥DF，

∴△OAE∽△OFD，

∴，

∴，

∴DF=．

【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.