初中人教版第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数课堂检测

这是一份初中人教版第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数课堂检测，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第22章二次函数培优卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．抛物线y＝－x 2＋2x＋3的顶点坐标为（ 　　）
A．（1，3） B．（－1，4） C．（－1，3） D．（1，4）
2．抛物线的顶点坐标为（    ）
A． B． C． D．
3．现有一水塔，水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x(m3)，则要经过y(h)就可以把水放完该函数的图像大致应是下图中的（    ）
A． B． C． D．
4．边长为1的正方形的顶点在x轴的正半轴上，如图将正方形绕顶点O顺时针旋转75°得正方形，使点B恰好落在函数的图象上，则a的值为（　　　　）

A． B． C． D．
5．将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（    ）
A．y=(x-2)2 B．y=(x+2)2 C．y=x2-2 D．y=x2+2
6．二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，以下结论：①b>4ac；②b+2a<0；③当x<-，y随x的增大而增大；④a-b+c<0中，正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
8．已知：抛物线经过点，且满足，以下结论：①；②；③；④，其中正确的个数有(   )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是（         ）

A． B． C． D．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11．抛物线y＝2x2﹣4x+8的对称轴是 ．
12．当 时，二次函数 有最小值 ．
13．写出一个开口向上，且顶点为的抛物线解析式为 ．
14．若抛物线与x轴有两个公共点，则m的取值范围是 ．
15．二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为
16．已知二次函数y=x2﹣2ax（a为常数）．当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为
17．已知抛物线交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=3(x+2)2-1平移后得到抛物线y=3x2+2 .请你写出一种平移方法. 答： .

三、解答题
19．画出二次函数y＝(x﹣1)2的图象．
20．已知二次函数y＝（x﹣1）2．
（1）通过列表，描点（5个点），在下图画出该抛物线的图象；
（2）在（1）条件下，写出经过怎样的变化可得到函数y＝（x+1）2﹣3的图象．

21．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为40m的围网在水库中围成了如图所示的①②二块矩形区域．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

22．若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是多少？
23．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．

24．若y=（m2+m）是二次函数，求m的值．
25．已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．
（Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．

参考答案：
1．D
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】根据配方法，把函数配方可得：y=-x 2+2x＋3=-x2+2x-1+4=-（x-1）2+4，
故顶点的坐标是（1，4）．
故选D．
2．C
【分析】直接利用抛物线顶点式的特点，求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴顶点坐标是(-3，-1)．
【点睛】本题考查了抛物线顶点式的特点，理解熟记顶点式的特点是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意列出关于x、y的函数解析式，根据此函数解析式的特点作出选择即可．
【详解】解：∵水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x（m3），则要经过y（h）就可以把水放完，
∴y=，
∴x与y成反比例，四个选项中只有C是反比例函数的图象．
故选：C．
【点睛】此题比较简单，考查的是反比例函数的解析式及反比例函数图象的特点，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0时，函数图象在一、三象限；当k＜0时，函数图象在二、四象限．
4．D
【分析】连接OB，过B作BD⊥x轴于D，根据旋转的性质和正方形的性质易求∠BOD＝30°，然后根据含30° 直角三角形的性质求出BD、OD，得到B点坐标代入函数解析式即可．
【详解】解：连接OB，

∵顺时针旋转75°，
∴x轴正半轴与OA的夹角为75°，
∵∠AOB＝45°，
∴OB与x轴正半轴夹角为75°−45°＝30°，
过B作BD⊥x轴于D，
∵BC＝OC＝1，∴OB＝，
∴BD＝，OD＝，
∴B（，−），
把B点坐标代入y＝ax2中得：−＝ ()2a，
解得：a＝，
故选D.
【点睛】本题综合考查了旋转的性质、正方形的性质、直角三角形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据旋转的性质求出∠BOD＝30°是解决本题的关键．
5．A
【分析】根据左加右减的平移方式直接平移即可．
【详解】∵二次函数y=x2的图象顶点坐标为（0，0），
∴向右平移2个单位后顶点坐标为（2，0），
∴所求函数解析式为y=(x-2)2 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟悉掌握平移的方式是解题的关键．
6．C
【分析】结合二次函数与x轴的交点个数判断①；结合抛物线开口方向和对称轴公式确定a和b的符号从而判断②；根据图像增减性判断③；结合图像当x=-1时函数值的大小判断④
【详解】解：由图象可知：△＞0，
∴b2-4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正确；
由抛物线开口方向可知a＜0
由抛物线的对称轴为：x=
∴，
∴b＜0
∴b+2a＜0，故②正确；
由图像可知：当x＜-，y随x的增大而增大，故③正确；
有图像可知，当x=-1时，y＞0
∴a-b+c＞0，故④错误
正确的共3个
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
7．B
【详解】∵点是该抛物线的顶点，且，
∴为函数的最小值．
∴抛物线的开口向上．
∵，
∴点A、B可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧．
当A、B在对称轴的左侧时或B、C重合时，
∵y随x的增大而减小，
∴；
当A、B在对称轴的两侧时，
∴点B距离对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，
∴此时,解得．
综上所得：．
故选B．
8．D
【分析】（1）因为抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），把点（-1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；
（2）结合4a+2b+c＞0，a-b+c=0得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；
（3）画草图可知c＞0，结合a-b+c=0，可整理得-a+b+c=2c＞0，从而求得-a+b+c＞0；
（4）把（-1，0）代入解析式得a-b+c=0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c-2a＞0，故可得出（c+2a）（c-2a）＞0，即b2-2ac-5a2＞0，进而可得出结论．
【详解】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），
所以原式可化为a-b+c=0----①，
又因为4a+2b+c＞0----②，
所以②-①得：3a+3b＞0，
即a+b＞0；
（2）②+①×2得，6a+3c＞0，
即2a+c＞0，
∴a+c＞-a，
∵a＜0，
∴-a＞0，
故a+c＞0；
（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y=ax2+bx+c（a＜0）当x=2时的值大于0，草图为：
可见c＞0，
∵a-b+c=0，
∴-a+b-c=0，
两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c，
整理得-a+b+c=2c＞0，
即-a+b+c＞0；

（4）∵过（-1，0），代入得a-b+c=0，
∴b2-2ac-5a2=（a+c）2-2ac-5a2=c2-4a2=（c+2a）（c-2a），
又∵4a+2b+c＞0，
4a+2（a+c）+c＞0，
即2a+c＞0，
∵a＜0，
∴c＞0，
则c-2a＞0，
∴（c+2a）（c-2a）＞0，
所以b2-2ac-5a2＞0，
即b2-2ac＞5a2
综上可知正确的个数有4个．
故选D．
【点睛】此题是一道结论开放性题目，考查了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系，同时结合了不等式的运算，是一道难题．
9．C
【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．
【详解】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，

∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得： ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a
=10a2
=x2．
故选C．
【点睛】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．
10．D
【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可
【详解】①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax2+bx+c，y=4a-2b+c，由-2＜x1＜-1，可得y＜0，故①正确；
②2a-b＜0；已知x=- ＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
∵c＜2，则有a＜-1，所以③正确
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．
11．直线x＝1
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质确定对称轴．
【详解】解：y＝2x2﹣4x+8
＝2（x﹣1）2+6，
故对称轴是直线x＝1，
故答案为直线x＝1．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，能运用配方法把抛物线的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质确定对称轴是解题的关键
12． 1 5
【详解】解：∵
∴当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5
13．
【分析】设交点式y=a（x+1）2+2，然后令a为一个正数即可．
【详解】设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2，
当a=1时，抛物线的解析式为y=（x+1）2+2．
故答案为y=（x+1）2+2．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，解题关键在于掌握运算法则.
14．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点，则△=b2-4ac＞0，从而求出m的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y=-3x2+2x+m与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac>0，
即22-4×(-3)m=4+12m＞0，
解得m>.
故答案为m>．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则△＞0；②抛物线与x轴无交点，则△＜0；③抛物线与x轴有一个交点，则△=0．
15．
【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=6，在4 【详解】∵抛物线y=ax²−12ax+36a−5的对称轴为直线x=6，
而抛物线在4 ∴抛物线在7 ∵抛物线在8 ∴抛物线过点(8,0)，
把(8,0)代入y=ax²−12ax+36a−5得64a−96a+36a−5=0，
解得：a= .
故答案为.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．或-6.5.
【分析】将二次函数配方成顶点式，分a＜-1、a＞4和-1≤a≤4三种情况，根据y的最小值为-12，结合二次函数的性质求解可得．
【详解】∵y=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，
∴当a＞4时，x=4取得最小值，则﹣12=（4﹣a）2﹣a2，解得，a=3.5（舍去），
当﹣1≤a≤4时，x=a取得最小值，则﹣12=（a﹣a）2﹣a2，解得，a=2 ，
当a＜﹣1时，x=﹣1取得最小值，则﹣12=（﹣1﹣a）2﹣a2，解得，a=﹣6.5，
故答案为2 或﹣6.5．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
17．或或
【分析】根据抛物线的解析式，分别求出A、B、C的坐标，表示出AB、BC、AC的长，然后分三种情况讨论即可．
【详解】解：令x=0，得：y=4，所以C(0，4)，令y=0，得：=0，
∴，
∴x1=，x2=－3，
∴A（-3，0），B（，0）（a＜0），
∴AC=，AB=，BC=．
∵△ABC是等腰三角形，
∴分三种情况讨论：
①AB=AC，
∴=5，解得：a=；
②AC=BC，
∴=5，解得：a=±（正数舍去），
∴a=－；
③AB=BC，
∴=，解得：a=．
综上所述：a的值为或或．
故答案为或或．
【点睛】本题考查了抛物线的性质．解题的关键是分类讨论．
18．y=3(x+2)2−1先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位得到抛物线y=3x2+2（答案不唯一）
【分析】把y=3(x+2)2-1改写成顶点式，进而解答即可．
【详解】y先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位得到抛物线．
故答案为y先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位得到抛物线．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式为y=a(x- )²＋，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．
19．见解析
【分析】首先可得顶点坐标为（1，0），然后利用对称性列表，再描点，连线，即可作出该函数的图象．
【详解】列表得：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
1
0
1
4
…
如图：
．
【点睛】此题考查了二次函数的图象．注意确定此二次函数的顶点坐标是关键．
20．（1）见解析；（2）将y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，向下平移3个单位可得到y＝（x+1）2﹣3．
【分析】（1）结合解析式列表，在坐标系中描点，然后连线即可得；
（2）根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：（1）列表如下：

函数图象如图所示：

（2）将y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，向下平移3个单位可得到y＝（x+1）2﹣3．
【点睛】本题考查了画二次函数的图象以及抛物线的平移，属于基础题目，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．
21．（1）y=﹣x2+x；（2）当x=20时，y有最大值，最大值是m2
【分析】（1）由BC的长度为xm，可表示出AB的长，再由矩形的面积公式即可表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
【详解】解：（1）设BC的长度为xm，则AB=（40﹣x）m，
则矩形区域ABCD的面积y=x（40﹣x）=﹣x2+x；
（2）∵y=﹣x2+x=（x﹣20）2+  ，
∴当x=20时，y有最大值，最大值是m2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的几何应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识.
22．m≠1
【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．
【详解】解：由二次函数的定义可知，
当m−1≠0时，该函数是二次函数，
∴m≠1
∴m的取值范围为m≠1
【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键．
23．P＞Q.
【详解】试题分析：先根据图象判断出2a＋b，3b－2c，2a－b，3b＋2c的正负，然后将P，Q去绝对值，再用作差法来比较两数的大小．
试题解析：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0.
∵＞0，
∴b＞0，
∴2a－b＜0.
∵＝1，
∴b＋2a＝0.
当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，
∴－ b－b＋c＜0，
∴3b－2c＞0.
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴3b＋2c＞0，
∴P＝3b－2c，Q＝b－2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，
∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0.
∴P＞Q.
点睛：本题考查了二次函数的图象与系数的关系、去绝对值、二次函数的性质.熟记而出函数的性质是解题的关键.
24．2
【分析】根据次数为二，系数不为0，即可得出答案．
【详解】解：若是二次函数，
则，且，
故，，
解得，
∴．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，做这类题目一定要注意两点：①次数为二，②系数不为0．
25．（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ）或；（Ⅲ）点M的坐标为，点N的坐标为
【分析】（Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案
（Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D的坐标为；过点D作轴于点G，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得，，从而得到答案；
（Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得；作点F关于x轴的对称点，当满足条件的点M落在线段上时，根据两点之间线段最短的性质，得最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得，从而得直线的解析式，通过计算即可得到答案．
【详解】（Ⅰ）当时，抛物线的解析式为．
∵抛物线经过点
∴
解得：
∴抛物线的解析式为
∵
∴抛物线的顶点坐标为；
（Ⅱ）当时，由抛物线经过点，可知
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为：
当时，
∴抛物线的顶点D的坐标为；
过点D作轴于点G


在中，，，
∴
在中，，，
∴．
∵，即，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为或．
（Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得．
作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为
当满足条件的点M落在线段上时，最小，
此时，．
过点作轴于点H


在中，，，
∴．
又，即．
解得：，（舍）
∴点的坐标为，点的坐标为．
∴直线的解析式为．
当时，．
∴，
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解．