数学选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程示范课ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
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知识点1　抛物线的定义1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线.2.集合语言表达式:抛物线是点的集合P={M||MF|=d}.平面内符合条件的点集
名师点睛1.抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”:“一动”即一个动点,设为M;“二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点,和一条定直线l,即抛物线的准线;“一相等”即|MF|=d(d为M到准线l的距离).2.定义中,要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
过关自诊[人教B版教材习题]已知一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.
提示 因为曲线上的点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2,则曲线上面的每个点到点A(0,2)的距离都等于它到直线y=-2的距离,∴曲线轨迹是以A点为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,∴曲线的方程为y2=8x.
知识点2　抛物线的标准方程
过关自诊1.[人教A版教材习题](1)抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点间的距离是a(a> ),则点M到准线的距离是　　　　,点M的横坐标是　　　　; (2)抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　　　　　　. 
2.[人教A版教材习题]根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3,0);(2)准线方程是x=- ;(3)焦点到准线的距离是2.
提示 (1)y2=12x.(2)y2=x.(3)y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y.
探究点一　　求抛物线的标准方程
【例1】 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.(1)经过点(-3,-1);(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
解 (1)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0).若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),
(2)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,即直线与坐标轴的交点为(0,-3),(4,0),所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y;当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x.故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
规律方法　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
[注意]当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
变式训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:(1)准线方程为y= ;(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
探究点二　　由抛物线的方程求抛物线的焦点、准线方程
【例2】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)x=ay2(a≠0).
规律方法　把方程化为标准形式→由方程确定开口方向和p的值→得焦点坐标和准线方程
变式训练2已知抛物线的方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程:(1)2y2+5x=0;(2)y=2ax2(a≠0).
探究点三　　抛物线定义的应用
角度1.利用抛物线定义求轨迹(方程)【例3】 已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解 设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得点M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.
规律方法　解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于动点到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.
变式训练3已知动圆M经过点A(3,0),且与直线l:x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解 设动点M(x,y),☉M与直线l:x=-3的切点为N,则|MA|=|MN|,即动点M到定点A和定直线l:x=-3的距离相等,且点A不在直线l上,∴点M的轨迹是抛物线,且以A(3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.
角度2.利用抛物线定义求最值【例4】 如图,已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时点P的坐标.
变式探究若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2),求点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解 由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离.
规律方法　抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边之间的不等关系,点与直线上点的连线中垂线段最短等.
变式训练4已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是(　　)
解析 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,
1.知识清单:(1)抛物线的定义.(2)抛物线的标准方程的四种形式.(3)抛物线定义的应用.2.方法归纳:待定系数法、定义法、转化化归.3.常见误区:混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
1.[2023江苏连云港高二期末]抛物线y=4x2的准线方程是(　　)
2.(多选题)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为(　　)A.y2=xB.y2=8xC.y2=-8xD.x2=-8y
解析 当抛物线开口向右时,设抛物线方程为y2=2p1x(p1>0),则(-2)2=8p1,所以p1= ,所以抛物线方程为y2=x.当抛物线开口向下时,设抛物线方程为x2=-2p2y(p2>0),则42=4p2,p2=4,所以抛物线方程为x2=-8y.
3.已知抛物线y=2px2过点(1,4),则抛物线的焦点坐标为(　　)
4.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=　　　　,准线方程为　　　　　.