新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用培优课导数的综合应用分层作业课件北师大版选择性必修第二册

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第2章培优课　导数的综合应用12345678910111213141516171.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是(　　)A.0≤a≤21 B.a=0或a=7C.a<0或a>21 D.a=0或a=21A 解析 f'(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f'(x)≥0恒成立,函数f(x)不存在极值点.12345678910111213141516172.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是(　　)C.(-∞,3) D.(3,+∞)C解析 ∵f(x)=x-sin x,∴f(-x)=-x+sin x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)是增函数,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3).1234567891011121314151617A123456789101112131415161712345678910111213141516174.[2023广东江门新会陈经纶中学校考期中]已知函数f(x)=aln(x+1)+x2,在区间(2,3)内任取两个实数x1,x2,且x1≠x2,若不等式 恒成立,则实数a的取值范围为　　　　　. [-9,+∞)　 1234567891011121314151617可得f(x1)-f(x2)>x1-x2,即f(x1)-x1>f(x2)-x2,设g(x)=f(x)-x=aln(x+1)+x2-x,则g(x)在区间(2,3)内单调递增,g'(x)= +2x-1,则g'(x)= +2x-1≥0在区间(2,3)内恒成立,即a≥(-2x+1)(x+1),也即a≥-2x2-x+1,因为二次函数y=-2x2-x+1在(2,3)内单调递减,所以y<-2×22-2+1=-9,所以a≥-9.12345678910111213141516175.某厂生产某种商品x件的总成本c(x)=1 200+ x3(单位:万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为　　　　件时,总利润最大. 25 1234567891011121314151617解析设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2= ,其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250 000.设总利润为y万元,令y'=0,得x=25.故当00,当x>25时,y'<0,所以,当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.12345678910111213141516176.已知函数f(x)=aex- x2-x.(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)当a=1时,证明:∀x∈(-2,+∞),f(x)>sin x.1234567891011121314151617当x>0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x<0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时,函数h(x)取得极大值,即为最大值,h(0)=1,所以a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞).1234567891011121314151617当x>0时,f'(x)=ex-x-1,要证f(x)>sin x,只需证f(x)>1,令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)单调递增,又由g(0)=0,所以g(x)>g(0)=0,所以f(x)单调递增,所以f(x)>f(0)=1,当-2sin x.12345678910111213141516177.已知函数f(x)=ex+exln x(其中e是自然对数的底数).(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求证:f(x)≥ex2.1234567891011121314151617(1)解 因为函数f(x)=ex+exln x,所以f'(x)=ex+e(1+ln x),f(1)=e,所以f'(1)=2e,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.(2)证明 要使f(x)≥ex2,即证ex+exln x≥ex2,1234567891011121314151617令H(x)=ex-1-x,则H'(x)=ex-1-1,当x>1时,H'(x)>0,H(x)单调递增;当01时,G'(x)>0,G(x)单调递增.于是G(x)≥G(1)=0,命题得证.12345678910111213141516178.关于函数 ,x∈(0,+∞)的性质,以下说法正确的是(　　)A.函数f(x)的周期是2πB.函数f(x)在(0,π)内有极值C.函数f(x)在(0,+∞)内单调递减D.函数f(x)在(0,+∞)内有最小值D 1234567891011121314151617设g(x)=xcos x-sin x,g'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,当x∈(0,π)时,g'(x)<0,所以g(x)0,且f(1)=2,则f(ex)> 的解集为(　　)A.(0,+∞) B.(ln 2,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1)A 解析 令F(x)=xf(x),可得F'(x)=xf'(x)+f(x)>0,所以F(x)在R上是增函数,且F(ex)=exf(ex),f(1)=2,F(1)=f(1),f(ex)> ,可得F(ex)>F(1),即ex>1,所以x>0,所以不等式的解集为(0,+∞).故选A.123456789101112131415161710.(多选题)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,以下几个结论中正确的是(　　)C.f(x0)+2x0<0 D.f(x0)+2x0>0AD 解析函数f(x)=xln x+x2(x>0),∴f'(x)=ln x+1+2x,易知f'(x)=ln x+1+2x在(0,+∞)内单调递增,∵x0是函数f(x)的极值点,∴f'(x0)=0,即ln x0+1+2x0=0,1234567891011121314151617123456789101112131415161711.(多选题)已知函数f(x)=sin x+x3-ax,则下列结论正确的是(　　)A.f(x)是奇函数B.若f(x)是增函数,则a≤1C.当a=-3时,函数f(x)恰有两个零点D.当a=3时,函数f(x)恰有两个极值点ABD1234567891011121314151617解析对于选项A,f(x)=sin x+x3-ax的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax=-(sin x+x3-ax)=-f(x).故A正确.对于选项B,f'(x)=cos x+3x2-a,因为f(x)是增函数,故cos x+3x2-a≥0恒成立,即a≤cos x+3x2恒成立.令g(x)=cos x+3x2,则g'(x)=6x-sin x,设h(x)=6x-sin x,h'(x)=6-cos x>0,故g'(x)=6x-sin x单调递增,又g'(0)=0,故当x<0时g'(x)<0,当x>0时g'(x)>0.故g(x)=cos x+3x2最小值为g(0)=1.故a≤1.故B正确.1234567891011121314151617对于选项C,当a=-3时,由f'(x)=cos x+3x2-a>0在R上恒成立知,f(x)是增函数,故不可能有两个零点,故C错误.对于选项D,当a=3时f(x)=sin x+x3-3x,f'(x)=cos x+3x2-3,令cos x+3x2-3=0,则有cos x=3-3x2.在同一平面直角坐标系中作出y=cos x,y=3-3x2的图象易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.故选ABD.123456789101112131415161712.[2023黑龙江鸡西第四中学校考期中]函数y=x3+ax+b在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,则a=　　　　　. -3解析 因为y=x3+ax+b在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,所以x=1为函数y=x3+ax+b的极值点,且y'=3x2+a,所以,y'|x=1=3+a=0,解得a=-3,且当a=-3时,y'=3x2-3,由y'<0可得-10可得x<-1或x>1,所以函数y=x3-3x+b的单调递减区间为(-1,1),单调递增区间为(-∞,-1), (1,+∞),符合题意.因此a=-3.123456789101112131415161713.已知函数f(x)=x2-2ln x,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是　　　　　. (-∞,e2-2] 解析由f(x)-m≥0得f(x)≥m,当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,此时,函数f(x)单调递增,所以f(1)≤f(x)≤f(e),即1≤f(x)≤e2-2,要使f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则有m≤e2-2.123456789101112131415161714.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak, )处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　　. 21解析由于y'=2x,则函数y=x2(x>0)在点(a1, )(a1=16)处(即点(16,256)处)的切线方程为y-256=32(x-16).令y=0,得a2=8.同理函数y=x2(x>0)在点(a2, )(a2=8)处(即点(8,64)处)的切线方程为y-64=16(x-8).令y=0,得a3=4,依次同理求得a4=2,a5=1.所以a1+a3+a5=21.123456789101112131415161715.[2023陕西宝鸡校考模拟预测]已知f(x)=x+ +aln x(a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当x∈[e,+∞)且 ≤a<0时,证明:曲线y=f(x)在x轴的上方.1234567891011121314151617令f'(x)=0,得x=-2a.当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下:123456789101112131415161716.[2023河南模拟]设函数f(x)=ax2-(a-2)x-ln x(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)恰有两个零点,求a的取值范围.1234567891011121314151617123456789101112131415161712345678910111213141516171234567891011121314151617123456789101112131415161717.已知函数f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x+a,其中a为常数.(1)当a=0时,求f(x)的极值;(1)解 当a=0时,f(x)=xln x-x,f'(x)=ln x,∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)在(1,+∞)内单调递增.∴f(x)的极小值为f(1)=-1,无极大值.12345678910111213141516171234567891011121314151617