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八年级数学上册专题11.7 三角形章末题型过关卷（人教版）（原卷版+解析版）
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这是一份2023年八年级数学上册专题11.7 三角形章末题型过关卷（人教版）（原卷版+解析版），文件包含专题117三角形章末题型过关卷人教版原卷版docx、专题117三角形章末题型过关卷人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
第11章 三角形章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•安徽）如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）
A．36° B．42° C．45° D．48°
【分析】根据图（1）先求出梅花扇的内角的度数是120°，则两锐角的和等于60°，把梅花图案连接成正五边形，求出每一个内角的度数，然后解答即可．
【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3＝120°，
180°﹣120°＝60°，
正五边形的每一个内角＝（5﹣2）•180°÷5＝108°，
∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°＝48°．
故选：D．
2．（3分）（2022•兴平市一模）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．
【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM＝BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，
∴BC﹣AC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm，
故选：C．
3．（3分）（2022秋•原州区期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
4．（3分）（2022秋•西青区期末）小芳有两根长度为5cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（ ）的木条．
A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm
【分析】设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：设木条的长度为xcm，则10﹣5＜x＜10+5，即5＜x＜15．
故选：D．
5．（3分）（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2° B．4° C．8° D．16°
【分析】根据角平分线的定义得∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠PBC+∠P，于是得到12（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P=12∠ABC+∠P，然后整理可得∠P=12∠A，同理得到结论．
【解答】解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC=12∠ABC，∠P1CE=12∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，
∴12（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1=12∠ABC+∠P1，
∴∠P1=12∠A=12×128°＝64°，
同理∠P2=12∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故选：A．
6．（3分）（2022春•忠县期末）设三角形ABC与某长方形相交于如图所示的A、E、D、F点，如果∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAF＝15°，那么∠CDE＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据三角形外角性质求出∠CFA＝∠B+∠BAF＝45°，根据长方形的性质得出DE∥AF，根据平行线的性质得出∠CDE＝∠CFA，再得出答案即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠BAF＝15°，
∴∠CFA＝∠B+∠BAF＝30°+15°＝45°，
∵DE∥AF，
∴∠CDE＝∠CFA＝45°，
故选：C．
7．（3分）（2022秋•宁津县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．180° B．240° C．360° D．540°
【分析】根据多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形外角性质进行推理计算即可．
【解答】解：如图，
由三角形外角性质可知：
∠1＝∠F+∠B，∠2＝∠A+∠E，
∴在四边形ADCG中，由四边形内角和可知：
∠D+∠C+∠2+∠1＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故选：C．
8．（3分）（2022春•西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
∴S△ABD=12S△ABC＝4，
∵E是AB的中点，
∴S△BDE=12S△ABD=12×4＝2，
故选：A．
9．（3分）（2022秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．
【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，
故选：C．
10．（3分）（2022秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP=12∠DAB+∠ABC+12（180°﹣∠ABC）＝90°+12（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022春•金堂县期末）一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为 六 ，α＝ 120 度．
【分析】多边形外角一定小于180°，利用840除以180可得4余120，可得这个多边形的边数为6，外角α是120°．
【解答】解：∵840÷180＝4…120，
∴这个多边形的边数为：4+2＝6，
α＝120°，
故答案为：六；120．
12．（3分）（2022春•海安市校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝42°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF，连接CD．在整个平移过程中，若∠ACD和∠CDE的度数存在2倍关系，则∠CDE＝ 14或28或42 度．
【分析】根据题意作出图形，记直线AC与直线DE的交点为点G，由平移得AB∥DE，得到∠BAC＝∠AGD＝42°，然后由∠AGD是△CDG的外角得到∠AGD和∠EDC、∠ACD之间的数量关系，进而求得∠CDE的度数．
【解答】解：如图，记直线AC与直线DE的交点为点G，
由平移得，AB∥DE，
∴∠BAC＝∠AGD＝42°，
如图1，当∠EDC＝2∠ACD时，
∵∠AGD是△CDG的外角，
∴∠AGD＝∠EDC+∠ACD，
∴2∠ACD+∠ACD＝42°，
∴∠ACD＝14°，
∴∠CDE＝28°，
如图2，当∠ACD＝2∠EDC时，2∠EDC+∠EDC＝42°，
∴∠CDE＝14°，
如图3，当点G在AC和DE延长线的交点时，∠ACD＝∠CDF，
∴∠ACD＝2∠CDE，
∵∠ACD是△CDG的外角，
∴∠ACD＝∠AGD+∠CDE，
又∵∠AGD＝42°，
∴∠CDE+42°＝2∠CDE，
∴∠CDE＝42°，
综上所述，∠CDE的度数为28°或14°或42°，
故答案为：28或14或42．
13．（3分）（2022秋•江汉区期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是 68° ．
【分析】先求30°和45°重合部分的角的度数，再加上∠1与∠2的和即可得到答案．
【解答】解：三角板重合部分的角的度数＝（30+45﹣61）÷2＝7°，
∴∠APC＝7°+∠1+∠2＝7°+61°＝68°．
故答案为：68°．
14．（3分）（2022秋•新田县期中）在同一平面内有n个点，其中任意三点不在同一直线上．已知3个点两两相接可得到1个三角形，如图1；4个点两两相接可得到4个三角形（以这4个点为顶点的三角形）如图2；5个点两两相接可得到10个三角形（以这5个点为顶点的三角形）如图3，…；则10个点两两相接可得到 120 个三角形（以这10个点为顶点的三角形）．
【分析】根据3个点两两相接可得到1个三角形，4个点两两相接可得到4个三角形，5个点两两相接可得到10个三角形，可得连接n个点可得三角形的个数是n(n-1)(n-2)6．
【解答】解：由图可知，3个点两两相接可得到1个三角形，3×2×16=1；
4个点两两相接可得到4个三角形，4×3×26=4；
5个点两两相接可得到10个三角形，5×4×36=10．
…
n个点两两相接可得三角形的个数是n(n-1)(n-2)6．
则10个点两两相接可得到10×9×86=120（个）．
故答案为：120．
15．（3分）（2022•合肥开学）若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ 1080 度．
【分析】根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
【解答】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．
16．（3分）（2022春•射阳县期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是 ①②③ （填序号）．
【分析】根据角平分线的性质，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断求解．
【解答】解：∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，
∴∠BCG+∠G＝180°，
∵∠G＝90°，
∴∠BCG＝180°﹣∠G＝90°，
∵∠GEC+∠GCE＝90°，∠BCA+∠GCE＝90°，
∴∠GEC＝∠BCA，
∵CD平分∠BCA，
∴∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，
∴①正确．
∵CD，BE平分∠BCA，∠ABC，
∴∠BFD＝∠BCF+∠CBF=12（∠BCA+∠ABC）＝45°，
∴②正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠GCE＝∠ABC，
∵∠GCD＝∠GCE+∠ACD＝∠ABC+∠ACD，
∠ADC＝∠ABC+∠BCD，
∴∠ADC＝∠GCD，
∴③正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，
∴∠GCE与∠ACB互余，
∴④错误．
故答案为：①②③．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022春•建邺区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝35°，点D在BC上，∠BAC＝∠ADC，点E在AB上，
（1）若DE∥AC，求∠ADE的度数．
（2）当∠BED的度数是 90°或55° 时，△BDE是直角三角形．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BED＝∠BAC，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得∠ADE＝∠B＝35°；
（2）根据直角三角形两个锐角互余可得∠BED＝90°﹣35°＝55°，然后利用直角三角形定义即可得结论．
【解答】解：（1）∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠ADC，
∴∠BED＝∠ADC，
∵∠BED＝∠EAD+∠ADE，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE＝∠B＝35°；
（2）当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．
理由如下：
当∠BED的度数是90°时，△BDE是直角三角形．
当∠BDE＝90°，
∴∠BED＝90°﹣35°＝55°时，△BDE是直角三角形．
故答案为：90°或55°．
18．（7分）（2022春•隆回县期末）如图，已知三角形EFG的顶点E，F分别在直线AB和CD上，且AB∥CD．若∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，∠EGF＝60°．
（1）当∠2＝2∠1时，求∠1的度数．
（2）设∠AEG＝α，∠CFG＝β，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠EFC＝∠1+30°，再根据平角的定义可求解；
（2）过G点作GM∥AB，则MG∥CD，利用平行线的性质可得∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，结合∠EGF＝60°可求解．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠EFC，
∵∠FEG＝30°，
∴∠EFC＝∠1+30°，
∵∠2+∠EFC+90°＝180°，∠2＝2∠1，
∴2∠1+∠1+30°+90°＝180°，
解得∠1＝20°；
（2）过G点作GM∥AB，
∴∠AEG+∠EGM＝180°，
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠MGF+∠CFG＝180°，
∴∠AEG+∠EGM+∠MGF+∠CFG＝360°，
即∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，
∵∠EGF＝60°，
∴∠AEG+∠CFG＝300°．
∵∠AEG＝α，∠CFG＝β，
∴α+β＝300°．
19．（8分）（2022春•思明区校级期中）如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C．
（1）猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，延长DE至F，连接BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C﹣140°，求∠C的度数．
【分析】（1）AB与CD平行，理由为：由AE∥BC，根据两直线平行同旁内角互补，可得：∠A+∠B＝180°，然后由∠A＝∠C，根据等量代换可得：∠C+∠B＝180°，然后根据同旁内角互补两直线平行，即可证明AB与CD平行；
（2）由AE∥BC，根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，可得：∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，由∠1＝∠3，根据等量代换可得：∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，由∠AEF＝2∠2，根据等量代换可得：∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，然后根据平角的定义可得：∠AEF+∠AED＝180°，进而可得∠A＝∠AED，由∠A＝∠C，可得：∠AED＝∠C，结合∠AED＝2∠C﹣140°计算可求解∠C的度数．
【解答】解：（1）猜想：AB∥CD，
理由：∵AE∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠B＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∵AE∥BC，
∴∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，
∵∠AEF＝2∠2，
∴∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，
∵∠AEF+∠AED＝180°，
∴∠A＝∠AED，
∵∠A＝∠C，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝2∠C﹣140°，
∴∠C＝2∠C﹣140°，
解得：∠C＝140°．
20．（8分）（2022秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠C+∠B ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 6 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
21．（8分）（2022春•盐湖区校级期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ 120 ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ 60 ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝20°，
②∵∠BAD＝∠ABD，
∴∠BAD＝20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝120°，
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝80°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝60°；
故答案为：①20°； ②120，60；
（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB=12∠MON＝20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝70°，
若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20
若∠BAD＝∠BDA=12（180°﹣70°）＝55°，则x＝35
若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x＝20、35、50、125．
22．（8分）（2022春•海陵区期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 60°或72° ．
【分析】（1）先求解∠BAO+∠ABO＝90°，结合角平分线的定义可得∠BAE+∠ABE＝45°，再利用三角形的内角和定理可求求解∠AEB的度数；
（2）由平角的定义求解∠BAP+∠ABM＝270°，利用角平分线的定义可求∠DAB+∠ABC＝135°，根据四边形的内角和定理可求∠ADC+∠BCD＝225°，再由角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解；
（3）先求解∠EAF＝90°，∠ABO＝2∠E，结合有两个角度数的比是3：2分4种情况可求解．
【解答】解：（1）不变．
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOB+∠BAO+∠ABO＝180°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，
∴∠BAE=12∠BAO，∠ABE=12∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝45°，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝135°；
（2）不变．
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAP+∠ABM＝180°+180°﹣90°＝270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠DAB=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，
∴∠DAB+∠ABC＝135°，
∵∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD＝360°，
∴∠ADC+∠BCD＝225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=12∠BCD，
∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，
∴∠CED＝67.5°；
（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠EAO=12∠BAO，∠FAO=12∠OAG，
∵∠BAO+∠OAG＝180°，
∴∠EAO+∠FAO＝90°，
即∠EAF＝90°，
∵OE平分∠BOQ，
∴∠∠BOQ＝2∠EOQ，
∵∠EOQ＝∠E+∠OAE，∠BOQ＝∠ABO+∠BAO，
∴∠ABO＝2∠E，
在△AEF中，
∵有两个角度数的比是3：2，故有4种情况：
①∠EAF：∠E＝3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°；（不成立）
②∠EAF：∠F＝3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
③∠F：∠E＝3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；
④∠E：∠F＝3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（不成立）．
∴∠ABO为60°或72°．
故答案为：∠ABO为60°或72°．
23．（8分）（2022春•淮安期末）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【分析】（1）根据题意可得当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；
（2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，即可求∠A的度数；
（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC=23∠A=23m°；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC=13∠A=13m°；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC=23∠A+13∠ABC=23m°+18°；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC=13∠A-13∠ABC=13m°﹣18°，进而解答．
【解答】解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；
（2）在△BPC中，
∵∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，
∴13∠ABC+13∠ACB＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC=23∠A=23m°；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠BPC=13∠A=13m°；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC=23∠A+13∠ABC=23m°+18°；
情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
∠BPC=13∠A-13∠ABC=13m°﹣18°；
综上所述：∠BPC的度数为：23m°或13m°或23m°+18°或13m°﹣18°．
第11章 三角形章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•安徽）如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）
A．36° B．42° C．45° D．48°
【分析】根据图（1）先求出梅花扇的内角的度数是120°，则两锐角的和等于60°，把梅花图案连接成正五边形，求出每一个内角的度数，然后解答即可．
【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3＝120°，
180°﹣120°＝60°，
正五边形的每一个内角＝（5﹣2）•180°÷5＝108°，
∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°＝48°．
故选：D．
2．（3分）（2022•兴平市一模）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．
【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM＝BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，
∴BC﹣AC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm，
故选：C．
3．（3分）（2022秋•原州区期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
4．（3分）（2022秋•西青区期末）小芳有两根长度为5cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（ ）的木条．
A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm
【分析】设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：设木条的长度为xcm，则10﹣5＜x＜10+5，即5＜x＜15．
故选：D．
5．（3分）（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2° B．4° C．8° D．16°
【分析】根据角平分线的定义得∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠PBC+∠P，于是得到12（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P=12∠ABC+∠P，然后整理可得∠P=12∠A，同理得到结论．
【解答】解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC=12∠ABC，∠P1CE=12∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，
∴12（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1=12∠ABC+∠P1，
∴∠P1=12∠A=12×128°＝64°，
同理∠P2=12∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故选：A．
6．（3分）（2022春•忠县期末）设三角形ABC与某长方形相交于如图所示的A、E、D、F点，如果∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAF＝15°，那么∠CDE＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据三角形外角性质求出∠CFA＝∠B+∠BAF＝45°，根据长方形的性质得出DE∥AF，根据平行线的性质得出∠CDE＝∠CFA，再得出答案即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠BAF＝15°，
∴∠CFA＝∠B+∠BAF＝30°+15°＝45°，
∵DE∥AF，
∴∠CDE＝∠CFA＝45°，
故选：C．
7．（3分）（2022秋•宁津县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．180° B．240° C．360° D．540°
【分析】根据多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形外角性质进行推理计算即可．
【解答】解：如图，
由三角形外角性质可知：
∠1＝∠F+∠B，∠2＝∠A+∠E，
∴在四边形ADCG中，由四边形内角和可知：
∠D+∠C+∠2+∠1＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故选：C．
8．（3分）（2022春•西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
∴S△ABD=12S△ABC＝4，
∵E是AB的中点，
∴S△BDE=12S△ABD=12×4＝2，
故选：A．
9．（3分）（2022秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．
【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，
故选：C．
10．（3分）（2022秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP=12∠DAB+∠ABC+12（180°﹣∠ABC）＝90°+12（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022春•金堂县期末）一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为 六 ，α＝ 120 度．
【分析】多边形外角一定小于180°，利用840除以180可得4余120，可得这个多边形的边数为6，外角α是120°．
【解答】解：∵840÷180＝4…120，
∴这个多边形的边数为：4+2＝6，
α＝120°，
故答案为：六；120．
12．（3分）（2022春•海安市校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝42°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF，连接CD．在整个平移过程中，若∠ACD和∠CDE的度数存在2倍关系，则∠CDE＝ 14或28或42 度．
【分析】根据题意作出图形，记直线AC与直线DE的交点为点G，由平移得AB∥DE，得到∠BAC＝∠AGD＝42°，然后由∠AGD是△CDG的外角得到∠AGD和∠EDC、∠ACD之间的数量关系，进而求得∠CDE的度数．
【解答】解：如图，记直线AC与直线DE的交点为点G，
由平移得，AB∥DE，
∴∠BAC＝∠AGD＝42°，
如图1，当∠EDC＝2∠ACD时，
∵∠AGD是△CDG的外角，
∴∠AGD＝∠EDC+∠ACD，
∴2∠ACD+∠ACD＝42°，
∴∠ACD＝14°，
∴∠CDE＝28°，
如图2，当∠ACD＝2∠EDC时，2∠EDC+∠EDC＝42°，
∴∠CDE＝14°，
如图3，当点G在AC和DE延长线的交点时，∠ACD＝∠CDF，
∴∠ACD＝2∠CDE，
∵∠ACD是△CDG的外角，
∴∠ACD＝∠AGD+∠CDE，
又∵∠AGD＝42°，
∴∠CDE+42°＝2∠CDE，
∴∠CDE＝42°，
综上所述，∠CDE的度数为28°或14°或42°，
故答案为：28或14或42．
13．（3分）（2022秋•江汉区期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是 68° ．
【分析】先求30°和45°重合部分的角的度数，再加上∠1与∠2的和即可得到答案．
【解答】解：三角板重合部分的角的度数＝（30+45﹣61）÷2＝7°，
∴∠APC＝7°+∠1+∠2＝7°+61°＝68°．
故答案为：68°．
14．（3分）（2022秋•新田县期中）在同一平面内有n个点，其中任意三点不在同一直线上．已知3个点两两相接可得到1个三角形，如图1；4个点两两相接可得到4个三角形（以这4个点为顶点的三角形）如图2；5个点两两相接可得到10个三角形（以这5个点为顶点的三角形）如图3，…；则10个点两两相接可得到 120 个三角形（以这10个点为顶点的三角形）．
【分析】根据3个点两两相接可得到1个三角形，4个点两两相接可得到4个三角形，5个点两两相接可得到10个三角形，可得连接n个点可得三角形的个数是n(n-1)(n-2)6．
【解答】解：由图可知，3个点两两相接可得到1个三角形，3×2×16=1；
4个点两两相接可得到4个三角形，4×3×26=4；
5个点两两相接可得到10个三角形，5×4×36=10．
…
n个点两两相接可得三角形的个数是n(n-1)(n-2)6．
则10个点两两相接可得到10×9×86=120（个）．
故答案为：120．
15．（3分）（2022•合肥开学）若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ 1080 度．
【分析】根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
【解答】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．
16．（3分）（2022春•射阳县期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是 ①②③ （填序号）．
【分析】根据角平分线的性质，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断求解．
【解答】解：∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，
∴∠BCG+∠G＝180°，
∵∠G＝90°，
∴∠BCG＝180°﹣∠G＝90°，
∵∠GEC+∠GCE＝90°，∠BCA+∠GCE＝90°，
∴∠GEC＝∠BCA，
∵CD平分∠BCA，
∴∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，
∴①正确．
∵CD，BE平分∠BCA，∠ABC，
∴∠BFD＝∠BCF+∠CBF=12（∠BCA+∠ABC）＝45°，
∴②正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠GCE＝∠ABC，
∵∠GCD＝∠GCE+∠ACD＝∠ABC+∠ACD，
∠ADC＝∠ABC+∠BCD，
∴∠ADC＝∠GCD，
∴③正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，
∴∠GCE与∠ACB互余，
∴④错误．
故答案为：①②③．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022春•建邺区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝35°，点D在BC上，∠BAC＝∠ADC，点E在AB上，
（1）若DE∥AC，求∠ADE的度数．
（2）当∠BED的度数是 90°或55° 时，△BDE是直角三角形．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BED＝∠BAC，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得∠ADE＝∠B＝35°；
（2）根据直角三角形两个锐角互余可得∠BED＝90°﹣35°＝55°，然后利用直角三角形定义即可得结论．
【解答】解：（1）∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠ADC，
∴∠BED＝∠ADC，
∵∠BED＝∠EAD+∠ADE，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE＝∠B＝35°；
（2）当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．
理由如下：
当∠BED的度数是90°时，△BDE是直角三角形．
当∠BDE＝90°，
∴∠BED＝90°﹣35°＝55°时，△BDE是直角三角形．
故答案为：90°或55°．
18．（7分）（2022春•隆回县期末）如图，已知三角形EFG的顶点E，F分别在直线AB和CD上，且AB∥CD．若∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，∠EGF＝60°．
（1）当∠2＝2∠1时，求∠1的度数．
（2）设∠AEG＝α，∠CFG＝β，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠EFC＝∠1+30°，再根据平角的定义可求解；
（2）过G点作GM∥AB，则MG∥CD，利用平行线的性质可得∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，结合∠EGF＝60°可求解．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠EFC，
∵∠FEG＝30°，
∴∠EFC＝∠1+30°，
∵∠2+∠EFC+90°＝180°，∠2＝2∠1，
∴2∠1+∠1+30°+90°＝180°，
解得∠1＝20°；
（2）过G点作GM∥AB，
∴∠AEG+∠EGM＝180°，
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠MGF+∠CFG＝180°，
∴∠AEG+∠EGM+∠MGF+∠CFG＝360°，
即∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，
∵∠EGF＝60°，
∴∠AEG+∠CFG＝300°．
∵∠AEG＝α，∠CFG＝β，
∴α+β＝300°．
19．（8分）（2022春•思明区校级期中）如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C．
（1）猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，延长DE至F，连接BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C﹣140°，求∠C的度数．
【分析】（1）AB与CD平行，理由为：由AE∥BC，根据两直线平行同旁内角互补，可得：∠A+∠B＝180°，然后由∠A＝∠C，根据等量代换可得：∠C+∠B＝180°，然后根据同旁内角互补两直线平行，即可证明AB与CD平行；
（2）由AE∥BC，根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，可得：∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，由∠1＝∠3，根据等量代换可得：∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，由∠AEF＝2∠2，根据等量代换可得：∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，然后根据平角的定义可得：∠AEF+∠AED＝180°，进而可得∠A＝∠AED，由∠A＝∠C，可得：∠AED＝∠C，结合∠AED＝2∠C﹣140°计算可求解∠C的度数．
【解答】解：（1）猜想：AB∥CD，
理由：∵AE∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠B＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∵AE∥BC，
∴∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，
∵∠AEF＝2∠2，
∴∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，
∵∠AEF+∠AED＝180°，
∴∠A＝∠AED，
∵∠A＝∠C，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝2∠C﹣140°，
∴∠C＝2∠C﹣140°，
解得：∠C＝140°．
20．（8分）（2022秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠C+∠B ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 6 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
21．（8分）（2022春•盐湖区校级期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ 120 ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ 60 ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝20°，
②∵∠BAD＝∠ABD，
∴∠BAD＝20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝120°，
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝80°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝60°；
故答案为：①20°； ②120，60；
（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB=12∠MON＝20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝70°，
若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20
若∠BAD＝∠BDA=12（180°﹣70°）＝55°，则x＝35
若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x＝20、35、50、125．
22．（8分）（2022春•海陵区期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 60°或72° ．
【分析】（1）先求解∠BAO+∠ABO＝90°，结合角平分线的定义可得∠BAE+∠ABE＝45°，再利用三角形的内角和定理可求求解∠AEB的度数；
（2）由平角的定义求解∠BAP+∠ABM＝270°，利用角平分线的定义可求∠DAB+∠ABC＝135°，根据四边形的内角和定理可求∠ADC+∠BCD＝225°，再由角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解；
（3）先求解∠EAF＝90°，∠ABO＝2∠E，结合有两个角度数的比是3：2分4种情况可求解．
【解答】解：（1）不变．
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOB+∠BAO+∠ABO＝180°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，
∴∠BAE=12∠BAO，∠ABE=12∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝45°，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝135°；
（2）不变．
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAP+∠ABM＝180°+180°﹣90°＝270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠DAB=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，
∴∠DAB+∠ABC＝135°，
∵∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD＝360°，
∴∠ADC+∠BCD＝225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=12∠BCD，
∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，
∴∠CED＝67.5°；
（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠EAO=12∠BAO，∠FAO=12∠OAG，
∵∠BAO+∠OAG＝180°，
∴∠EAO+∠FAO＝90°，
即∠EAF＝90°，
∵OE平分∠BOQ，
∴∠∠BOQ＝2∠EOQ，
∵∠EOQ＝∠E+∠OAE，∠BOQ＝∠ABO+∠BAO，
∴∠ABO＝2∠E，
在△AEF中，
∵有两个角度数的比是3：2，故有4种情况：
①∠EAF：∠E＝3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°；（不成立）
②∠EAF：∠F＝3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
③∠F：∠E＝3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；
④∠E：∠F＝3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（不成立）．
∴∠ABO为60°或72°．
故答案为：∠ABO为60°或72°．
23．（8分）（2022春•淮安期末）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【分析】（1）根据题意可得当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；
（2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，即可求∠A的度数；
（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC=23∠A=23m°；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC=13∠A=13m°；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC=23∠A+13∠ABC=23m°+18°；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC=13∠A-13∠ABC=13m°﹣18°，进而解答．
【解答】解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；
（2）在△BPC中，
∵∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，
∴13∠ABC+13∠ACB＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC=23∠A=23m°；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠BPC=13∠A=13m°；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC=23∠A+13∠ABC=23m°+18°；
情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
∠BPC=13∠A-13∠ABC=13m°﹣18°；
综上所述：∠BPC的度数为：23m°或13m°或23m°+18°或13m°﹣18°．
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