江苏省南通市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

江苏省南通市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

一．分式的化简求值（共1小题）

1．（2002•南通）当x＝﹣1时，求的值．

二．二次根式的混合运算（共1小题）

2．（2002•南通）计算：

（1）5+﹣7；

（2）．

三．一次函数的应用（共1小题）

3．（2021•南通）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：

A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．

例如，一次购物的商品原价为500元，

去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；

去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．

（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；

（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．

四．切线的性质（共1小题）

4．（2021•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC．

（1）求∠B的度数；

（2）若AB＝2，求的长．

五．弦切角定理（共1小题）

5．（2002•南通）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．

（1）求证：∠ADE＝∠B；

（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA＝FO•DE．

六．作图—复杂作图（共1小题）

6．（2022•南通）【阅读材料】

【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．

七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

7．（2002•南通）如图，光明中学初三（1）班学生用自己制作的测倾器测量该校旗杆的高度．已知测倾器的杆高DC＝1.2m，测得旗杆顶的仰角α＝32°，测点D到旗杆的水平距离BD＝20m，求旗杆AB的高度（精确到0.01m）．

（下列数据可供选择：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480，tan32°＝0.6249）

八．方差（共1小题）

8．（2023•南通）某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．

抽取的学生竞赛成绩统计表

（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有 　     　人；

（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由．

九．列表法与树状图法（共3小题）

9．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．

（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 　                　；

（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．

10．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．

（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 　                　；

（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．

11．（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．

（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 　                　；

（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．

江苏省南通市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

参考答案与试题解析

一．分式的化简求值（共1小题）

1．（2002•南通）当x＝﹣1时，求的值．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式＝﹣•

＝﹣＝，

当x＝﹣1时，

原式＝＝．

二．二次根式的混合运算（共1小题）

2．（2002•南通）计算：

（1）5+﹣7；

（2）．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）原式＝5+2﹣21＝﹣14；

（2）原式＝xy﹣2y+x．

三．一次函数的应用（共1小题）

3．（2021•南通）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：

A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．

例如，一次购物的商品原价为500元，

去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；

去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．

（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；

（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．

【答案】（1）；；

（2）当200＜x＜400到B超市更省钱；当x＝400时，两家超市一样；当x＞400时，到A超市更省钱．

【解答】解：（1）由题意可得，当x≤300时，yA＝0.9x；当x＞300时，yA＝0.9×300+0.7（x﹣300）＝0.7x+60，

故；

当x＞100时，yB＝100+0.8（x﹣100）＝0.8x+20；

；

（2）由题意，得0.9x＞0.8x+20，解得x＞200，

∴200＜x≤300时，到B超市更省钱；

0.7x+60＞0.8x+20，解得x＜400，

∴300＜x＜400，到B超市更省钱；

0.7x+60＝0.8x+20，解得x＝400，

∴当x＝400时，两家超市一样；

0.7x+60＜0.8x+20，解得x＞400，

∴当x＞400时，到A超市更省钱；

综上所述，当200＜x＜400到B超市更省钱；当x＝400时，两家超市一样；当x＞400时，到A超市更省钱．

四．切线的性质（共1小题）

4．（2021•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC．

（1）求∠B的度数；

（2）若AB＝2，求的长．

【答案】（1）55°；

（2）．

【解答】解：（1）连接OC，如图，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∵AE⊥CD，

∴OC∥AE，

∴∠CAD＝∠OCA，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠CAD＝∠OAC＝35°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OAC+∠B＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠OAC＝90°﹣35°＝55°；

（2）连接OE，

∵⊙O的直径AB＝2，

∴OA＝1，

∵＝，

∴∠COE＝2∠CAE＝2×35°＝70°，

∴的长为：＝．

五．弦切角定理（共1小题）

5．（2002•南通）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．

（1）求证：∠ADE＝∠B；

（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA＝FO•DE．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）方法一：

证明：连接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．

又∵AB＝AC，

∴AD平分∠BAC，即∠OAD＝∠CAD．

∴∠ODA＝∠DAE＝∠OAD．

∵∠ADE+∠DAE＝90°，

∴∠ADE+∠ODA＝90°，即∠ODE＝90°，OD⊥DE．

∵OD是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线．

∴∠ADE＝∠B．

方法二：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，又DE⊥AC，

∴∠DEA＝90°，

∴∠ADB＝∠DEA，

∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC，即∠DAE＝∠BAD．

∴△DAE∽△BAD．

∴∠ADE＝∠B．

（2）证明：∵OF∥AD，

∴∠F＝∠ADE．

又∵∠DEA＝∠FDO（已证），

∴△FDO∽△DEA．

∴FD：DE＝FO：DA，即FD•DA＝FO•DE．

六．作图—复杂作图（共1小题）

6．（2022•南通）【阅读材料】

【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．

【答案】证明见解析部分．

【解答】证明：由作图可知AD＝AB＝BC，

∵AE∥BF，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

7．（2002•南通）如图，光明中学初三（1）班学生用自己制作的测倾器测量该校旗杆的高度．已知测倾器的杆高DC＝1.2m，测得旗杆顶的仰角α＝32°，测点D到旗杆的水平距离BD＝20m，求旗杆AB的高度（精确到0.01m）．

（下列数据可供选择：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480，tan32°＝0.6249）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：在Rt△ACE中．tanα＝

∴AE＝CEtanα＝BDtanα＝23tan32°≈13.7m．

则AB＝AE+BE＝13.7+1.2＝14.9（米）．

答：旗杆AB的高度是14.9米．

八．方差（共1小题）

8．（2023•南通）某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．

抽取的学生竞赛成绩统计表

（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有 　90　人；

（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由．

【答案】（1）90；

（2）八年级成绩较好，理由见解析．

【解答】解：（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有300×＝90（人），

故答案为：90；

（2）八年级成绩较好，理由如下：

因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，

所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好（答案不唯一）．

九．列表法与树状图法（共3小题）

9．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．

（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 　　；

（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．

【答案】（1）；

（2）．

【解答】解：（1）∵有同型号的a，b，c三把钥匙，

∴从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aa、Bb，

∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为＝．

10．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．

（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 　　；

（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．

【答案】（1）；

（2）．

【解答】解：（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，

∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为．

11．（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．

（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 　　；

（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．

【答案】（1）；

（2）．

【解答】解：（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 ＝，

故答案为：；

（2）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，

∴两次取出小球标号的和等于5的概率为＝．