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江苏省徐州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)
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这是一份江苏省徐州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共36页。试卷主要包含了计算，解方程组；，，连接PB、PC等内容，欢迎下载使用。
江苏省徐州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023•徐州）计算：
（1）；
（2）．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2021•徐州）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•徐州）（1）解方程组；
（2）解不等式组 ．
四．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．
五．二次函数综合题（共1小题）
5．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为 ．
六．三角形综合题（共1小题）
6．（2022•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
（1）∠EDC的度数为 °；
（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求的最大值．
七．四边形综合题（共3小题）
7．（2023•徐州）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
8．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 ．
9．（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与 A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．
（1）求证：
①△PDF的面积S＝PD2；
②EA＝FD；
（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．
八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2021•徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
11．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2023•徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE＝36°，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE＝30°．若测角仪距地面的高度FC＝GD＝1.6m，CD＝70m，求电视塔的高度AB（精确到0.1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
一十一．作图-三视图（共1小题）
13．（2023•徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）：
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
一十二．条形统计图（共1小题）
14．（2023•徐州）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 ；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
一十三．中位数（共1小题）
15．（2021•徐州）某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所示．
根据图中信息，解决下列问题．
（1）这11年间，该市中考人数的中位数是 万人；
（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是 年；
（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是 ．
A．12.8万人
B．14.0万人
C．15.3万人
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为 ．
A．23.1万人
B．28.1万人
C．34.4万人
（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加多少人？（结果取整数）
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
江苏省徐州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023•徐州）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2022；
（2）．
【解答】解：（1）
＝2023+1﹣6+4
＝2022；
（2）
＝
＝
＝．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2021•徐州）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
【答案】50．
【解答】解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元，
根据题意得，+2＝，
解得，x＝50，
检验：经检验，x＝50是原方程的解．
答：该商品打折前每件50元．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•徐州）（1）解方程组；
（2）解不等式组 ．
【答案】（1）．
（2）﹣8＜x≤2．
【解答】解：（1），
把①代入②中得：
2（4y+1）﹣5y＝8，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：
x＝4×2+1＝9，
∴原方程组的解为：．
（2），
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣8，
∴不等式组的解集为：﹣8＜x≤2．
四．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析；
（2）①k＝1，b＝2；
②点P的坐标为（0，﹣2）．
【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴OC＝AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，），
∵2m×＝8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH＝AD，
设点A的坐标为（m，），
∴CH＝m，AD＝，
∴m＝×，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，
∴；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴，
∴，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．
五．二次函数综合题（共1小题）
5．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为 ．
【答案】（1）A（2，0），B（1，）；
（2）①∠EDA的大小保持不变；②线段BF的长度最大值为；
（3）．
【解答】解：令y＝0，得：
，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴A（2，0），
∵y＝﹣＝，
∴顶点的坐标为（1，）；
（2）①在线段AB上截取BG＝BE，连接EG，
由已知可得：∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，
由（1）可抛物线对称轴是直线x＝1，
∴OH＝1，
∴OB＝，
AB＝＝2，
∴AB＝OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AC＝BC＝AB＝2，
∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°，
∵∠GBE＝60°，BG＝BE，
∴△BGE是等边三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝∠GBE＝60°，BE＝GE，
∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝120°，
又∵∠DBE＝∠OBA+∠ABC＝120°，
∴∠DBE＝∠AGE，
∵∠BED+∠DEG＝∠GEA+∠DEG＝60°，
∴∠BED＝∠GEA，
∴△DBE≌△AGE（AAS），
∴DE＝AE，
又∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EDA＝60°，
即∠EDA的大小保持不变；
②∵BF＝AB﹣AF＝2﹣AF，
∴当AF最小时，BF的值最大，
可以发现，当AD⊥OB时，AD有最小值，
在Rt△AOD中，∠AOD＝60°，OA＝2，
∴AD＝OA•sin60°＝2×＝，
即AD的最小值为，
∵△ADE和△AOB是等边三角形，
∴∠DAF＝∠DAE﹣∠OAD＝30°，
∴∠AFD＝180﹣∠DAF﹣∠ADF＝90°，
∴AF⊥DE，
∴此时AF也取最小值；
∴当AD⊥OB时，AF取最小值，
在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AD＝，
∴AF＝AD•sin60°＝×＝，
∴BF＝AB﹣AF＝，
∴线段BF的长度最大值为；
另解：∵△ADE和△AOB是等边三角形，
∴∠AOD＝∠DBF＝∠EDA＝60°，
∠BDF+∠EDA＝∠AOD+∠OAD，
∴∠BDF＝∠OAD，
∴△AOD∽△DBF，
∴，
设OD＝x，则BD＝2﹣x，
，
∴BF＝，
∴当x＝1时（此时点D为OB的中点），BF取最大值；
（3）设DE的中点为M，连接AM，过点D作DN⊥对称轴于点N，
∵OA＝OB＝AC＝BC＝AB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA∥BC，
∵DN⊥BH，
∴OA∥BC∥DN，
∴∠EBM＝∠DNM，∠BEM＝∠NDM，
又∵DM＝EM，
∴△BEM≌△NDM（AAS），
∴DN＝EB，
∵AD＝AE，DM＝ME，
∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°，
∴∠BME+∠HMA＝90°，
∵∠BME+∠BEM＝90°，
∴∠HMA＝∠BEM，
∴Rt△BME∽Rt△HAM，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴MH＝BH﹣BM＝，
∴DN＝BE＝，
∴S△BDE＝S△BDM+S△EBM＝＝；
故答案为：．
六．三角形综合题（共1小题）
6．（2022•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
（1）∠EDC的度数为 45 °；
（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求的最大值．
【答案】（1）45；
（2）9；
（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由见解析过程；
（4）．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝12，
∵D、E分别为BC、PC的中点，
∴DE∥AB，DE＝BP，
∴∠EDC＝∠ABC＝45°，
故答案为：45；
（2）设AP＝x，则BP＝12﹣x，
∵DE＝BP，
∴DE＝6﹣，
∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，
∴∠EDC＝∠DEF＝45°，
∴DF＝EF＝DE＝3﹣x，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝6，
∴CF＝3+x，
∵GF⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠CGF＝45°，
∴GF＝FC，
∴GC＝FC＝6+，
∴AG＝6﹣，
∴S△APG＝×AP×AG＝×x×（6﹣）＝﹣（x﹣6）2+9，
∴当x＝6时，△APG的面积的最大值为9；
（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由如下：
∵DF＝EF，∠CFE＝∠GFD＝90°，CF＝GF，
∴△CEF≌△GDF（SAS），
∴CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，
∵∠DGF+∠GDF＝90°，
∴∠GDF+∠DCE＝90°，
∴∠DHC＝90°，
∴DG⊥PE，
∵点E是PC的中点，
∴PE＝EC，
∴DG＝PE；
（4）方法一、∵CF＝3+x＝GF，EF＝3﹣x，
∴EC＝＝，
∵AP＝x，AC＝12，
∴PC＝＝，
∵∠ACP＝∠GCH，∠A＝90°＝∠GHC，
∴△APC∽△HGC，
∴＝，
∴＝，
∴GH＝，CH＝，
∴＝＝12×＝≤＝＝＝，
∴的最大值为．
方法二、如图，过点H作MH∥AB，交BC于M，
∵∠DHC＝90°，
∴点H以CD为直径的⊙O上，
连接OH，并延长交AB于N，
∵MH∥AB，
∴，
∵OH，OB是定长，
∴ON的取最小值时，OM有最大值，
∴当ON⊥AB时，OM有最大值，
此时MH⊥OH，CM有最大值，
∵DE∥AB，
∴MH∥DE，
∴，
∴当CM有最大值时，有最大值，
∵AB∥MH，
∴∠HMO＝∠B＝45°，
∵MH⊥OH，
∴∠HMO＝∠HOM＝45°，
∴MH＝HO，
∴MO＝HO，
∵HO＝CO＝DO，
∴MO＝CO，CD＝2CO，
∴CM＝（+1）CO，
∴＝＝．
七．四边形综合题（共3小题）
7．（2023•徐州）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝2x2﹣8x+16；
（2）当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
（3）四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8..
【解答】解：（1）∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4﹣x，∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴y＝AE2+AH2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16；
（2）当y＝10时，即2x2﹣8x+16＝10，
解得x＝1或x＝3，
答：当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
（3）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∵2＞0，
∴y有最小值，最小值为8．
即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8．
8．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 200 ．
【答案】【阅读理解】见解析；
【探究发现】上述结论依然成立，理由见解析；
【拓展提升】见解析；
【尝试应用】200．
【解答】【阅读理解】解：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∴AC2＝AB2+BC2，
∵AB＝a，BC＝b，
∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）＝2a2+2b2；
【探究发现】解：上述结论依然成立，
理由：如图②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE＝DF，BE＝CF，
在Rt△ACE中，由勾股定理，可得
AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2…①，
在Rt△BDF中，由勾股定理，可得
BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+CF）2＝DF2+（BC+BE）2…②，
由①②，可得
AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2AE2+2BC2+2BE2，
在Rt△ABE中，由勾股定理，可得
AB2＝AE2+BE2，
∴AC2+BD2＝2AE2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2＝2AB2+2BC2＝2a2+2b2；
【拓展提升】证明：如图3，延长BO至点E，使BO＝OE，
∵BO是BC边上的中线，
∴AO＝CO，
又∵AO＝CO，
∴四边形ABCE是平行四边形，
由【探究发现】，可得BE2+AC2＝2AB2+2BC2，
∵BE＝2BO，
∴BE2＝4BO2，
∵AB＝a，BC＝b，AC＝c，
∴4BO2+c2＝2a2+2b2，
∴．
【尝试应用】解：过P作PH⊥BC于H，
则四边形APHB和四边形PHCD是矩形，
∴AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，PD＝CH，
设BH＝x，CH＝12﹣x，
∴PB2+PC2＝PH2+BH2+PH2+CH2＝82+x2+82+（12﹣x）2＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200，
故PB2+PC2的最小值为200，
故答案为：200．
9．（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与 A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．
（1）求证：
①△PDF的面积S＝PD2；
②EA＝FD；
（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．
【答案】（1）①证明过程见解答；
②证明过程见解答；
（2）4≤MN＜．
【解答】（1）证明：如图1，作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，作EH⊥AD，交DA的延长线于点H.
①由旋转得，PF＝CP，∠CPF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDC＝90°，
∵∠FPG+∠DPC＝90°，∠PCD+∠DPC＝90°，
∴∠FPG＝∠PCD，
∵∠G＝∠PDC＝90°，
∴△FPG≌△PCD（AAS），
∴FG＝PD，
∴△PDF的面积S＝PD•FG＝PD2．
②由①得，△FPG≌△PCD，
∴PD＝FG，PG＝CD＝4，
同理，△EPH≌△PBA，
∴EH＝AP，PH＝BA＝4，
∵AH＝4﹣AP＝PD，
∴AH＝FG；
∵AP＝4﹣PD＝DG，
∴EH＝DG；
∵∠H＝∠G＝90°，
∴△EAH≌△DFG（SAS），
∴EA＝FD．
（2）如图2，在图1的基础上，作FL⊥EH于点L，则∠FLE＝∠FLH＝90°，
∴四边形HLFG是矩形，
∴LH＝FG＝AH，FL＝GH＝4+4＝8；
∵EH＝PA，AH＝PD，
∴EH+AH＝PA+PD＝AD＝4；
设PD＝m，EL＝n，（m＞0，n≥0），则LH＝AH＝m，
∴n＝4﹣2m；
∵EF2＝EL2+FL2＝n2+82＝n2+64，
∴EF＝，
∴EF随n的增大而增大；
由n＝4﹣2m可知，n随m的增大而减小，
当m＝2时，n最小＝0，此时，EF最小＝＝8；
若m＝0，则n最大＝4，此时，EF最大＝＝4，
∵点P不与点A、D重合，
∴m＞0，
∴n＜4，EF＜4，
∴EF的取值范围是8≤EF＜，
∴4≤EF＜；
∵∠ADM＝∠GDF＝∠HEA，∠DAM＝∠HAE，
∴∠ADM+∠DAM＝∠HEA+∠HAE＝90°，
∴∠EMF＝90°；
∵N是EF的中点，
∴MN＝EF，
∴MN的取值范围是4≤MN＜．
八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2021•徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由矩形性质可得AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF，
故△AEF为等腰三角形．
（2）解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABE中，有AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．
由（1）结论可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
11．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62
【答案】（1）AE≈91cm；
（2）约为32cm．
【解答】解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，
∴AF＝AD•cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），
在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，
∴AE＝＝＝≈91（cm）；
（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，如图所示：
∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，
在Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），
在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，
∴tan32°＝，
∴FG＝＝≈75.8（cm），
∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），
在Rt△AGN中，AN＝AG•sin∠DGA＝163.8×sin32°＝163.8×0.53≈86.8（cm），
∵∠AMN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM＝AN≈1.41×86.8≈122.4（cm），
∴EM＝AM﹣AE≈122.4﹣91≈31.4（cm），
当M、H重合时，EH的值最小，
∴EH的最小值约为32cm．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2023•徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE＝36°，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE＝30°．若测角仪距地面的高度FC＝GD＝1.6m，CD＝70m，求电视塔的高度AB（精确到0.1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
【答案】电视塔的高度AB约为199.2m．
【解答】解：由题意得：GE⊥AB，EB＝FC＝GD＝1.6m，FG＝CD＝70m，EF＝BC，
设EF＝BC＝xm，
∴GE＝EF+FG＝（x+70）m，
在Rt△AEG中，∠AGE＝30°，
∴AE＝EG•tan30°≈0.58（x+70）m，
在Rt△AEF中，∠AFE＝36°，
∴AE＝EF•tan36°≈0.73x（m），
∴0.73x＝0.58（x+70），
解得：x≈270.67，
∴AE＝0.73x≈197.59（m），
∴AB＝AE+BE＝197.59+1.6≈199.2（m），
∴电视塔的高度AB约为199.2m．
一十一．作图-三视图（共1小题）
13．（2023•徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 32：27 ；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）：
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】（1）32：27；
（2）①见解析部分；
②见解析部分．
【解答】解：（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为 π×（32﹣12）＝8π；环的“肉”的面积为 π×（32﹣1.52）＝6.75π，
∴它们的面积之比为 8 π：6.75 π＝32：27；
故答案为32：27；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB，AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径 为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可，由作图可知满足比例关系为1：2：1的关系，符合“肉好若一”；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半 径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于 点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：
一十二．条形统计图（共1小题）
14．（2023•徐州）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 450 ；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 36 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
【答案】（1）450；
（2）36；
（3）见解答；
（4）2500人．
【解答】解：（1）此次调查的样本容量为：117÷26%＝450，
故答案为：450；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：36；
（3）样本中B的人数为：450﹣45﹣117﹣233＝55（人），
补全条形统计图如下：
（4）25000×＝2500（人），
答：其中视力正常的人数大约为2500人．
一十三．中位数（共1小题）
15．（2021•徐州）某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所示．
根据图中信息，解决下列问题．
（1）这11年间，该市中考人数的中位数是 7.6 万人；
（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是 2020 年；
（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是 C ．
A．12.8万人
B．14.0万人
C．15.3万人
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为 C ．
A．23.1万人
B．28.1万人
C．34.4万人
（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加多少人？（结果取整数）
【答案】（1）7.6；
（2）2020；
（3）C；
（4）C；
（5）721．
【解答】解：（1）将这11年的中考人数从小到大，处在中间位置的一个数是7.6万人，因此中位数是7.6万人，
故答案为：7.6；
（2）13.7﹣11.6＝2.1（万人），
11.6﹣9.1＝2.5（万人），
9.1﹣7.4＝1.7（万人），
7.4﹣6.6＝0.8（万人），
6.6﹣6.1＝0.5（万人），
所以2020年增长最快，
故答案为：2020；
（3）2020年比2019年增长2.5万人，
2021年比2020年增长2.1万人，
因此预测2022年比2021年增长约1.6万人，
所以2022年中考人数约为13.7+1.6＝15.3（万人），
故选：C；
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为13.7+11.6+9.1＝34.4（万人），
故选：C；
（5）设需要增加x人，由题意得，
（13.7+11.6+9.1）：4000＝（15.3+13.7+11.6）：（4000+x），
解得x≈721（人），
答：该校数学教师较上年同期增加大约721人．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，
∴抽得2张扑克牌的数字不同的概率为＝．
江苏省徐州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023•徐州）计算：
（1）；
（2）．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2021•徐州）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•徐州）（1）解方程组；
（2）解不等式组 ．
四．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．
五．二次函数综合题（共1小题）
5．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为 ．
六．三角形综合题（共1小题）
6．（2022•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
（1）∠EDC的度数为 °；
（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求的最大值．
七．四边形综合题（共3小题）
7．（2023•徐州）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
8．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 ．
9．（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与 A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．
（1）求证：
①△PDF的面积S＝PD2；
②EA＝FD；
（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．
八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2021•徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
11．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2023•徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE＝36°，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE＝30°．若测角仪距地面的高度FC＝GD＝1.6m，CD＝70m，求电视塔的高度AB（精确到0.1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
一十一．作图-三视图（共1小题）
13．（2023•徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）：
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
一十二．条形统计图（共1小题）
14．（2023•徐州）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 ；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
一十三．中位数（共1小题）
15．（2021•徐州）某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所示．
根据图中信息，解决下列问题．
（1）这11年间，该市中考人数的中位数是 万人；
（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是 年；
（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是 ．
A．12.8万人
B．14.0万人
C．15.3万人
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为 ．
A．23.1万人
B．28.1万人
C．34.4万人
（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加多少人？（结果取整数）
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
江苏省徐州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023•徐州）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2022；
（2）．
【解答】解：（1）
＝2023+1﹣6+4
＝2022；
（2）
＝
＝
＝．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2021•徐州）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
【答案】50．
【解答】解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元，
根据题意得，+2＝，
解得，x＝50，
检验：经检验，x＝50是原方程的解．
答：该商品打折前每件50元．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•徐州）（1）解方程组；
（2）解不等式组 ．
【答案】（1）．
（2）﹣8＜x≤2．
【解答】解：（1），
把①代入②中得：
2（4y+1）﹣5y＝8，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：
x＝4×2+1＝9，
∴原方程组的解为：．
（2），
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣8，
∴不等式组的解集为：﹣8＜x≤2．
四．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析；
（2）①k＝1，b＝2；
②点P的坐标为（0，﹣2）．
【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴OC＝AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，），
∵2m×＝8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH＝AD，
设点A的坐标为（m，），
∴CH＝m，AD＝，
∴m＝×，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，
∴；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴，
∴，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．
五．二次函数综合题（共1小题）
5．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为 ．
【答案】（1）A（2，0），B（1，）；
（2）①∠EDA的大小保持不变；②线段BF的长度最大值为；
（3）．
【解答】解：令y＝0，得：
，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴A（2，0），
∵y＝﹣＝，
∴顶点的坐标为（1，）；
（2）①在线段AB上截取BG＝BE，连接EG，
由已知可得：∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，
由（1）可抛物线对称轴是直线x＝1，
∴OH＝1，
∴OB＝，
AB＝＝2，
∴AB＝OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AC＝BC＝AB＝2，
∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°，
∵∠GBE＝60°，BG＝BE，
∴△BGE是等边三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝∠GBE＝60°，BE＝GE，
∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝120°，
又∵∠DBE＝∠OBA+∠ABC＝120°，
∴∠DBE＝∠AGE，
∵∠BED+∠DEG＝∠GEA+∠DEG＝60°，
∴∠BED＝∠GEA，
∴△DBE≌△AGE（AAS），
∴DE＝AE，
又∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EDA＝60°，
即∠EDA的大小保持不变；
②∵BF＝AB﹣AF＝2﹣AF，
∴当AF最小时，BF的值最大，
可以发现，当AD⊥OB时，AD有最小值，
在Rt△AOD中，∠AOD＝60°，OA＝2，
∴AD＝OA•sin60°＝2×＝，
即AD的最小值为，
∵△ADE和△AOB是等边三角形，
∴∠DAF＝∠DAE﹣∠OAD＝30°，
∴∠AFD＝180﹣∠DAF﹣∠ADF＝90°，
∴AF⊥DE，
∴此时AF也取最小值；
∴当AD⊥OB时，AF取最小值，
在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AD＝，
∴AF＝AD•sin60°＝×＝，
∴BF＝AB﹣AF＝，
∴线段BF的长度最大值为；
另解：∵△ADE和△AOB是等边三角形，
∴∠AOD＝∠DBF＝∠EDA＝60°，
∠BDF+∠EDA＝∠AOD+∠OAD，
∴∠BDF＝∠OAD，
∴△AOD∽△DBF，
∴，
设OD＝x，则BD＝2﹣x，
，
∴BF＝，
∴当x＝1时（此时点D为OB的中点），BF取最大值；
（3）设DE的中点为M，连接AM，过点D作DN⊥对称轴于点N，
∵OA＝OB＝AC＝BC＝AB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA∥BC，
∵DN⊥BH，
∴OA∥BC∥DN，
∴∠EBM＝∠DNM，∠BEM＝∠NDM，
又∵DM＝EM，
∴△BEM≌△NDM（AAS），
∴DN＝EB，
∵AD＝AE，DM＝ME，
∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°，
∴∠BME+∠HMA＝90°，
∵∠BME+∠BEM＝90°，
∴∠HMA＝∠BEM，
∴Rt△BME∽Rt△HAM，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴MH＝BH﹣BM＝，
∴DN＝BE＝，
∴S△BDE＝S△BDM+S△EBM＝＝；
故答案为：．
六．三角形综合题（共1小题）
6．（2022•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
（1）∠EDC的度数为 45 °；
（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求的最大值．
【答案】（1）45；
（2）9；
（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由见解析过程；
（4）．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝12，
∵D、E分别为BC、PC的中点，
∴DE∥AB，DE＝BP，
∴∠EDC＝∠ABC＝45°，
故答案为：45；
（2）设AP＝x，则BP＝12﹣x，
∵DE＝BP，
∴DE＝6﹣，
∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，
∴∠EDC＝∠DEF＝45°，
∴DF＝EF＝DE＝3﹣x，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝6，
∴CF＝3+x，
∵GF⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠CGF＝45°，
∴GF＝FC，
∴GC＝FC＝6+，
∴AG＝6﹣，
∴S△APG＝×AP×AG＝×x×（6﹣）＝﹣（x﹣6）2+9，
∴当x＝6时，△APG的面积的最大值为9；
（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由如下：
∵DF＝EF，∠CFE＝∠GFD＝90°，CF＝GF，
∴△CEF≌△GDF（SAS），
∴CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，
∵∠DGF+∠GDF＝90°，
∴∠GDF+∠DCE＝90°，
∴∠DHC＝90°，
∴DG⊥PE，
∵点E是PC的中点，
∴PE＝EC，
∴DG＝PE；
（4）方法一、∵CF＝3+x＝GF，EF＝3﹣x，
∴EC＝＝，
∵AP＝x，AC＝12，
∴PC＝＝，
∵∠ACP＝∠GCH，∠A＝90°＝∠GHC，
∴△APC∽△HGC，
∴＝，
∴＝，
∴GH＝，CH＝，
∴＝＝12×＝≤＝＝＝，
∴的最大值为．
方法二、如图，过点H作MH∥AB，交BC于M，
∵∠DHC＝90°，
∴点H以CD为直径的⊙O上，
连接OH，并延长交AB于N，
∵MH∥AB，
∴，
∵OH，OB是定长，
∴ON的取最小值时，OM有最大值，
∴当ON⊥AB时，OM有最大值，
此时MH⊥OH，CM有最大值，
∵DE∥AB，
∴MH∥DE，
∴，
∴当CM有最大值时，有最大值，
∵AB∥MH，
∴∠HMO＝∠B＝45°，
∵MH⊥OH，
∴∠HMO＝∠HOM＝45°，
∴MH＝HO，
∴MO＝HO，
∵HO＝CO＝DO，
∴MO＝CO，CD＝2CO，
∴CM＝（+1）CO，
∴＝＝．
七．四边形综合题（共3小题）
7．（2023•徐州）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝2x2﹣8x+16；
（2）当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
（3）四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8..
【解答】解：（1）∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4﹣x，∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴y＝AE2+AH2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16；
（2）当y＝10时，即2x2﹣8x+16＝10，
解得x＝1或x＝3，
答：当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
（3）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∵2＞0，
∴y有最小值，最小值为8．
即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8．
8．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 200 ．
【答案】【阅读理解】见解析；
【探究发现】上述结论依然成立，理由见解析；
【拓展提升】见解析；
【尝试应用】200．
【解答】【阅读理解】解：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∴AC2＝AB2+BC2，
∵AB＝a，BC＝b，
∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）＝2a2+2b2；
【探究发现】解：上述结论依然成立，
理由：如图②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE＝DF，BE＝CF，
在Rt△ACE中，由勾股定理，可得
AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2…①，
在Rt△BDF中，由勾股定理，可得
BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+CF）2＝DF2+（BC+BE）2…②，
由①②，可得
AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2AE2+2BC2+2BE2，
在Rt△ABE中，由勾股定理，可得
AB2＝AE2+BE2，
∴AC2+BD2＝2AE2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2＝2AB2+2BC2＝2a2+2b2；
【拓展提升】证明：如图3，延长BO至点E，使BO＝OE，
∵BO是BC边上的中线，
∴AO＝CO，
又∵AO＝CO，
∴四边形ABCE是平行四边形，
由【探究发现】，可得BE2+AC2＝2AB2+2BC2，
∵BE＝2BO，
∴BE2＝4BO2，
∵AB＝a，BC＝b，AC＝c，
∴4BO2+c2＝2a2+2b2，
∴．
【尝试应用】解：过P作PH⊥BC于H，
则四边形APHB和四边形PHCD是矩形，
∴AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，PD＝CH，
设BH＝x，CH＝12﹣x，
∴PB2+PC2＝PH2+BH2+PH2+CH2＝82+x2+82+（12﹣x）2＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200，
故PB2+PC2的最小值为200，
故答案为：200．
9．（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与 A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．
（1）求证：
①△PDF的面积S＝PD2；
②EA＝FD；
（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．
【答案】（1）①证明过程见解答；
②证明过程见解答；
（2）4≤MN＜．
【解答】（1）证明：如图1，作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，作EH⊥AD，交DA的延长线于点H.
①由旋转得，PF＝CP，∠CPF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDC＝90°，
∵∠FPG+∠DPC＝90°，∠PCD+∠DPC＝90°，
∴∠FPG＝∠PCD，
∵∠G＝∠PDC＝90°，
∴△FPG≌△PCD（AAS），
∴FG＝PD，
∴△PDF的面积S＝PD•FG＝PD2．
②由①得，△FPG≌△PCD，
∴PD＝FG，PG＝CD＝4，
同理，△EPH≌△PBA，
∴EH＝AP，PH＝BA＝4，
∵AH＝4﹣AP＝PD，
∴AH＝FG；
∵AP＝4﹣PD＝DG，
∴EH＝DG；
∵∠H＝∠G＝90°，
∴△EAH≌△DFG（SAS），
∴EA＝FD．
（2）如图2，在图1的基础上，作FL⊥EH于点L，则∠FLE＝∠FLH＝90°，
∴四边形HLFG是矩形，
∴LH＝FG＝AH，FL＝GH＝4+4＝8；
∵EH＝PA，AH＝PD，
∴EH+AH＝PA+PD＝AD＝4；
设PD＝m，EL＝n，（m＞0，n≥0），则LH＝AH＝m，
∴n＝4﹣2m；
∵EF2＝EL2+FL2＝n2+82＝n2+64，
∴EF＝，
∴EF随n的增大而增大；
由n＝4﹣2m可知，n随m的增大而减小，
当m＝2时，n最小＝0，此时，EF最小＝＝8；
若m＝0，则n最大＝4，此时，EF最大＝＝4，
∵点P不与点A、D重合，
∴m＞0，
∴n＜4，EF＜4，
∴EF的取值范围是8≤EF＜，
∴4≤EF＜；
∵∠ADM＝∠GDF＝∠HEA，∠DAM＝∠HAE，
∴∠ADM+∠DAM＝∠HEA+∠HAE＝90°，
∴∠EMF＝90°；
∵N是EF的中点，
∴MN＝EF，
∴MN的取值范围是4≤MN＜．
八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2021•徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由矩形性质可得AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF，
故△AEF为等腰三角形．
（2）解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABE中，有AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．
由（1）结论可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
11．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62
【答案】（1）AE≈91cm；
（2）约为32cm．
【解答】解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，
∴AF＝AD•cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），
在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，
∴AE＝＝＝≈91（cm）；
（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，如图所示：
∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，
在Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），
在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，
∴tan32°＝，
∴FG＝＝≈75.8（cm），
∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），
在Rt△AGN中，AN＝AG•sin∠DGA＝163.8×sin32°＝163.8×0.53≈86.8（cm），
∵∠AMN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM＝AN≈1.41×86.8≈122.4（cm），
∴EM＝AM﹣AE≈122.4﹣91≈31.4（cm），
当M、H重合时，EH的值最小，
∴EH的最小值约为32cm．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2023•徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE＝36°，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE＝30°．若测角仪距地面的高度FC＝GD＝1.6m，CD＝70m，求电视塔的高度AB（精确到0.1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
【答案】电视塔的高度AB约为199.2m．
【解答】解：由题意得：GE⊥AB，EB＝FC＝GD＝1.6m，FG＝CD＝70m，EF＝BC，
设EF＝BC＝xm，
∴GE＝EF+FG＝（x+70）m，
在Rt△AEG中，∠AGE＝30°，
∴AE＝EG•tan30°≈0.58（x+70）m，
在Rt△AEF中，∠AFE＝36°，
∴AE＝EF•tan36°≈0.73x（m），
∴0.73x＝0.58（x+70），
解得：x≈270.67，
∴AE＝0.73x≈197.59（m），
∴AB＝AE+BE＝197.59+1.6≈199.2（m），
∴电视塔的高度AB约为199.2m．
一十一．作图-三视图（共1小题）
13．（2023•徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 32：27 ；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）：
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】（1）32：27；
（2）①见解析部分；
②见解析部分．
【解答】解：（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为 π×（32﹣12）＝8π；环的“肉”的面积为 π×（32﹣1.52）＝6.75π，
∴它们的面积之比为 8 π：6.75 π＝32：27；
故答案为32：27；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB，AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径 为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可，由作图可知满足比例关系为1：2：1的关系，符合“肉好若一”；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半 径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于 点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：
一十二．条形统计图（共1小题）
14．（2023•徐州）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 450 ；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 36 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
【答案】（1）450；
（2）36；
（3）见解答；
（4）2500人．
【解答】解：（1）此次调查的样本容量为：117÷26%＝450，
故答案为：450；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：36；
（3）样本中B的人数为：450﹣45﹣117﹣233＝55（人），
补全条形统计图如下：
（4）25000×＝2500（人），
答：其中视力正常的人数大约为2500人．
一十三．中位数（共1小题）
15．（2021•徐州）某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所示．
根据图中信息，解决下列问题．
（1）这11年间，该市中考人数的中位数是 7.6 万人；
（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是 2020 年；
（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是 C ．
A．12.8万人
B．14.0万人
C．15.3万人
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为 C ．
A．23.1万人
B．28.1万人
C．34.4万人
（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加多少人？（结果取整数）
【答案】（1）7.6；
（2）2020；
（3）C；
（4）C；
（5）721．
【解答】解：（1）将这11年的中考人数从小到大，处在中间位置的一个数是7.6万人，因此中位数是7.6万人，
故答案为：7.6；
（2）13.7﹣11.6＝2.1（万人），
11.6﹣9.1＝2.5（万人），
9.1﹣7.4＝1.7（万人），
7.4﹣6.6＝0.8（万人），
6.6﹣6.1＝0.5（万人），
所以2020年增长最快，
故答案为：2020；
（3）2020年比2019年增长2.5万人，
2021年比2020年增长2.1万人，
因此预测2022年比2021年增长约1.6万人，
所以2022年中考人数约为13.7+1.6＝15.3（万人），
故选：C；
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为13.7+11.6+9.1＝34.4（万人），
故选：C；
（5）设需要增加x人，由题意得，
（13.7+11.6+9.1）：4000＝（15.3+13.7+11.6）：（4000+x），
解得x≈721（人），
答：该校数学教师较上年同期增加大约721人．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，
∴抽得2张扑克牌的数字不同的概率为＝．
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