江苏省南通市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类

这是一份江苏省南通市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类，共24页。试卷主要包含了的“﹣2级变换点”，是函数y＝图象的“2阶方点”，两点，且与y轴相交于点M，已知等内容，欢迎下载使用。

江苏省南通市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2002•南通）某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期投资200万元，每生产1台这种新家电，后期还需其他投资0.3万元，已知每台新家电可实现产值0.5万元．
（1）分别求总投资额y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式；
（2）当新家电的总产量为900台时，该公司的盈亏情况如何？
（3）请你利用第（1）小题中y2与x的函数关系式，分析该公司的盈亏情况．
（注：总投资＝前期投资+后期其他投资，总利润＝总产值﹣总投资）
二．二次函数综合题（共4小题）
2．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
3．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
4．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 　 　（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
5．（2002•南通）设抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点，且与y轴相交于点M．
（1）求b和c（用含a的代数式表示）；
（2）在抛物线y＝ax2﹣bx+c﹣1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；
（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线y＝ax2+bx+c上，试判断直线AM和x轴的位置关系，并说明理由．
三．平行四边形的性质（共1小题）
6．（2002•南通）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD＝∠BAF．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）△CEF的哪两边之和恰好等于▱ABCD的周长？证明你的结论．

四．四边形综合题（共2小题）
7．（2021•南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．

（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．
8．（2022•南通）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．


五．切线的性质（共1小题）
9．（2023•南通）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
（1）求证：四边形ODCE是菱形；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

六．相似形综合题（共1小题）
10．（2023•南通）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．
​
（1）如图，点E在边BC上，BE＝DF，则图中与线段AE相等的线段是 　 　；
（2）过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF＝DG时，求的值．

江苏省南通市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2002•南通）某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期投资200万元，每生产1台这种新家电，后期还需其他投资0.3万元，已知每台新家电可实现产值0.5万元．
（1）分别求总投资额y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式；
（2）当新家电的总产量为900台时，该公司的盈亏情况如何？
（3）请你利用第（1）小题中y2与x的函数关系式，分析该公司的盈亏情况．
（注：总投资＝前期投资+后期其他投资，总利润＝总产值﹣总投资）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意，
y1＝0.3x+200，
y2＝0.5x﹣（0.3x+200）＝0.2x﹣200；

（2）把x＝900代入y2中，
可得y2＝0.2×900﹣200＝﹣20＜0，
∴当总产量为900台时，公司会亏损，亏损额为20万元；

（3）根据题意，
当0.2x﹣200＜0时，解得x＜1000，说明总产量小于1000台时，公司会亏损；
当0.2x﹣200＞0时，解得x＞1000，说明总产量大于1000台时，公司会盈利；
当0.2x﹣200＝0时，解得x＝1000，说明总产量等于1000台时，公司不会亏损也不会盈利．
二．二次函数综合题（共4小题）
2．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”，函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；
（2）b的值为﹣2或4；
（3）m＜﹣或﹣1＜m＜2．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；
在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；
（2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝，
解得：x＝，
∴A（，），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x＝b，
∴B（b，b），
∵BC⊥x轴，
∴C（b，0），
∴BC＝|b|，
∵△ABC的面积为3，
∴×|b|×|﹣b|＝3，
当b＜0时，b2﹣2﹣24＝0，
解得b＝﹣2，
当0≤b＜2时，b2﹣2+24＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×24＝﹣84＜0，
∴方程b2﹣2+24＝0没有实数根，
当b≥2时，b2﹣2﹣24＝0，
解得：b＝4，
综上所述，b的值为﹣2或4；
（3）令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
∴m＜﹣，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜﹣或﹣1＜m＜2．
3．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
【答案】（1）存在，k＝±；
（2）证明见解答；
（3）0＜n≤1且n≠1/6．
【解答】（1）解：存在，理由：
由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），
将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），
解得：k＝±；

（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，﹣kt+2k），
由点A的坐标知，点A在直线y＝x﹣2上，同理可得，点B在直线y＝﹣x+2k，
则y1＝m2﹣2，y2＝﹣m2+2k，
则y1﹣y2＝m2﹣2+﹣m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，
∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，
即y1﹣y2≥2；

（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，
设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），
将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，
则t＝s﹣5，
即点A在直线y＝x﹣5上，
同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，
即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；
由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，
当n＞0时，
抛物线和直线AB的大致图象如下：

直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如上图，
联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，
设点A的横坐标为x，则x+5＝，
∵x≥0，
则﹣5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，
故n≠，
即0＜n≤1且n≠；
当n＜0时，
当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0＜n≤1且n≠1/6．
4．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 　②③　（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）②③；
（2）3或﹣1；
（3）≤n≤1．
【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2，，
∵2＞1，＜1，
∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1，1
∵1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵当x＝3时，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，
∴函数经过点（3，1），
如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，设A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点B时，n＝1；
当抛物线经过点D时，n＝﹣1或n＝；
∴当≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．


5．（2002•南通）设抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点，且与y轴相交于点M．
（1）求b和c（用含a的代数式表示）；
（2）在抛物线y＝ax2﹣bx+c﹣1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；
（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线y＝ax2+bx+c上，试判断直线AM和x轴的位置关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点，
∴，
解得．
（2）由（1）得，抛物线y＝ax2﹣bx+c﹣1的解析式是y＝ax2+（a+1）x﹣2a，
即ax2+ax﹣2a＝0，
∵a是抛物线解析式的二次项系数，
∴a≠0，
可得，x2+x﹣2＝0，
∴方程的解是x1＝1，x2＝﹣2，
∴抛物线y＝ax2﹣bx+c﹣1满足条件的点的坐标是P1（1，1），P2（﹣2，﹣2）．
（3）由（1）得抛物线y＝ax2+bx+c的解析式是y＝ax2﹣（a+1）x+1﹣2a，
①当P1（1，1）在抛物线上时，有a﹣（a+1）+1﹣2a＝1，
解得a＝﹣，这时抛物线y＝ax2+bx+c的解析式是y＝﹣x2﹣x+2，它与y轴的交点是M（0，2）
∵点A（﹣1，2），M（0，2）两点的纵坐标相等，
∴直线AM平行于x轴．
②当P2（﹣2，﹣2）在抛物线上时，由4a+2（a+1）+1﹣2a＝﹣2，
解得a＝﹣，这时抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，它与y轴的交点是M（0，）显然A、M两点的纵坐标不相等，
∴直线AM与x轴相交，
综上所述，当P1（1，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上时，直线AM平行x轴；当P2（﹣2，﹣2）在抛物线y＝ax2+bx+c上时，直线AM与x轴相交．
三．平行四边形的性质（共1小题）
6．（2002•南通）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD＝∠BAF．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）△CEF的哪两边之和恰好等于▱ABCD的周长？证明你的结论．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，∠BAF＝∠E．
又∠EAD＝∠BAF，
∴∠E＝∠F．
∴CE＝CF．
即△CEF是等腰三角形．

（2）解：△CEF中，CE和CF的和恰好等于平行四边形的周长．
证明如下：由（1）得∠EAD＝∠F＝∠BAF＝∠E，
∴DE＝AD，AB＝BF．
∴CE+CF＝CD+AD+CB+AB．
即CE与CF的和等于平行四边形的周长．
四．四边形综合题（共2小题）
7．（2021•南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．

（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，连接BF，

∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴AB＝BF，BE⊥AF，
∴∠ABE＝∠EBF＝α，
∴∠CBF＝90°﹣2α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴BF＝BC，
∴∠BCF＝＝45°+α；
（2）DG∥CF，
理由如下：如图2，连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGA＝∠ADC＝90°，
∴点A，点D，点G，点C四点共圆，
∴∠AGD＝∠ACD＝45°，
∵AB＝BF，∠ABF＝2α，
∴∠AFB＝＝90°﹣α，
∴∠AFC＝135°，
∴∠CFG＝45°＝∠DGA，
∴DG∥CF；
（3）∵BE＞AB，
∴BH＞BF，
∴BH≠BF；
如图3，当BH＝FH时，过点H作HN⊥BF于N，

∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，
∴△ABE≌△CBH，∠EBH＝90°＝∠ABC，
∴AE＝CH，BE＝BH，∠ABE＝∠CBH＝α＝∠FBE，AB＝BC，
∴∠HBF＝90°﹣α，
∵BH＝FH，HN⊥BF，
∴BN＝NF＝BF＝AB，∠BNH＝90°＝∠BAE，
∴∠BHN＝α，
∴∠ABE＝∠BHN，
∴△ABE≌△NHB（ASA），
∴BN＝AE＝AB，
∴BE＝＝AE，
∴sinα＝＝，
当BF＝FH时，
∴∠FBH＝∠FHB＝90°﹣α，
∴∠BFH＝2α＝∠ABF，
∴AB∥FH，
即点F与点C重合，则点E与点D重合，
∵点E在边AD上（不与端点A，D重合），
∴BF＝FH不成立，
综上所述：sinα的值为．
8．（2022•南通）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．


【答案】（1）证明见解析部分；
（2）或；
（3）．
【解答】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B＝∠AMF＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠MAF，
在△ABE和△AMF中，
，
∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM；

（2）解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，
∴BE＝＝＝，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，
∵∠CMF＝90°，
∴CF＝＝＝．
当点E在CD上时，可得CF＝．
综上所述，CF的值为或；

（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．

∵△ABE≌△AMF，
∴AM＝AB＝4，
∵∠AMF＝90°，
∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，
∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴MJ＝，CJ＝，
∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣＝，
∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，
∴△CMJ∽△DHJ，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝，
∴DF的最小值为．
当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．

∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠RAF，
∵AE＝AF，AD＝AR，
∴△ADE≌△ARF（SAS），
∴∠ADE＝∠ARF＝90°，
∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，
∴四边形DKRQ是矩形，
∴DK＝QR，
∴AQ＝AD•cos∠BAC＝3×＝，
∵AR＝AD＝3，
∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝，
∴DF的最小值为，
∵＜，
∴DF的最小值为．
解法二：当点E在BC上时，如图，将线段AD绕点A逆时针旋转，旋转角的度数＝∠BAC，得到AT，连接DT，ET，DF．

证明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，
当TE⊥BC时，DF的值最小，可得DF的最小值为．
当点E在CD上时，同法可得DF的最小值为．
五．切线的性质（共1小题）
9．（2023•南通）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
（1）求证：四边形ODCE是菱形；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）图中阴影部分的面积为﹣2．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵⊙O和底边AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，
∵OD＝OC，OC＝OE，
∴△ODC和△OCE都是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC，OC＝OE＝CE，
∴OD＝CD＝CE＝OE，
∴四边形ODCE是菱形；
（2）解：连接DE交OC于点F，

∵四边形ODCE是菱形，
∴OF＝OC＝1，DE＝2DF，∠OFD＝90°，
在Rt△ODF中，OD＝2，
∴DF＝＝＝，
∴DE＝2DF＝2，
∴图中阴影部分的面积＝扇形ODE的面积﹣菱形ODCE的面积
＝﹣OC•DE
＝﹣×2×2
＝﹣2，
∴图中阴影部分的面积为﹣2．
六．相似形综合题（共1小题）
10．（2023•南通）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．
​
（1）如图，点E在边BC上，BE＝DF，则图中与线段AE相等的线段是 　AF　；
（2）过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF＝DG时，求的值．
【答案】（1）AF；
（2）45°或135°；
（3）﹣1．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵BE＝BF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
故答案为：AF；
（2）当E点在BC边上时，如图1，
过G点作GM⊥AD交于M，延长MG交BC于N点，
∴∠AMG＝∠DMG＝∠GNE＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴∠AGM+∠MAG＝90°，
∵EG⊥AF，∠EAF＝45°，
∴∠AGM+∠EGN＝90°，
∵∠AGE＝90°，∠EAF＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG，
∴∠EGN＝∠MAG，
∴△AMG≌△GNE（AAS），
∴AM＝GN，
∵AM+MD＝GN+MG，
∴MD＝MG，
∴△MDG为等腰直角三角形，
∴∠MDG＝45°，
∴∠GDC＝45°；
当点E在CD边上时，如图2，
过点G作GN⊥DF交于N，延长NG交BA延长线于点M，
∴四边形ADNM是矩形，
同理，△AMG≌△GNE（AAS），
∴GN＝AM＝DN，
∴△NDG为等腰直角三角形，
∴∠GDN＝45°，
∴∠GDC＝180°﹣45°＝135°，
综上所述：∠GDC的度数为45°或135°；
（3）当点F在CD边延长线上时，点E在边CD上，
设GN＝DN＝a，则DG＝a，
∴DF＝DG＝a，
∴FN＝DF﹣DN＝（﹣1）a，
∵GN∥AD，
∴＝＝﹣1．