江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类

这是一份江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类，共30页。试卷主要包含了计算，解方程组；等内容，欢迎下载使用。

江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类
一．分式的乘除法（共1小题）
1．（2023•扬州）计算：
（1）（2﹣）0﹣+tan60°；
（2）÷（b﹣a）．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023•徐州）计算：
（1）；
（2）．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023•扬州）甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
四．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•徐州）（1）解方程组；
（2）解不等式组 ．
五．一次函数的应用（共3小题）
5．（2023•扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
6．（2023•苏州）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝l1﹣l2，d与t具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：
（1）滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值 　 　；（填“由负到正”或“由正到负”）
（2）滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若d＝18，求t的值．

7．（2023•连云港）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯：
阶梯
年用气量
销售价格
备注
第一阶梯
0～400m3（含400）的部分
2.67元/m3
若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3．
第二阶梯
400～1200m3（含1200）的部分
3.15元/m3
第三阶梯
1200m3以上的部分
3.63元/m3
（1）一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为 　 　元；
（2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3（x＞1200），该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
六．菱形的性质（共1小题）
8．（2023•连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2．求OD的长及tan∠EDO的值．

七．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　 　．

八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2023•无锡）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．
（1）当∠QPB＝45°时，求四边形BB'C'C的面积；
（2）当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．

九．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）

一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
12．（2023•连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE＝36°，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE＝30°．若测角仪距地面的高度FC＝GD＝1.6m，CD＝70m，求电视塔的高度AB（精确到0.1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）

一十二．作图-三视图（共1小题）
14．（2023•徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 　 　；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）：
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
一十三．条形统计图（共1小题）
15．（2023•徐州）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 　 　；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 　 　°；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
一十四．众数（共1小题）
16．（2023•无锡）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动．现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题．
学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表
竞赛成绩x
x＜75（A）
75≤x＜80（B）
80≤x＜85（C）
85≤x＜90（D）
90≤x＜95（E）
95≤x≤100（F）
频数
21
96
a
57
b
6
学生参加航天知识竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
七年级
82.73
82
81
八年级
81.84
82
82
九年级
81.31
83
80

（1）a＝　 　；m＝　 　%；
（2）请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．
一十五．方差（共1小题）
17．（2023•扬州）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：


平均数
众数
中位数
七年级参赛学生成绩
85.5
m
87
八年级参赛学生成绩
85.5
85
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　；
（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断　 　（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．
一十六．列表法与树状图法（共3小题）
18．（2023•苏州）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 　 　；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
19．（2023•连云港）如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．

现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为 　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．
20．（2023•徐州）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？

江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的乘除法（共1小题）
1．（2023•扬州）计算：
（1）（2﹣）0﹣+tan60°；
（2）÷（b﹣a）．
【答案】（1）1﹣；
（2）﹣．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+
＝1﹣；

（2）原式＝•
＝﹣．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023•徐州）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2022；
（2）．
【解答】解：（1）
＝2023+1﹣6+4
＝2022；
（2）
＝
＝
＝．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023•扬州）甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为14.4km/h．
【解答】解：设甲同学步行的速度为xkm/h，则乙同学骑自行车的速度为4xkm/h，
由题意得：﹣＝，
解得：x＝3.6，
经检验，x＝3.6是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝4×3.6＝14.4，
答：乙同学骑自行车的速度为14.4km/h．
四．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•徐州）（1）解方程组；
（2）解不等式组 ．
【答案】（1）．
（2）﹣8＜x≤2．
【解答】解：（1），
把①代入②中得：
2（4y+1）﹣5y＝8，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：
x＝4×2+1＝9，
∴原方程组的解为：．
（2），
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣8，
∴不等式组的解集为：﹣8＜x≤2．
五．一次函数的应用（共3小题）
5．（2023•扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】（1）甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元．
【解答】解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，
根据题意，得m≥（40﹣m），
解得m≥，
w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，
∵4＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝14时，w取得最小值，
即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为14×4+1920＝1976（元），
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元．
6．（2023•苏州）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝l1﹣l2，d与t具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：
（1）滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值 　由负到正　；（填“由负到正”或“由正到负”）
（2）滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若d＝18，求t的值．

【答案】（1）由负到正；
（2）d＝﹣12t+234；
（3）t＝6或18
【解答】（1）解：∵d＝l1﹣l2，
当滑块在A点时，l1＝0，d＝﹣l2＜0，
当滑块在B点时，l2＝0，d＝l1＞0，
∴d的值由负到正．
（2）设轨道AB的长为n，当滑块从左向右滑动时，
∵l1+l2+1＝n，
∴l2＝n﹣l1﹣1，
：d＝l1﹣l2＝l1﹣（n﹣l1﹣2）＝2l1﹣n+1＝2×9t﹣n+1＝18t﹣n+1
∴d是t的一次函数，
∵当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；
∴当t＝5时，d＝0，
∴18×5﹣n+1＝0，
∴n＝91，
∴滑块从点A到点B所用的时间为（91﹣1）÷9＝10（s），
∵整个过程总用时27s （含停顿时间）．当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，
∴滑块从B返回到A所用的时间为27﹣10﹣2＝15s．
∴滑块返回的速度为：（91﹣1）÷15＝6（m/s），
∴当12≤t≤27时，l2＝6（t﹣12），
∴l1＝91﹣1﹣l2＝90﹣6（t﹣12）＝162﹣6t，
∴l1﹣l2＝162﹣6t﹣6（t﹣12）＝﹣12t+234，
∴d与t的函数表达式为：d＝﹣12t+234；
（3）当d＝18时，有两种情况：
由（2）可得，
①当0≤t≤10时，18t﹣90＝18，
∴t＝6；
②当12≤t≤27时，﹣12t+234＝18，
∴t＝18．
综上所述，当t＝6或18时，d＝18．
7．（2023•连云港）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯：
阶梯
年用气量
销售价格
备注
第一阶梯
0～400m3（含400）的部分
2.67元/m3
若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3．
第二阶梯
400～1200m3（含1200）的部分
3.15元/m3
第三阶梯
1200m3以上的部分
3.63元/m3
（1）一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为 　534　元；
（2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3（x＞1200），该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
【答案】（1）534；
（2）y与x的函数表达式为y＝3.63x﹣768（x＞1200）；
（3）该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．
【解答】解：（1）200×2.67＝534（元），
故答案为：534；
（2）根据题意得：y＝400×2.67+（1200﹣400）×3.15+3.63（x﹣1200）＝3.63x﹣768，
∴y与x的函数表达式为y＝3.63x﹣768（x＞1200）；
（3）∵400×2.67+（1200﹣400）×3.15＝3588＜3855，
∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，
由（2）知，当y＝3855时，3.63x﹣768＝3855，
解得x＝1273.6，
又∵2.67×（100+400）+3.15×（1200+200﹣500）＝4170＞3855，且2.67×（100+400）＝1335＜3855．
∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯，
设乙户年用气量为am3 则有2.67×500+3.15（a﹣500）＝3855，
解得a＝1300，
1300﹣1273.6＝26.4≈26m3，
答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．
六．菱形的性质（共1小题）
8．（2023•连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2．求OD的长及tan∠EDO的值．

【答案】OD＝2，tan∠EDO＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC，
∵AC＝4，
∴OA＝2，
∵E是AD中点，
∴OE＝AD，
∵OE＝2，
∴AD＝4，
∴OD＝＝＝2，
∴tan∠EDO＝＝＝．
七．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　3﹣π　．

【答案】（1）见解答；
（2）3﹣π．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）∵PM和PN为⊙O的切线，
∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，
在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，
∴OM＝PM＝×3＝，
∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积
＝S四边形PMON﹣S扇形MON
＝2××3×﹣
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2023•无锡）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．
（1）当∠QPB＝45°时，求四边形BB'C'C的面积；
（2）当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．

【答案】（1）四边形BB'C'C的面积为4．
（2）S关于x的函数表达式为．
【解答】解：（1）连接BD、BQ，

∵菱形ABCD，
∴CB＝CD＝4，∠A＝∠C＝60°，
∴△BDC为等边三角形，
∵Q为CD中点，
∴CQ＝2，BQ⊥CD，
∴BQ＝2，QB⊥PB，
∵∠QPB＝45°，
∴△PBQ为等腰直角三角形，
∴PB＝2，PQ＝2，
由翻折的性质可得，∠BPB′＝90°，PB＝PB′，
∴BB′＝2，
∴S四边形BB′C′C＝2S梯形PBCQ﹣S△PBB′+S△CQC′＝＝4，
答：四边形BB'C'C的面积为4．
（2）如图，连接BQ、B′Q，延长PQ交CC′于点F，

∵PB＝x，BQ＝2，∠PBQ＝90°，
∴，
∵S△PBQ＝
∴BE＝＝，
∴QE＝，
∴S△QEB＝，
∵∠BEQ＝BQC＝∠QFC＝90°，
则∠EQB＝90°﹣∠CQF＝∠FCQ，
∴△BEQ∽△QFC，
∴，
∴，
∵S△BQC＝，
∴S＝2（S△QEB+S△BQC+S△QFC）＝2（）＝．
答：S关于x的函数表达式为．
九．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）

【答案】点C离地面的高度升高了，升高约16cm．
【解答】解：点C离地面的高度升高了，
理由：如图，当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，

∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC∥AH，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝∠GAE＝60°，
∵点C离地面的高度为288cm，DH＝208cm，
∴DK＝288﹣208＝80（cm），
在Rt△CDK中，CD＝＝＝160（cm），
如图，当∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，

在Rt△CDQ中，CD＝160cm，
∴DQ＝CD•cos54°≈160×0.6＝96（cm），
∴96﹣80＝16（cm），
∴点C离地面的高度升高约16cm．
一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
12．（2023•连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

【答案】86.1m．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，

在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，
∴BE＝ABsin∠BAE＝92×sin48°≈92×0.74＝68.08m，
过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，
∴CF＝BC×sin∠CBF≈30×0.60＝18.00m，
∵FD＝BE＝68.08m，
∴DC＝FD+CF＝68.08+18.00＝86.08≈86.1m．
答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1m．
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE＝36°，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE＝30°．若测角仪距地面的高度FC＝GD＝1.6m，CD＝70m，求电视塔的高度AB（精确到0.1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）

【答案】电视塔的高度AB约为199.2m．
【解答】解：由题意得：GE⊥AB，EB＝FC＝GD＝1.6m，FG＝CD＝70m，EF＝BC，
设EF＝BC＝xm，
∴GE＝EF+FG＝（x+70）m，
在Rt△AEG中，∠AGE＝30°，
∴AE＝EG•tan30°≈0.58（x+70）m，
在Rt△AEF中，∠AFE＝36°，
∴AE＝EF•tan36°≈0.73x（m），
∴0.73x＝0.58（x+70），
解得：x≈270.67，
∴AE＝0.73x≈197.59（m），
∴AB＝AE+BE＝197.59+1.6≈199.2（m），
∴电视塔的高度AB约为199.2m．
一十二．作图-三视图（共1小题）
14．（2023•徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 　32：27　；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）：
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】（1）32：27；
（2）①见解析部分；
②见解析部分．
【解答】解：（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为 π×（32﹣12）＝8π；环的“肉”的面积为 π×（32﹣1.52）＝6.75π，
∴它们的面积之比为 8 π：6.75 π＝32：27；
故答案为32：27；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB，AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径 为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可，由作图可知满足比例关系为1：2：1的关系，符合“肉好若一”；

②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半 径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于 点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：

一十三．条形统计图（共1小题）
15．（2023•徐州）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 　450　；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 　36　°；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
【答案】（1）450；
（2）36；
（3）见解答；
（4）2500人．
【解答】解：（1）此次调查的样本容量为：117÷26%＝450，
故答案为：450；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：36；
（3）样本中B的人数为：450﹣45﹣117﹣233＝55（人），
补全条形统计图如下：

（4）25000×＝2500（人），
答：其中视力正常的人数大约为2500人．
一十四．众数（共1小题）
16．（2023•无锡）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动．现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题．
学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表
竞赛成绩x
x＜75（A）
75≤x＜80（B）
80≤x＜85（C）
85≤x＜90（D）
90≤x＜95（E）
95≤x≤100（F）
频数
21
96
a
57
b
6
学生参加航天知识竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
七年级
82.73
82
81
八年级
81.84
82
82
九年级
81.31
83
80

（1）a＝　90　；m＝　10　%；
（2）请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．
【答案】（1）90，10；
（2）见解答．
【解答】解：（1）∵抽取的总人数为21÷7%＝300（人），
∴C组的人数为a＝300×30%＝90（人），
m＝100%﹣7%﹣32%﹣30%﹣19%﹣2%＝10%；
故答案为：90，10；
（2）七年级的成绩好一些，因为七年级成绩的平均数最高，所以七年级的成绩要好一些．（答案不唯一）．
一十五．方差（共1小题）
17．（2023•扬州）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：


平均数
众数
中位数
七年级参赛学生成绩
85.5
m
87
八年级参赛学生成绩
85.5
85
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　80　，n＝　86　；
（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断　＞　（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．
【答案】（1）80，86；
（2）＞；
（3）七年级的成绩较好．
【解答】解：（1）七年级成绩中80分的最多有3个，所以众数m＝80，
将八年级样成绩重新排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97，
所以中位数n＝＝86，
故答案为：80，86；
（2）∵七年级的方差是＝×[（74﹣85.5）2+3×（80﹣85.5）2+（86﹣85.5）2+2×（88﹣85.5）2+（89﹣85.5）2+（91﹣85.5）2+（99﹣85.5）2]＝46.05，
八年级的方差是＝×[（76﹣85.5）2+（77﹣85.5）2+3×（85﹣85.5）2+2×（87﹣85.5）2+2×（88﹣85.5）2+（97﹣85.5）2]＝31.25，
∴＞；
故答案为：＞；
（3）因为平均数相同，七年级的中位数较大，所以七年级的成绩较好．
一十六．列表法与树状图法（共3小题）
18．（2023•苏州）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 　　；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为2的有一个，
∴P（任意摸出1个球，这个球的编号是2）＝；
（2）画树状图如下：

一共有16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1出现了3次，
∴P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1）＝．
19．（2023•连云港）如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．

现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为 　　；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数为7，
所以两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率＝．
20．（2023•徐州）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？
【答案】．
【解答】解：把纪念塔、纪念馆这两个景点分别记为A、B，
画树状图如下：

共有8种等可能的结果，其中甲，乙、丙三人选择相同景点的结果有2种，
∴甲，乙、丙三人选择相同景点的概率为＝．