江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题较难题知识点分类

这是一份江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题较难题知识点分类，共75页。试卷主要包含了的图象如图所示，【问题情境 建构函数】，之间的函数关系如图所示，的“﹣2级变换点”，规定，，直线l是对称轴，，B，其顶点是C等内容，欢迎下载使用。

江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题较难题知识点分类
一．反比例函数综合题（共3小题）
1．（2023•镇江）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B（1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝　 　，k＝　 　，点C的坐标为 　 　；
（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．

2．（2023•泰州）在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）、B（m﹣a，0）（a＞m＞0）的位置和函数y1＝（x＞0）、y2＝（x＜0）的图象如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图象相交于点E，CD边与函数y1、y2的图象分别相交于点G、H，一次函数y3的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
（1）若m＝2，a＝4，求函数y3的表达式及△PGH的面积；
（2）当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
（3）试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图象上？并说明理由．

3．（2023•连云港）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC＝x，AE＝y，试用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．

【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此时y关于x的函数表达式是 　 　；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
二．二次函数的应用（共1小题）
4．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】

三．二次函数综合题（共8小题）
5．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
6．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 　 　（填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 　 　、　 　；
（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．
7．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为 　 　．

8．（2023•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣6x+8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点（3，2），求PM长的取值范围．

9．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．
（1）当m＝1时，求点D的坐标；
（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．

10．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．
（1）b＝　 　；
（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．

11．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
12．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．
①a＝　 　；
②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．

四．三角形综合题（共4小题）
13．（2023•镇江）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，OA、OB分别表示门框和门所在位置，点M、N分别是OA、OB上的定点，OM＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定长，∠MFN大小可变．

（1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度数；
（2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置OB（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值＝　 　．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
14．（2023•镇江）已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（m，n），点C与点B关于原点对称，直线AB、AC分别与y轴交于点E、F，点F在点E的上方，EF＝2．
（1）分别求点E、F的纵坐标（用含m、n的代数式表示），并写出m的取值范围；
（2）求点B的横坐标m、纵坐标n满足的数量关系（用含m的代数式表示n）；
（3）将线段EF绕点（0，1）顺时针旋转90°，E、F的对应点分别是E'、F'．当线段E'F'与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围．

15．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
16．（2023•扬州）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当α＝60°时，BC＝　 　；当BC＝2时，α＝　 　°；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 　 　．

五．四边形综合题（共4小题）
17．（2023•镇江）[发现]如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：
①取AB、AC的中点D、E，在边BC上作MN＝DE．
②连接EM，过点D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分别为G、H．
③将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置．
④延长PQ、ST交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q、A、T在一条直线上；
②四边形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四边形FPGS与△ABC的面积相等．
[任务1]请你对结论①进行证明．
[任务2]如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，P、Q分别是AB、CD的中点，连接PQ．求证：PQ＝（AD+BC）．
[任务3]如图3，有一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小丽分别取AB、CD的中点P、Q，在边BC上作MN＝PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长．

18．（2023•徐州）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

19．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 　 　．

20．（2023•常州）对于平面内的一个四边形，若存在点O，使得该四边形的一条对角线绕点O旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形MNPQ中，对角线MP、NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”．
（1）若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是 　 　；
（2）如图1，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点O是四边形ABCD的一个“旋点”．求∠ACB的度数；
（3）如图2，在四边形ABCD中，AC＝BD，AD与BC不平行．四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请说明理由．

六．圆的综合题（共1小题）
21．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．
​
知识回顾
（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；
逆向思考
（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
七．作图—复杂作图（共1小题）
22．（2023•常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心．
①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接PQ，则PQ与BE的关系是 　 　．

八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2023•苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．

九．相似形综合题（共2小题）
24．（2023•南通）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．
​
（1）如图，点E在边BC上，BE＝DF，则图中与线段AE相等的线段是 　 　；
（2）过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF＝DG时，求的值．
25．（2023•常州）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E、F在边AB上（EF＜AB），且点C、D、G、H在直线AB的同侧；第二步，设＝m，＝n，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点O，射线OH与射线AD相交于点P（点P、D不重合），射线OG与射线BC相交于点Q（点Q、C不重合），观测DP、CQ的长度．
（1）如图2，小丽取AB＝4，EF＝3，m＝1，n＝3，滑动矩形EFGH，当点E、A重合时，CQ＝　 　；
（2）小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB的中点．她发现对于任意的m≠n，DP＝CQ总成立．请说明理由；
（3）经过数次操作，小丽猜想，设定m、n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP＝CQ总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．


江苏省各地市2023年中考数学真题分类汇编-03解答题较难题知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数综合题（共3小题）
1．（2023•镇江）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B（1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝　﹣3　，k＝　﹣3　，点C的坐标为 　（﹣4，0）　；
（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．

【答案】（1）﹣3，﹣3，（﹣4，0）；
（2）点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即点B（1，﹣3），
将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝﹣3×1＝﹣3，
即反比例函数的表达式为：y＝﹣，
根据正比例函数的对称性，点A（﹣1，3），
由点O、A的坐标得，OA＝，过点A作AH⊥x轴于点H，

由直线AB的表达式知，tan∠AOH＝3，
而∠ACO＝45°，
设AH＝3x＝CH，则OH＝x，则AO＝x＝，则x＝1，
则AH＝CH＝3，OH＝1，
则CO＝CH+OH＝4，
则点C的坐标为：（﹣4，0），
故答案为：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；

（2）当点P在x轴的负半轴时，
∵∠BOP＞90°＞∠AOC，
又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，
∴△BOP和△AOC不可能相似；
当点P在x轴的正半轴时，∠AOC＝∠BOP，
若△AOC∽△BOP，则，
则OP＝OC＝4，
即点P（4，0）；
若△AOC∽△POB，则，
即，
解得：OP＝2.5，
即点P（2.5，0），
综上，点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．
2．（2023•泰州）在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）、B（m﹣a，0）（a＞m＞0）的位置和函数y1＝（x＞0）、y2＝（x＜0）的图象如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图象相交于点E，CD边与函数y1、y2的图象分别相交于点G、H，一次函数y3的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
（1）若m＝2，a＝4，求函数y3的表达式及△PGH的面积；
（2）当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
（3）试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图象上？并说明理由．

【答案】（1）y3＝﹣2x+5，；
（2）当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积不变化，理由见解答；
（3）直线PH与BC边的交点在函数y2的图象上，理由见解答．
【解答】（1）∵m＝2，a＝4，
∴点A（2，0），B（﹣2，0），y1＝，y2＝，
∴点E（2，1），G（，4），H（﹣，4），
∵一次函数y3的图象经过点E、G，
∴设y3＝kx+b，则
，
∴，
∴函数y3的表达式为y3＝﹣2x+5，
∴P（0，5），
∴PM＝OP﹣OM＝1，
∴S△PGH＝×HG×PM＝×1×1＝．
（2）∵点A（m，0），B（m﹣a，0），y1＝，y2＝，
∴点E（m，1），G（，a），H（，a），
设y3＝k1x+b1，则
，
∴b1＝a+1，
∴P（0，a+1），
∴PM＝OP﹣OM＝1，
∴S△PGH＝×HG×PM＝×（）×1＝．
∴当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积不变化．
（3）设直线PH与BC边的交点为N，设直线PH为y＝k2x+a+1，代入H（，a），得+a+1＝a，
∴k2＝，
∴y＝x+a+1，
当x＝m﹣a时，y＝1，
∴N（m﹣a，1），
∴点N在y2＝（x＜0）的图象上．

3．（2023•连云港）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC＝x，AE＝y，试用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．

【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是 　①④　．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此时y关于x的函数表达式是 　y＝（x＞0，k＞0）　；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
【答案】（1）y＝＝（x＞0）；
（2）当x取任意实数时，函数y＝的图象关于原点成中心对称；
（3）①④；
（4）y＝（x＞0，k＞0），性质见解答．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BCM＝90°，
∴∠ABE+∠MBC＝90°，
∵AE⊥BM，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝∠BCM，∠MBC＝∠BAE，
∴Rt△ABE∽Rt△BMC，
∴，
∵AB＝4，点M是CD的中点，
∴CM＝CD＝AB＝2，
在Rt△BMC中，BM＝＝＝，
∴＝，
∴y＝＝（x＞0）；
（2）x取任意实数时，对应的函数图象关于原点对称理由如下：
若P（a，b）为图象上任意一点，则b＝，
∴设P（a，b）关于原点的对称点为Q，则Q（﹣a，﹣b），
∵当x＝﹣a时，y＝＝﹣，
∴Q（﹣a，﹣b）也在函数y＝的图象上，
∴当x取任意实数时，函数y＝的图象关于原点对称；
（3）观察图象，①函数值y随x的增大而增大；故正确，
②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；故错误，
③存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误，
④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形，故正确．
故答案为：①④；
（4）y关于x的函数表达式为y＝（x＞0，k＞0），
当k≠0，x取任意实数时，有如下相关性质：
当k＞0时，图象经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大，y的取值范围为﹣2k＜y＜2k；
当k＜0时，图象经过第二、四象限，函数值y随x的增大而减小，y的取值范围为2k＜y＜﹣2k；
函数图象经过原点；
函数图象关于原点对称；
故答案为：y＝（x＞0，k＞0）．

二．二次函数的应用（共1小题）
4．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】

【答案】（1）y＝；
（2）当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，
将（22，48），（30，40）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣x+70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，
将（30，40），（45，10）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣2x+100，
综上，y与x的函数表达式为：y＝；
（2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
当x＝35时，w取得最大值为450；
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
三．二次函数综合题（共8小题）
5．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
【答案】（1）存在，k＝±；
（2）证明见解答；
（3）0＜n≤1且n≠1/6．
【解答】（1）解：存在，理由：
由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），
将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），
解得：k＝±；

（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，﹣kt+2k），
由点A的坐标知，点A在直线y＝x﹣2上，同理可得，点B在直线y＝﹣x+2k，
则y1＝m2﹣2，y2＝﹣m2+2k，
则y1﹣y2＝m2﹣2+﹣m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，
∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，
即y1﹣y2≥2；

（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，
设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），
将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，
则t＝s﹣5，
即点A在直线y＝x﹣5上，
同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，
即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；
由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，
当n＞0时，
抛物线和直线AB的大致图象如下：

直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如上图，
联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，
设点A的横坐标为x，则x+5＝，
∵x≥0，
则﹣5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，
故n≠，
即0＜n≤1且n≠；
当n＜0时，
当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0＜n≤1且n≠1/6．
6．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 　②　（填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 　　、　　；
（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．
【答案】（1）②；
（2）①2；
②，；
（3）＞16．
【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y＝﹣，
∴与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；

（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；
②∵2x2﹣5x+2＝﹣，
∴2x3﹣5x2+2x+1＝0，
∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1＝0，
∴（2x3﹣2x2）﹣（2x2﹣2x）﹣（x2﹣1）＝0，
∴2x2（x﹣1）﹣2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣x﹣1）＝0，
∴2x2﹣3x﹣1＝0，
∴x＝或x＝．
故答案为：，．
（3）x1满足方程﹣x+m＝﹣，即﹣mx1＝2，
x2，x3满足方程x﹣m＝﹣，即x2，x3是方程x2﹣mx+2＝0的两个根，
∴Δ＝m2﹣8＞0，即m2＞8，x2+x3＝m，
∴＝（m﹣2x1）2＝m2﹣4mx1+4＝m2+4（﹣mx1）＝m2+8＞16．

7．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为 　　．

【答案】（1）A（2，0），B（1，）；
（2）①∠EDA的大小保持不变；②线段BF的长度最大值为；
（3）．
【解答】解：（1）令y＝0，得：
，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴A（2，0），
∵y＝﹣＝，
∴顶点B的坐标为（1，）；

（2）①在线段AB上截取BG＝BE，连接EG，
由已知可得：∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，
由（1）可抛物线对称轴是直线x＝1，
∴OH＝1，
∴OB＝，
AB＝＝2，
∴AB＝OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AC＝BC＝AB＝2，
∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°，
∵∠GBE＝60°，BG＝BE，
∴△BGE是等边三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝∠GBE＝60°，BE＝GE，
∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝120°，
又∵∠DBE＝∠OBA+∠ABC＝120°，
∴∠DBE＝∠AGE，
∵∠BED+∠DEG＝∠GEA+∠DEG＝60°，
∴∠BED＝∠GEA，
∴△DBE≌△AGE（ASA），
∴DE＝AE，
又∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EDA＝60°，
即∠EDA的大小保持不变；
②∵△ADE和△AOB是等边三角形，
∴∠AOD＝∠DBF＝∠EDA＝60°，
∠BDF+∠EDA＝∠AOD+∠OAD，
∴∠BDF＝∠OAD，
∴△AOD∽△DBF，
∴，
设OD＝x，则BD＝2﹣x，
，
∴BF＝，
∴当x＝1时（此时点D为OB的中点），BF取最大值；

（3）设DE的中点为M，连接AM，过点D作DN⊥对称轴于点N，
∵OA＝OB＝AC＝BC＝AB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA∥BC，
∵DN⊥BH，
∴OA∥BC∥DN，
∴∠EBM＝∠DNM，∠BEM＝∠NDM，
又∵DM＝EM，
∴△BEM≌△NDM（AAS），
∴DN＝EB，
∵AD＝AE，DM＝ME，
∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°，
∴∠BME+∠HMA＝90°，
∵∠BME+∠BEM＝90°，
∴∠HMA＝∠BEM，
∴Rt△BME∽Rt△HAM，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴MH＝BH﹣BM＝，
∴DN＝BE＝，
∴S△BDE＝S△BDM+S△EBM＝＝；
故答案为：．


8．（2023•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣6x+8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点（3，2），求PM长的取值范围．

【答案】（1）点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．
（2）PM长的取值范围为： 或＜PM＜2或PM＞2．
【解答】解：（1）令y＝0，
则x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴A（2，0），B（4，0）．
答：点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．
（2）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴对称轴为x＝3．
设P（m，m2﹣6m+8），
∵PM⊥l，
∴M（3，m2﹣6m+8），
连接MT，则MT⊥PT，
∴PT2＝PM2﹣MT2＝（m﹣3）2﹣r2，
即以切线长PT为边长的正方形的面积为（m﹣3）2﹣r2，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
则，
∴（m﹣3）2﹣r2＝m2﹣6m+8，
∵r＞0，
∴r＝1．
假设⊙M经过点N（3，2），则有两种情况：
①如图，当点M在点N的上方，

∴M（3，3），
∴m2﹣6m+8＝3，
解得m＝5或1，
∵m＞4，
∴m＝5．
②如图，当点M在点N的下方，

∴M（3，1），
∴m2﹣6m+8＝1，
解得，
∵m＞4，
∴，
综上所述，PM＝m﹣3＝2或，
∴当⊙M不经过点N（3，2）时，PM长的取值范围为： 或＜PM＜2或PM＞2．
答：PM长的取值范围为： 或＜PM＜2或PM＞2．
9．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．
（1）当m＝1时，求点D的坐标；
（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．

【答案】（1）（1，6）；（2）∠BCD＝90°时，L2：y＝﹣x2+2x++3；当∠BDC＝90°，L2：y＝﹣x2+2x﹣3；（3）．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线L1的顶点坐标P（1，﹣4），
∵m＝1，点P和点D关于直线y＝1对称，
∴点D的坐标为（1，6）；
（2）∵抛物线L1的顶点P（1，﹣4）与L2的顶点D关于直线y＝m对称，
∴D（1，2m+4），抛物线L2：y＝﹣（x﹣1）2+（2m+4）＝﹣x2+2x+2m+3，
∴当x＝0时，C（0，2m+3），

①当∠BCD＝90°时，如图1，过D作DN⊥y轴于N，
∵D（1，2m+4），
∴N（0，2m+4），
∵C（0，2m+3），
∴DN＝NC＝1，
∴∠DCN＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵直线l∥x轴，
∴∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝∠BCO＝45°，BO＝CO，
∵m≥﹣3，
∴BO＝CO＝（2m+3）﹣m＝m+3，
∴B（m+3，m），
∵点B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，
∴m＝0或m＝﹣3，
∵当m＝3时，得B（0，﹣3），C（0，﹣3），此时，点B和点C重合，舍去，当m＝0时，符合题意；
将m＝0代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得L2：y＝﹣x2+2x+3，
②当∠BDC＝90°，如图2，过B作BT⊥ND交ND的延长线于T，
同理，BT＝DT，
∴D（1，2m+4），
∴DT＝BT＝（2m+4）﹣m＝m+4，
∵DN＝1，
∴NT＝DN+DT＝1+（m+4）＝m+5，
∴B（m+5，m），
∵当B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴m＝（m+5）2﹣2（m+5）﹣3，
解得m＝﹣3或m＝﹣4，
∵m≥﹣3，
∴m＝﹣3，此时，B（2，﹣3），C（0，﹣3）符合题意；
将m＝﹣3代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得，L2：y＝﹣x2+2x﹣3，
③易知，当∠DBC＝90°，此种情况不存在；
综上所述，L2所对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3或y＝﹣x2+2x﹣3；
（3）由（2）知，当∠BDC＝90°时，m＝﹣3，
此时，△BCD的面积为1，不合题意舍去，
当∠BCD＝90°时，m＝0，此时，△BCD的面积为3，符合题意，
由题意得，EF＝FG＝CD＝，取EF的中点Q，
在Rt△CEF中可求得CQ＝EF＝，在Rt△FGQ中可求得GQ＝，
当Q，C，G三点共线时，CG取最小值，最小值为．
10．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．
（1）b＝　﹣1　；
（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．

【答案】（1）b＝﹣1；
（2）k≤﹣3；
（3）P（3，﹣）或（﹣1，﹣）．
【解答】解：（1）由题意得，
﹣2b﹣4＝0，
∴b＝﹣1；
（2）∵tan∠AOD＝，
∴设D（2t，5t），
∴，
∴t1＝﹣，t2＝4（舍去），
∴D（﹣1，﹣），
∵y＝﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，
∴新抛物线设为：y＝（x﹣m）2﹣，
∴﹣，
∴m1＝﹣3，m2＝1（舍去），
∴y＝（x+3）2﹣，
∵在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
∴k≤﹣3；
（3）如图，
作PV⊥CQ 于V，
设P（t，），
∴平移后的抛物线为：y＝（x﹣t）2+（），
当x＝1时，y＝t2﹣2t﹣，
∴Q（1，t2﹣2t﹣），
∵＞0，
∴∠CPQ＝90°，
∵QV＝（t2﹣2t﹣）﹣（）＝﹣t，
CV＝（﹣t﹣4）﹣（﹣）＝﹣t+，
∴QV＝CV，
∴PV＝CV＝QV，
∴|t﹣1|＝，
∴t1＝3，t2＝﹣1，t3＝t4＝1（舍去），
当t＝3时，y＝32﹣3﹣4＝﹣，
∴P（3，﹣）或（﹣1，﹣）．

11．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
【答案】（1）b的值为﹣3，c的值为﹣2．
（2）①EF的最大值为．
②点E的横坐标为2或．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝（x2+bx+c）的图象经过点B（4，）和点C（﹣1，），
∴，
解得b＝﹣3，c＝﹣2，
∴二次函数解析式为y＝（x2﹣3x﹣2）．
答：b的值为﹣3，c的值为﹣2．
（2）①如图1，过点E作y轴平行线分别交AB、BD于G、H，
∵y＝（x2﹣3x﹣2），
∴A（0，﹣），
∴AD＝2，BD＝4，
∴AB＝2，
∴cos，
∴cos，
∴，
∴，
∵A（0，﹣），B（4，）
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得
∴直线AB的解析式为y＝，
设E（m，），则G（m，），
∴，
∴当m＝2时，EG取得最大值，
∴EF的最大值为．
答：EF的最大值为．
②如图2，已知，令AC＝，BC＝2，在BC上截取AD＝BD，
∴∠ADC＝2∠ABC，
设CD＝x，则AD＝BD＝2﹣x，
则，
解得x＝，
∴tan∠ADC＝，即tan（2∠ABC）＝2，
如图3，构造△AMF∽△FNE，相似比为AF：EF，
∵tan∠MFA＝tan∠CBA＝tan∠FEN＝，
设AM＝，MF＝2a，
1°当∠FAE＝2∠ABC时，，
∴，
∴，
∴E（6a，），
代入抛物线解析式，得（舍去），
∴E点的横坐标为6a＝2，
2°当∠FEA＝2∠ABC时，，
∴，
∴，
∴，
代入抛物线解析式，得（舍去），
∴E点的横坐标为，
综上，点E的横坐标为2或．

12．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．
①a＝　1　；
②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．

【答案】（1）①1；②菱形的边长为；③n﹣m是为定值，n﹣m＝1；
（2）m、n满足的等量关系式为m+n＝0或n﹣m＝．
【解答】解：（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0，
∴（0，0）在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，（0，2）不在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，
∵四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，
∴二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上的三个点是（0，0），（1，1），（﹣1，1），
把（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，
故答案为：1；
②设BC交y轴于E，如图：

设菱形的边长为2t，则AB＝BC＝CD＝AD＝2t，
∵B，C关于y轴对称，
∴BE＝CE＝t，
∴B（﹣t，t2），
∴OE＝t2，
∵AE＝＝t，
∴OA＝OE+AE＝t2+t，
∴D（2t，t2+t），
把D（2t，t2+t）代入y＝x2得：
t2+t＝4t2，
解得t＝或t＝0（舍去），
∴菱形的边长为；
③n﹣m是为定值，理由如下：
过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，如图：

∵点B、D的横坐标分别为m、n，
∴B（m，m2），D（n，n2），
∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠FAB＝90°﹣∠EAD＝∠EDA，
∵∠AFB＝∠DEA＝90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n，
∴m＝n2﹣n﹣m2，
∴m+n＝（n﹣m）（n+m），
∵点B、D在y轴的同侧，
∴m+n≠0，
∴n﹣m＝1；
（2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，
∵点B、D的横坐标分别为m、n，
∴B（m，am2），D（n，an2），
①当B，D在y轴左侧时，如图：

∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝﹣n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n，
∴﹣m＝am2+n﹣an2，
∴m+n＝a（n﹣m）（n+m），
∵m+n≠0，
∴n﹣m＝；
②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，如图：

∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n，
∴﹣m＝am2+n﹣an2，
∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），
∴m+n＝0或n﹣m＝；
③当B，D在y轴右侧时，如图：

∴BF＝m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n，
∴m＝an2﹣n﹣am2，
∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），
∵m+n≠0
∴n﹣m＝；
综上所述，m、n满足的等量关系式为m+n＝0或n﹣m＝．
四．三角形综合题（共4小题）
13．（2023•镇江）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，OA、OB分别表示门框和门所在位置，点M、N分别是OA、OB上的定点，OM＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定长，∠MFN大小可变．

（1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度数；
（2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置OB（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值＝　0.75　．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【答案】（1）∠MNB的度数为143°；
（2）作图见解答；
（3）0.75．
【解答】解：（1）如图2，∵OA⊥OB，点M、N分别是OA、OB上的定点，
∴∠MON＝90°，
∵∠MFN＝180°，
∴M、F、N三点在同一条直线上，
∵OM＝27cm，ON＝36cm，
∴tan∠ONM＝＝＝0.75，
∴∠ONM＝37°，
∴∠MNB＝180°﹣37°＝143°，
∴∠MNB的度数为143°．
（2）如图3，作法：1．以点O为圆心，以ON为半径作弧，
2．以点F为圆心，以FN为半径作弧，交前弧于点N、点N′，
3．作射线OB、射线OB′，
射线OB或射线OB′就是此时门的位置．
（3）如图4，作OD⊥MN于点D，则∠ODN＝90°，
∴sin∠ONM＝＝，
∴当OD最大时，sin∠ONM的值最大，
∵OM≥OD，
∴OD≤27cm，
∴OD的最大值为27cm，
当OD取得最大值27cm时，sin∠ONM＝＝0.75，
∴在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值是0.75，
故答案为：0.75．


14．（2023•镇江）已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（m，n），点C与点B关于原点对称，直线AB、AC分别与y轴交于点E、F，点F在点E的上方，EF＝2．
（1）分别求点E、F的纵坐标（用含m、n的代数式表示），并写出m的取值范围；
（2）求点B的横坐标m、纵坐标n满足的数量关系（用含m的代数式表示n）；
（3）将线段EF绕点（0，1）顺时针旋转90°，E、F的对应点分别是E'、F'．当线段E'F'与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围．

【答案】（1）E（0，﹣），F（0，﹣），m＜﹣3；
（2）n＝m2﹣1；
（3）m的取值范围为9﹣6．
【解答】解：（1）由直线AB与y轴交于E，得m≠3，
∵点C与点B关于原点对称，
∴C（﹣m，﹣m），
由直线AC与y轴交于点F，得﹣m≠3，
即m≠﹣3，
综上所述，m≠±3，
设直线AB对应的一次函数解析式为y＝kx+b，
将A（3，0），B（m，n）代入y＝kx+b得，，
解得b＝﹣，
∴E（0，﹣），
同理F（0，﹣）；
由点F在点E上边可以求出m＜﹣3；
（2）由题意得，EF＝﹣﹣（）＝2，
整理得，n＝m2﹣1；
（3）∵n与m的关系式为n＝m2﹣1，
∴B（m，n）在函数y＝x2﹣1（x≠±3）的图象上，
由旋转得，yE′＝1，
当E′在点B所在的函数图象上时，xE′2﹣1＝1，
解得xE′＝，
∵线段E'F'与点B所在的函数图象有公共点，
∴﹣3或3，
由旋转得，﹣3且3；
∵yE＝﹣，
∴﹣3﹣1且3，∴m的取值范围为9﹣6．

15．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【答案】【问题背景】17m；
【活动探究】3.5m；
【应用拓展】信号塔AB的高度约为20m．
【解答】解：【问题背景】由题意得：AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ABE＝∠CDE＝∠FEB＝∠FED＝90°，
∵∠CEF＝∠AEF，
∴∠FEB﹣∠AEF＝∠FED﹣∠CEF，
即∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴＝，
∴AB＝＝＝17（m），
答：建筑物AB的高度为17m；
【活动探究】
如图②，过点E1作E1F⊥BD，过点E2作E2H⊥BD，

由题意得：GB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠GBE1＝∠CDE1＝∠ABE2＝∠CDE2＝∠FE1B＝∠FE1D＝∠HE2B＝∠HE2D＝90°，
∵∠CE2H＝∠AE2H，∠CE1F＝∠GE1F，
∴∠FE1B﹣∠GE1F＝∠FE1D﹣∠CE1F，∠HE2B﹣∠AE2H＝∠HE2D﹣∠CE2H，
即∠GE1B＝∠CE1D，∠AE2B＝∠CE2D，
∴△GE1B∽△CE1D，△AE2B∽△CE2D，
∴＝，＝，
∴BE1＝BD﹣DE1＝10﹣2＝8（m），BE2＝BD﹣DE2＝10﹣3.4＝6.6（m），
∴GB＝＝＝6.8（m），AB＝＝＝3.3（m），
∴AG＝GB﹣AB＝6.8﹣3.3＝3.5（m），
答：这个广告牌AG的高度为3.5m；
【应用拓展】
如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，

由题意得：BG⊥DG，CD⊥DG，
∴∠AGD＝∠CDG＝∠BMA＝∠CND＝90°，
∵∠BAM＝∠GAD，
∴90°﹣∠BAM＝90°﹣∠GAD，
即∠ABM＝∠ADG，
∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ADG+∠CDN＝90°，
∴∠CDN＝∠DAG，
∴90°﹣∠CDN＝90°﹣∠DAG，
即∠DCN＝∠ADG，
∴∠DCN＝∠ADG＝∠ABM，
∴△DCN∽△ABM，
∴＝，
由题意得：AE＝AD﹣DE＝17﹣2.8＝14.2（m），
∵tan∠ADG＝，
∴tan∠DCN＝＝，tan∠ABM＝＝，
设DN＝am，AM＝bm，则CN＝，BM＝，
∵CN2+DN2＝CD2，
∴（）2+a2＝1.72，
解得：a＝0.8（m）（负值已舍去），
∴EN＝DE﹣DN＝2.8﹣0.8＝2（m），CN＝＝1.5（m），
∴＝，
∴AB＝，
同【问题背景】得：△BME∽△CNE，
∴＝，
∴＝，
解得：b＝（m），
∴AB＝×≈20（m），
答：信号塔AB的高度约为20m．
16．（2023•扬州）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当α＝60°时，BC＝　2　；当BC＝2时，α＝　30或210　°；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 　2π　．

【答案】（1）2，30或210；
（2）两块三角板重叠部分图形的面积为1﹣；
（3）2π．
【解答】解：（1）如图：

∵∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠ABD＝∠A'CD'＝30°，
∴∠BAD＝∠D'AC＝60°，
∴当α＝60°时，A，D'，B共线，A，D，C共线，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝2；
当BC＝2时，过A作AH⊥BC于H，
如图：

∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝，
∴sin∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝45°，
∴∠BAC＝2∠BAH＝90°，
∴α＝120°﹣90°＝30°；
如图：

同理可得∠BAC＝90°，
∴α＝60°+90°+60°＝210°，
∴当BC＝2时，α＝30°或210°；
故答案为：2，30或210；
（2）如图：

∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，
∴AD＝1，
∵α＝90°，
∴∠BAC＝60°+60°﹣90°＝30°，
∴∠QAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，
∴DQ＝＝，
∴S△ADQ＝×1×＝，
∵∠D'＝∠D'AD＝∠D＝90°，AD＝AD'，
∴四边形ADPD'是正方形，
∴DP＝AD＝1，
∴S△APD＝×1×1＝，
∴S△APQ＝﹣，
同理S△AD'R＝﹣，
∴两块三角板重叠部分图形的面积为1﹣；
（3）连接AF，如图：

∵AB＝AC，F为BC中点，
∴∠AFB＝90°，
∴F的运动轨迹是以AB为直径的圆，
∴点F的运动路径长为2π×＝2π．
故答案为：2π．
五．四边形综合题（共4小题）
17．（2023•镇江）[发现]如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：
①取AB、AC的中点D、E，在边BC上作MN＝DE．
②连接EM，过点D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分别为G、H．
③将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置．
④延长PQ、ST交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q、A、T在一条直线上；
②四边形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四边形FPGS与△ABC的面积相等．
[任务1]请你对结论①进行证明．
[任务2]如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，P、Q分别是AB、CD的中点，连接PQ．求证：PQ＝（AD+BC）．
[任务3]如图3，有一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小丽分别取AB、CD的中点P、Q，在边BC上作MN＝PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长．

【答案】[任务1]见解析；
[任务2]见解析；
[任务3]．
【解答】[任务1]证明：由旋转得，∠QAD＝∠ABC，∠TAE＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠QAD+∠DAE+∠TAE＝180°，
∴点Q、A、T在一条直线上；
[任务2]证明：连接AQ并延长交BC的延长线于E，

∵AD∥BC，
∴∠DAQ＝∠E，
∵Q是CD的中点，
∴DQ＝CQ，
∵∠AQD＝∠EQC，
∴△ADQ≌△ECQ（AAS），
∴AQ＝EQ，AD＝CE，
∵P是AB的中点，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ＝BE＝（CE+BC），
∴PQ＝（AD+BC）；
[任务3]解：由[任务2]知PQ∥BC，PQ＝5，
作DR⊥BC于R，

在Rt△DCR中，DR＝CD•sin∠DCB＝9×＝，
∵四边形GEST是正方形，
∴GE＝6，PE＝3，
∴QE＝＝4，
∵Q是CD的中点，
∴CQ＝，
作QH⊥BC于H，
∴QH＝CQ•sin∠DCB＝，
∴CH＝＝，
∵PQ∥BC，
∴∠PQE＝∠QMH，
∵∠PEQ＝∠QHM，
∴△PEQ∽△QMH，
∴，
∴，
∴HM＝，
∴BM＝BC﹣HM﹣CH＝8﹣＝．
18．（2023•徐州）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝2x2﹣8x+16；
（2）当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
（3）四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8..
【解答】解：（1）∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4﹣x，∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴y＝AE2+AH2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16；
（2）当y＝10时，即2x2﹣8x+16＝10，
解得x＝1或x＝3，
答：当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
（3）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∵2＞0，
∴y有最小值，最小值为8．
即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8．
19．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 　200　．

【答案】【阅读理解】见解析；
【探究发现】上述结论依然成立，理由见解析；
【拓展提升】见解析；
【尝试应用】200．
【解答】【阅读理解】解：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∴AC2＝AB2+BC2，
∵AB＝a，BC＝b，
∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）＝2a2+2b2；
【探究发现】解：上述结论依然成立，
理由：如图②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE＝DF，BE＝CF，
在Rt△ACE中，由勾股定理，可得
AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2…①，
在Rt△BDF中，由勾股定理，可得
BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+CF）2＝DF2+（BC+BE）2…②，
由①②，可得
AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2AE2+2BC2+2BE2，
在Rt△ABE中，由勾股定理，可得
AB2＝AE2+BE2，
∴AC2+BD2＝2AE2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2＝2AB2+2BC2＝2a2+2b2；
【拓展提升】证明：如图3，延长BO至点E，使BO＝OE，

∵BO是AC边上的中线，
∴AO＝CO，
又∵AO＝CO，
∴四边形ABCE是平行四边形，
由【探究发现】，可得BE2+AC2＝2AB2+2BC2，
∵BE＝2BO，
∴BE2＝4BO2，
∵AB＝a，BC＝b，AC＝c，
∴4BO2+c2＝2a2+2b2，
∴．
【尝试应用】解：过P作PH⊥BC于H，

则四边形APHB和四边形PHCD是矩形，
∴AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，PD＝CH，
设BH＝x，CH＝12﹣x，
∴PB2+PC2＝PH2+BH2+PH2+CH2＝82+x2+82+（12﹣x）2＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200，
故PB2+PC2的最小值为200，
方法二：以PB、PC为一组邻边构造平行四边形PBQC，

设AP＝x，则PQ＝2，
由（2）得，PQ2+BC2＝2PB2+2PC2，
∴PB2+PC2＝（PQ2+BC2）＝[4×（82+（6﹣x）2+122]＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200，
故PB2+PC2的最小值为200，
故答案为：200．
20．（2023•常州）对于平面内的一个四边形，若存在点O，使得该四边形的一条对角线绕点O旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形MNPQ中，对角线MP、NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”．
（1）若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是 　2　；
（2）如图1，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点O是四边形ABCD的一个“旋点”．求∠ACB的度数；
（3）如图2，在四边形ABCD中，AC＝BD，AD与BC不平行．四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请说明理由．

【答案】（1）2；
（2）90°；
（3）四边形ABCD是“可旋四边形”．
【解答】解：（1）∵菱形ABCD是“可旋四边形”，
∴AC＝BD，
∴菱形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的边长是2，
故答案为：2；
（2）如图1，

连接OC，
∵四边形ABCD是“可旋四边形”，O为旋点，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OCA+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴2（∠OCA+∠OCB）＝180°，
∴∠ACB＝90°；
（3）如图2，

四边形ABCD是“可旋四边形”，理由如下：
分别作AD和BC的垂直平分线，交于点O，连接OA，OD，OB，OC，
∴OA＝OD，OC＝OB，
∵AC＝BD，
∴△AOC≌△DOB（SSS），
∴∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD＝∠BOC，
∴四边形ABCD是“可旋四边形”．
六．圆的综合题（共1小题）
21．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．
​
知识回顾
（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；
逆向思考
（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【答案】（1）①45°；
②7；
（2）证明见解答；
（3）证明见解答．
【解答】（1）解：①∵∠AOB+∠C＝135°，∠AOB＝2∠C，
∴3∠C＝135°，
∴∠C＝45°．
②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，
∵∠C＝45°，AC＝8，
∴△ACM是等腰直角三角形，且AM＝CM＝4，
∵∠AOB＝2∠C＝90°，OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝5，
在直角三角形ABM中，BM＝＝3，
∴BC＝CM+BM＝4+3＝7．

（2）延长AP交圆于点N，则∠C＝∠N，
∵∠APB＝2∠C，
∴∠APB＝2∠N，
∵∠APB＝∠N+∠PBN，
∴∠N＝∠PBN，
∴PN＝PB，
∵PA＝PB，
∴PA＝PB＝PN，
∴P为该圆的圆心．

（3）过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，
∵∠APB＝90°，
∴∠C＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE＝BC，
∵BP⊥AF，PA＝PF，
∴BA＝BF，
∵AF是直径，
∴∠ABF＝90°，
∴∠EBC＝∠ABF＝90°，
∴∠EBA＝∠CBF，
∴△EBA≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CD＝CB﹣CA＝CE﹣CA＝AE，
∴CD＝CF，
∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．
．
七．作图—复杂作图（共1小题）
22．（2023•常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心．
①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接PQ，则PQ与BE的关系是 　PQ∥BE，PQ＝BE　．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①图形见解答；
②PQ∥BE，PQ＝BE，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：①如图，点Q即为所求；
②PQ与BE的关系是：PQ∥BE，PQ＝BE，理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心，
∴BP平分∠ABC，EQ平分∠DEF，
∴∠PBE＝∠ABC，∠QEF＝∠DEF，
∴∠PBE＝∠QEF，
∴PB∥QE，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，
∴△ABG≌△DEH（ASA），
∴BG＝EH，
∵点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心，
∴BP＝EQ，
∴四边形PQEB是平行四边形，
∴PQ∥BE，PQ＝BE．
故答案为：PQ∥BE，PQ＝BE．

八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2023•苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）ED＝．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∵ 所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，
∴AB＝＝5，
∵CG⊥AB，
∴AG＝ACcosA＝×＝1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴ED＝．

九．相似形综合题（共2小题）
24．（2023•南通）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．
​
（1）如图，点E在边BC上，BE＝DF，则图中与线段AE相等的线段是 　AF　；
（2）过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF＝DG时，求的值．
【答案】（1）AF；
（2）45°或135°；
（3）﹣1．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵BE＝BF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
故答案为：AF；
（2）当E点在BC边上时，如图1，
过G点作GM⊥AD交于M，延长MG交BC于N点，
∴∠AMG＝∠DMG＝∠GNE＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴∠AGM+∠MAG＝90°，
∵EG⊥AF，∠EAF＝45°，
∴∠AGM+∠EGN＝90°，
∵∠AGE＝90°，∠EAF＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG，
∴∠EGN＝∠MAG，
∴△AMG≌△GNE（AAS），
∴AM＝GN，
∵AM+MD＝GN+MG，
∴MD＝MG，
∴△MDG为等腰直角三角形，
∴∠MDG＝45°，
∴∠GDC＝45°；
当点E在CD边上时，如图2，
过点G作GN⊥DF交于N，延长NG交BA延长线于点M，
∴四边形ADNM是矩形，
同理，△AMG≌△GNE（AAS），
∴GN＝AM＝DN，
∴△NDG为等腰直角三角形，
∴∠GDN＝45°，
∴∠GDC＝180°﹣45°＝135°，
综上所述：∠GDC的度数为45°或135°；
（3）当点F在CD边延长线上时，点E在边CD上，
设GN＝DN＝a，则DG＝a，
∴DF＝DG＝a，
∴FN＝DF﹣DN＝（﹣1）a，
∵GN∥AD，
∴＝＝﹣1．


25．（2023•常州）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E、F在边AB上（EF＜AB），且点C、D、G、H在直线AB的同侧；第二步，设＝m，＝n，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点O，射线OH与射线AD相交于点P（点P、D不重合），射线OG与射线BC相交于点Q（点Q、C不重合），观测DP、CQ的长度．
（1）如图2，小丽取AB＝4，EF＝3，m＝1，n＝3，滑动矩形EFGH，当点E、A重合时，CQ＝　　；
（2）小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB的中点．她发现对于任意的m≠n，DP＝CQ总成立．请说明理由；
（3）经过数次操作，小丽猜想，设定m、n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP＝CQ总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．

【答案】（1）；
（2）说理详见解答；
（3）m＝n．
【解答】解：（1）∵四边形ACBD和四边形EFGH是矩形，
∴∠B＝∠EFG＝90°，BC＝AD，FG＝EH，
∴FG∥BC，
∴△OGF∽△OQB，
∴，
∵＝1，＝3，AB＝4，EF＝3，
∴BC＝AD＝4，FG＝EH＝1，
∵OF＝OE＝，OB＝AB﹣OE＝4﹣＝，
∴，
∴BQ＝，
∴CQ＝4﹣＝，
故答案为：；
（2）如图1，

∵EH∥AD，
∴△OEH∽△OAP，
∴，
同理可得，
，
∵O是EF的中点，O是AB的中点，
∴OE＝OF，OA＝OB，
∴，
∵EH＝FG，
∴AP＝BQ，
∵AD＝BC，
∴DP＝CQ；
（3）如图，

当m＝n时，即：＝＝m时，DP＝CQ，理由如下：
同理（2）可得，
，，
∴AP＝，BQ＝，
∵，O是EF的中点，
∴AP＝，BQ＝，
∴DP＝AD﹣AP＝AD﹣，CQ＝BQ﹣BC＝﹣AD，
∴DP﹣CQ＝2AD﹣＝2AD﹣＝＝，
∴DP＝CQ，
当点O运动到AB的中点是，DP＝CQ＝0．