新高考数学考前冲刺卷15（A3版，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺卷15（A3版，原卷版+解析版），共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

新高考数学考前冲刺卷
数 学（十五）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“圆与圆”相切的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．现有以下结论：
①函数的最小值是；
②若、且，则；
③的最小值是；
④函数的最小值为．
其中，正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
5．若函数在上是单调减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正项等比数列的前项和为，若，，
则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，，点为的外心，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．中，，，可使得有两个不同取值的的长度是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减 D．函数在上恰有4个极值点
11．骰子通常作为桌上游戏的小道具．最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字．现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，假定每次闯关互不影响，则（ ）
A．直接挑战第关并过关的概率为
B．连续挑战前两关并过关的概率为
C．若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则
D．若直接挑战第关，则过关的概率是
12．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．三名教师和五名学生排成一排，要求每两名教师之间至少隔着两名学生，则共有________种．
14．若圆截直线所得的最短弦长为，则实数________．
15．已知函数，则___________．
16．已知函数，当时，函数的零点的个数为_______个；若在上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在①；②中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．
问题：在中，角的对边分别为，已知_________．
（1）求角；
（2）若，求的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．















18．（12分）如图，四边形为正方形，平面，为等腰三角形，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．











19．（12分）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求满足的的最大值．
















20．（12分）核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测．通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染．某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测．以此类推，直到确定所有样本的结果．若每次检测费用为元，记检测的总费用为元．
（1）当时，求的分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）比较与两种方案哪一个更好，说明理由；
（ⅱ）试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时，和两种方案哪一个更好（只需给出结论不必证明）．















21．（12分）椭圆（），离心率为，过点．
（1）求椭圆方程；
（2）过的直线与椭圆交于，两点，椭圆左顶点为，求．

























22．（12分）已知函数（）．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意都有恒成立，求的最大整数值．








新高考数学考前冲刺卷
数 学（十五）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，知，，
∴，故选B．
2．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，故选D．
3．“”是“圆与圆”相切的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径为，
则两圆圆心距，
当时，，两圆相外切，充分性成立；
当两圆相外切时，，此时；当两圆相内切时，，此时；
可知若两圆相切，则或，必要性不成立，
“”是“圆与圆”相切的充分不必要条件，故选A．
4．现有以下结论：
①函数的最小值是；
②若、且，则；
③的最小值是；
④函数的最小值为．
其中，正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于①，当时，，①错误；
对于②，若，且，说明，，则，
当且仅当时取等号，显然成立，②正确；
对于③，，
当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，
所以结论不正确，③错误；
对于④，因为，所以，
函数的最大值为，所以结论不正确，④错误，
故选B．
5．若函数在上是单调减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，
因为在上是单调减函数，
所以在上恒成立，
当时，则在上恒成立，
即，
设，
因为，所以，
当时，取到最大值是，所以，
所以数a的取值范围是，故选A．
6．已知正项等比数列的前项和为，若，，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是等比数列，公比为，由，得，，
又，所以，，
所以，
由，解得，
所以，，，
所以，故选C．
7．在中，，，，点为的外心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，
由余弦定理得，
所以，
因为点为的外心，
所以，
所以，（1）
同理，（2）
解（1）（2）得，，，
故选C．
8．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，
点在抛物线上，点为直线上的动点，
设关于直线的对称点，作图如下，
利用对称性质知，则，
即点在位置时，的值最小，等于，
利用两点之间距离知，则的最小值为，
故选D．


二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．中，，，可使得有两个不同取值的的长度是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BC
【解析】中，，，
当，即时，使得有两个不同取值，
故选BC．
10．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减 D．函数在上恰有4个极值点
【答案】AD
【解析】由题意得，
对于A：令，解得对称轴方程为，
令，解得一条对称轴方程为，故A正确；
对于B：令，解得对称中心为，
无论k取任何整数，，故B错误；
对于C：因为，所以，
所以在此范围内单调递增，故C错误；
对于D：因为，所以，
当时，函数取得极值，
所以函数在上恰有4个极值点，故D正确，
故选AD．
11．骰子通常作为桌上游戏的小道具．最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字．现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，假定每次闯关互不影响，则（ ）
A．直接挑战第关并过关的概率为
B．连续挑战前两关并过关的概率为
C．若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则
D．若直接挑战第关，则过关的概率是
【答案】ACD
【解析】对于A项，，所以两次点数之和应大于，
即直接挑战第关并过关的概率为，故A正确；
对于B项，，所以挑战第一关通过的概率，
则连续挑战前两关并过关的概率为，故B错误；
对于C项，由题意可知，抛掷3次的基本事件有，
抛掷3次至少出现一个点的共有种，
故，
而事件AB包括：含5，5，5的1种，
含4，5，6的有6种，共7种，
故，
所以，故C正确；
对于D项，当n=4时，，基本事件有个，
而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：
含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，
含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，
含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，
含3，6，6，6的有4种，
所以，故D正确，
故选ACD．
12．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则．
【答案】BD
【解析】对于A，函数的定义域为，，
∴在上，，函数单调递减；
上，，函数单调递增，
∴是的极小值点，即A错误；
对于B，，∴，
函数在上单调递减，且，
，
∴函数有且只有1个零点，即B正确；
对于C，若，可得，
令，则，
令，则，
∴在上，函数单调递增，
上函数单调递减，
∴，∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数k，使得恒成立，即C不正确；
对于D，令，则，，
令，
则，
∴在上单调递减，
则，令，
由，得，
则，
当时，显然成立，
∴对任意两个正实数x1，x2，且，
若，则，故D正确，
故选BD．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．三名教师和五名学生排成一排，要求每两名教师之间至少隔着两名学生，则共有________种．
【答案】2880
【解析】根据题意，分2步进行：
第1步：将3名教师排成一排，中间有2个空位，有种顺序；
第2步：对于5名学生又分2种情况：
第一情况将5名学生分成两组，一组有2人，另一组有3人，分别安排到3名教师的2个空位中，有种安排方法；
第二情况将5名学生分成三组，有两组分别有2个学生，有一组有1个学生，将每组有2 个人的安排到3名教师之间的2个空位中，剩下1人安排在两端，有种安排方法，
所以5名学生有种安排方法，
根据分步乘法原理共有种安排方法，故答案为2880．
14．若圆截直线所得的最短弦长为，则实数________．
【答案】
【解析】易知圆的圆心为，半径，直线恒过点．
又，当时，所得弦最短，
此时弦长为，解得，
所以，解得．
故答案为．
15．已知函数，则___________．
【答案】1010
【解析】∵，
∴
，
∴
，
故答案为1010．
16．已知函数，当时，函数的零点的个数为_______个；若在上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
【答案】1，
【解析】（1），，则，
令，则或，
所以当或时，函数为增函数；
当时，函数为减函数，
所以函数在处取极大值，时取到极小值，

又因为，，，
所以在上只有一个零点，且为函数的唯一零点；
令，则在上有且仅有两个不同的零点，
令，即，显然，所以，
令，
只需要与的图象在有且仅有个交点，
，
因为，
所以当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，

所以，即，可得，
所以，
故答案为1，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在①；②中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．
问题：在中，角的对边分别为，已知_________．
（1）求角；
（2）若，求的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）．
【解析】（1）选择①
由正弦定理得，
∴，
又，∴，
又，．
选择②
由余弦定理得，
又，．
（2）由正弦定理得，由余弦定理得，
即，，，
故所求周长为．
18．（12分）如图，四边形为正方形，平面，为等腰三角形，，．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：平面，平面，
，且是等腰直角三角形，，
连接，则，平面，平面，
，
易知，，
又，，
平面，平面平面，
又平面平面，，
平面，平面，，
，
，，
又，平面．

（2）以点为坐标原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，

则点，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
由，解得，
令，则；
设平面的法向量，
由，解得，
令，则，
设二面角的平面角为，为锐角，
则，
二面角的平面角的余弦值为．
19．（12分）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求满足的的最大值．
【答案】（1）；（2）83．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由题知，，
又，解得，
故．
（2）在任意相邻两项与之间插入个2，
则与之间的2的总和为，
又由（1）易知等差数列是单增数列，故数列的前n项和是单增的，
则求满足的的最大值即找到使接近500的n值即可．
当恰取到后的第个项时，
，，，
易知单增，当时，，
当时，，
又，
则当时，去掉50个2即可得到的的最大值，即．
20．（12分）核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测．通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染．某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测．以此类推，直到确定所有样本的结果．若每次检测费用为元，记检测的总费用为元．
（1）当时，求的分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）比较与两种方案哪一个更好，说明理由；
（ⅱ）试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时，和两种方案哪一个更好（只需给出结论不必证明）．
【答案】（1）分布列见解析；；（2）(ⅰ)的方案更好一些；(ⅱ)的方案更好一些．
【解析】（1）当n=3时，共分4组，当2份阳性在一组，第一轮检测4次，第二轮检测3次，共检测7次，
若2份阳性各在一组，第一轮检测4次，第二轮检测6次，共检测10次，
检测的总费用的所有可能值为7a，10a，任意检测有种等可能结果，2份阳性在一组有种等可能结果，
，，
所以检测的总费用的分布列为：
X
7a
10a
P


的数学期望．
（2）(ⅰ)当n=4时，共分3组，当2份阳性在一组，共检测7次，若2份阳性各在一组，共检测11次，
检测的总费用的所有可能值为7a，11a，任意检测有种等可能结果，2份阳性在一组有种等可能结果，
，，
所以检测的总费用的分布列为：
Y
7a
11a
P


的数学期望，
所以的方案更好一些．
(ⅱ)时检测总次数比n=4时的少，时检测总次数比时的少，猜想的方案更好一些．
21．（12分）椭圆（），离心率为，过点．
（1）求椭圆方程；
（2）过的直线与椭圆交于，两点，椭圆左顶点为，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，
∴椭圆方程为．
（2）当直线斜率不存在时，，，，，
当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
，，
，，，

，
∴的值为．
22．（12分）已知函数（）．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意都有恒成立，求的最大整数值．
【答案】（1）；（2）2．
【解析】（1），则，
所以，，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）对任意都有恒成立，即，
因为，所以，所以，
令，则只需即可，
，
令（），则恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，
所以存在唯一一个使得，
所以当时，，；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，
所以，
故的最大整数值为2．