新高考数学考前冲刺卷01（A3版，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺卷01（A3版，原卷版+解析版），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

高考考前冲刺卷
数 学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设是两个不同平面，直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．是的充分条件 B．是的必要条件
C．是的必要条件 D．是的必要条件
4．等差数列的前n项和为，已知，，当时，则（ ）
A．13 B．12 C．24 D．25
5．如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
6．设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．5
7．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，，，则长度的最大值为（ ）

A． B．6 C． D．
8．已知定义在上的函数满足，且当时，，
则关于的不等式（其中）的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短．现随机采集了200个停车时间的数据(单位：)，其频率分布直方图如图．超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费(同一组数据用该区间的中点值代替)，则下列说法正确的是（ ）

A．免收停车费的顾客约占总数的20%
B．免收停车费的顾客约占总数的25%
C．顾客的平均停车时间约为58
D．停车时间达到或超过60的顾客约占总数的50%
10．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）

A．的最小正周期为π，最大值为2 B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减
11．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）

A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等
12．已知函数，则（ ）
A． B．若有两个不相等的实根、，则
C． D．若，，均为正数，则

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于_________．
14．与直线关于对称的直线的方程为__________．
15．已知甲、乙两人的投篮命中率都为，丙的投篮命中率为，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为________．
16．已知抛物线的焦点，过点作直线交抛物线于，两点，则
______．的最大值为_______．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数，．
（1）求函数的递增区间；
（2）在中，内角满足，且，，求的周长．












18．（12分）已知是数列的前项和，，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求．













19．（12分）某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀．考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64．假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩服从正态分布．
（1）估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？
（2）该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5G，否则获赠手机流量1G．假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G？
参考数据：若，则．













20．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．











21．（12分）已知函数(其中常数)．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，且，求证：．



















22．（12分）已知椭圆过，两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．





高考考前冲刺卷
数 学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，
故选B．
2．在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】复数对应的点关于实轴对称，，所以，
所以，故选B．
3．设是两个不同平面，直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．是的充分条件 B．是的必要条件
C．是的必要条件 D．是的必要条件
【答案】A
【解析】∵，，∴，故是充分条件，故A正确；
由，得或异面，故不是必要条件，故B错误；
由推不出，也可能与平行，故不是的必要条件，故C错误；
由推不出，也可能平行，不是的必要条件，故D错误，
故选A．
4．等差数列的前n项和为，已知，，当时，则（ ）
A．13 B．12 C．24 D．25
【答案】D
【解析】，，，
则，，故选D．
5．如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，当点P在点C处时，最小，
此时，
过圆心O作交圆弧于点P，连接AP，此时最大，
过O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延长线于F，
则，
所以的取值范围为，故选D．

6．设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】C
【解析】不妨设，过作双曲线一条渐近线的垂线方程为，
与联立可得；与联立可得，
∵，∴，
整理得，即，
∵，∴，故选C．
7．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，，，则长度的最大值为（ ）

A． B．6 C． D．
【答案】C
【解析】设，则，，，
在中，由正弦定理，得，
，同理，


，
其中，，且为锐角，
所以当时，，故选C．
8．已知定义在上的函数满足，且当时，，
则关于的不等式（其中）的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【解析】任取，由已知得，即，所以函数单调递减．
由可得，
即，所以，
即，即，
又因为，所以，
此时原不等式解集为，故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短．现随机采集了200个停车时间的数据(单位：)，其频率分布直方图如图．超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费(同一组数据用该区间的中点值代替)，则下列说法正确的是（ ）

A．免收停车费的顾客约占总数的20%
B．免收停车费的顾客约占总数的25%
C．顾客的平均停车时间约为58
D．停车时间达到或超过60的顾客约占总数的50%
【答案】BCD
【解析】由题意可知，免收停车费的顾客约占总数的，
故免收停车费的顾客约占总数的25%，故选项A错误，选项B正确；
由频率分布直方图可知，，
则顾客的平均停车时间约为，故选项C正确；
停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的，
故停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的50%，故选项D正确，
故选BCD．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）

A．的最小正周期为π，最大值为2 B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减
【答案】ACD
【解析】由图可知，，，所以．
又由可得，，
得，且，所以，
所以，
所以，所以的最小正周期为π，最大值为2，选项A正确；
对于选项B，令，得，所以函数图象的对称中心为，由，得，不符合，B错误；
对于选项C，令，得，
所以函数图象的对称轴为直线，当时，，故C正确；
当时，，所以在区间上单调递减，所以选项D正确，
故选ACD．
11．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）

A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等
【答案】BC
【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，
又，，平面AEF，
所以平面AEF，所以，
又，所以，与矛盾，
所以直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误；
取B1C1中点N，连接A1N，GN，
由正方体的性质可知A1N∥AE，GN∥EF，
∵A1N平面AEF，AE平面AEF，∴A1N∥平面AEF，
同理GN∥平面AEF，
∵A1NGN=N，A1N，GN平面A1GN，∴平面A1GN∥平面AEF，
∵A1G平面A1GN，∴A1G∥平面AEF，故选项B正确；

平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，
由题得该等腰梯形的上底，下底，腰长为，
所以梯形面积为，故选项C正确；
假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，
连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误，
故选BC．
12．已知函数，则（ ）
A． B．若有两个不相等的实根、，则
C． D．若，，均为正数，则
【答案】AD
【解析】对于A：，，
又，，，所以，
则有，A正确；
对于B：若有两个不相等的实根、，则，故B不正确；
证明如下：函数，定义域为，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则且时，有，所以若有两个不相等的实根、，
有，
不妨设，有，要证，只需证，且，
又，所以只需证，
令，
则有，
当时，，，所以有，即在上单调递增，
且，所以恒成立，即，即，即．
对于C：由B可知，在上单调递增，则有，即，
则有，故C不正确；
对于D：令，，均为正数，则，解得，，，
由B可知，在上单调递增，则有，即，即，
所以，故D正确，
故选AD．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于_________．
【答案】60
【解析】因为所有二项式系数的和等于64，所以，所以，
所以展开式的通项为，
令，得，所以该展开式中常数项的值等于，
故答案为60．
14．与直线关于对称的直线的方程为__________．
【答案】
【解析】联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以点关于直线的对称点为，
由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为，
即，
故答案为．
15．已知甲、乙两人的投篮命中率都为，丙的投篮命中率为，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为________．
【答案】
【解析】设事件为“三人每人投篮一次，至少一人命中”，则，
，
设，，
则，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
即三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为，
故答案为．
16．已知抛物线的焦点，过点作直线交抛物线于，两点，则
______．的最大值为_______．
【答案】1，4
【解析】由题意知，抛物线的焦点坐标为，
设，，，
联立直线与抛物线方程可得，，
由抛物线的限制可得，，
故（*）
由（*）可得，
故，当且仅当时取等号，故的最大值为4．
即答案为1，4．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数，．
（1）求函数的递增区间；
（2）在中，内角满足，且，，求的周长．
【答案】（1）；（2）12．
【解析】（1），
令，，得，，
因为，令，得，
由，
所以，当时，单调递增，即的递增区间为．
（2）因为，所以，
又因为，所以，即，
由余弦定理可知，①
又因为，所以，②
联立①②得，
所以的周长为12．
18．（12分）已知是数列的前项和，，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为，
所以，即．
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）知．
因为，
所以，
所以，
故．
19．（12分）某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀．考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64．假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩服从正态分布．
（1）估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？
（2）该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5G，否则获赠手机流量1G．假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G？
参考数据：若，则．
【答案】（1）万人；（2）（万G）．
【解析】（1）由题意，随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64，
即，，所以考试成绩优秀者得分，即，
又由，得，
所以估计该市此次司法考试成绩优秀者人数可达万人．
（2）设每位抽奖者获赠的手机流量为G，则的值为1，2，5，6，10．
可得；；
；；
，
所以随机变量的分布列为：

1
2
5
6
10






所以（G）．
因此，估计此次抽奖活动赠予的手机流量总值为（万G）．
20．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）直角梯形中，，，，，
∴，，
∴，∴，
又∵平面，∴，
又∵，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）∵为的中点，，∴，
以射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，，，
得，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，，
由（1）知平面，则平面的法向量，
，
所以二面角的余弦值为．
21．（12分）已知函数(其中常数)．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，且，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1），
记，，
①当，即时，，故，所以在单调递增．
②当，即当时，有两个实根，，
注意到，且对称轴，
故，，
所以当或时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（2）有两个极值点，且，为的极大值点，
由（1）知，，
又，，
，
设，
，
单调递增，，即．
22．（12分）已知椭圆过，两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为点，都在椭圆上，
所以，，所以，
所以椭圆的离心率．
（2）由（1）知椭圆的方程为，．
由题意知：直线的方程为．
设（，），，．
因为三点共线，所以有，，，
所以，
所以，
所以，
因为三点共线，所以，即，
所以．
所以直线的方程为，
即，
又因为点在椭圆上，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点．