新高考数学考前冲刺卷13（A3版，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺卷13（A3版，原卷版+解析版），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

新高考数学考前冲刺卷
数 学（十三）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）（取），那么8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的（ ）
A．306倍 B．316倍 C．316倍 D．306倍
6．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
7．设是首项为正数的等比数列，公比为，则“"是“对任意的正整数，
”成立的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．图中长方形的总个数中，其中含阴影部分的长方形个数的概率为（ ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．关于变量x，y的n个样本点及其线性回归方程．，
下列说法正确的有（ ）
A．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强
B．相关指数的值越大，表示线性回归方程拟合效果越好
C．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好
D．若，，则点一定在线性回归方程上
10．已知，直线，是的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．的图象的一个对称中心为
C．在区间上有个零点 D．在区间上为单调函数
11．已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为2，则（ ）
A．棱台的侧面积为 B．棱台的体积为
C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为
12．定义在上的函数满足，且时，，时，．令，，若函数的零点有个，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．展开式中的系数为__________．
14．在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生；乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生．现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为________．
15．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则
的取值范围为__________．
16．已知F是抛物线的焦点，设点，点M为抛物线C上任意一点，
且的最小值为3，则_________，若线段AF的垂直平分线交抛物线C于P、Q两点，则四边形APFQ的面积为__________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对应边，已知．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．













18．（12分）已知数列中，，前项和为，且满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求的前项和．



















19．（12分）如图①，在平面四边形中，，，且，将
沿折起得到四棱锥，如图②，且为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，问：在线段上是否存在一点使二面角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．













20．（12分）乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目．某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼，定期举办乒乓球竞赛，该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则，首先每个班级需要对本班报名学生进行选拔，选取3名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技．
（1）若高三（1）班共有6名男生和4名女生报名，且报名参赛的选手实力相当，求高三（1）班选拔的校内终极赛参赛选手均为男生的概率；
（2）若高三（1）班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三（2）班选拔的选手A，B，C对抗，甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，且甲、乙丙三人之间获胜与否互不影响，记为在这次对抗中高三（1）班3名选手获胜的人数，．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求随机变量的分布列与数学期望．



















21．（12分）已知椭圆的左顶点为，离心率，过点A的直线与椭圆交于点B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设AB的中点为，射线与椭圆交于点，是否存在直线使的面积是面积的3倍？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

























22．（12分）设函数，．
（1）若，求函数的最大值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．









新高考数学考前冲刺卷
数 学（十三）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，，且，
所以实数的取值范围是，故选B．
2．复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，所以的虚部为1，故选D．
3．若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，当且仅当，即时取“=”，
所以的取值范围是，故选A．
4．已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，
因为，解得，故选B．
5．地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）（取），那么8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的（ ）
A．306倍 B．316倍 C．316倍 D．306倍
【答案】B
【解析】设7级地震释放的能量为，8级地震释放的能量为，
，，
，即8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的倍，故选B．
6．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【答案】B
【解析】，即，圆心，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
即，解得，
，圆心，半径为；
，圆心，半径为，
圆心间距离为，
因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆与圆的位置关系是相切，故选B．
7．设是首项为正数的等比数列，公比为，则“"是“对任意的正整数，
”成立的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，结合是首项为正数的等比数列可知数列的各项均为正数，
据此可得成立，即充分性成立；
反之，取，
则，
据此可知必要性不成立，
即“”是“对任意的正整数，”的充分而不必要条件，故选B．
8．图中长方形的总个数中，其中含阴影部分的长方形个数的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】长方形可由横着的5条线段选2条，竖着的7条线段选2条构成，
故有种，
若含阴影部分，则横向共有种可能，纵向有6种可能，共72种可能，
故概率，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．关于变量x，y的n个样本点及其线性回归方程．，
下列说法正确的有（ ）
A．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强
B．相关指数的值越大，表示线性回归方程拟合效果越好
C．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好
D．若，，则点一定在线性回归方程上
【答案】BD
【解析】根据线性相关系数的意义可知，当的绝对值越接近于0时，
两个随机变量线性相关性越弱，则A错误；
用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，则B正确；
拟合效果的好坏是由残差平方和来体现的，残差平方和越大，拟合效果越差，则C错误；
样本中心点一定在回归直线上，则D正确，
故选BD．
10．已知，直线，是的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．的图象的一个对称中心为
C．在区间上有个零点 D．在区间上为单调函数
【答案】ABC
【解析】由题意可知，函数的最小正周期为，则，
，所以，
则，所以．
对于A选项，，
所以，函数为偶函数，A选项正确；
对于B选项，，
所以，的图象的一个对称中心为，B选项正确；
对于C选项，当时，，
所以，函数在上有个零点，C选项正确；
对于D选项，当时，，
所以，函数区间上不单调，D选项错误，
故选ABC．
11．已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为2，则（ ）
A．棱台的侧面积为 B．棱台的体积为
C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】作正四棱台如图所示：

对于A．过作于，，
所以，
所以棱台的侧面积为，所以A正确；
对于B．连接，过作于点，过作于点，
，，，，
上底面面积，下底面面积，
棱台的体积为，故B错误；
对于C．因为为在底面的投影，所以为侧棱与底面所成角，
，所以C正确；
对于D．为侧面与底面所成锐二面角的平面角，
，所以D正确，
故选ACD．
12．定义在上的函数满足，且时，，时，．令，，若函数的零点有个，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】，
自变量每增加2个单位，纵坐标扩大为原来的2倍，
时，，时，，
作出图象如图，

的零点有8个，
即与在上有8个交点，
由图象可知，需满足，，，
解得，
所以可取，，故选BC．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．展开式中的系数为__________．
【答案】
【解析】展开式的通项公式是，
要求，只需，解得，
∴，故答案为．
14．在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生；乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生．现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为________．
【答案】
【解析】抽调出的两名医生都是男医生的概率为，
故答案为．
15．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为，由正弦定理可得，
又，可得，可得，
因为，可得，
可得，
可得
，
因为，可得，可得，
可得，
故答案为．
16．已知F是抛物线的焦点，设点，点M为抛物线C上任意一点，
且的最小值为3，则_________，若线段AF的垂直平分线交抛物线C于P、Q两点，则四边形APFQ的面积为__________．
【答案】2，
【解析】过M作抛物线C准线的垂线，垂足为，
根据抛物线定义知，
由抛物线方程，当时，，
∴当时，A在抛物线内部，，
当且仅当共线时，最小，即；
当时，A在抛物线上或外部，
当且仅当共线时，最小，
而，得与矛盾，舍去，
综上，．
显然，故AF的中点为，直线AF的斜率，
∴线段AF的中垂线方程为，联立方程组，
消元得，
设，，则，，
∴，
又到直线PQ的距离为，
∴四边形APFQ的面积为，
故答案为2，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对应边，已知．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，
根据正弦定理可得，
则，
所以，
因为，所以，则．
（2）由（1）知，则，
所以或，即或，
因为为三角形内角，所以，
因此，
所以，
因此，
所以，
又，根据正弦定理可得，则，
因此的面积为．
18．（12分）已知数列中，，前项和为，且满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
即，所以，且，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以 ①，
所以 ②．
①②得，
又，满足上式，
所以．
（2）由（1）知，．
所以．
19．（12分）如图①，在平面四边形中，，，且，将沿折起得到四棱锥，如图②，且为的中点．

（1）求证：平面；
（2）若，，问：在线段上是否存在一点使二面角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．
【解析】（1）证明：取的中点，连接，，
∵为的中点，∴，，
∵，，∴，，
∴四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，
∴平面．

（2）解：假设存在点满足题意，取的中点，连接，
∵，，
∴，，
∵，，，、平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，、平面，
∴平面，
故以为原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
设，，则，
∴，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，∴，
∵平面轴，∴平面的一个法向量为，
∵二面角为，
∴，化简得，
∵，∴，解得，
∴，∴，
故存在点满足题意，且．
20．（12分）乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目．某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼，定期举办乒乓球竞赛，该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则，首先每个班级需要对本班报名学生进行选拔，选取3名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技．
（1）若高三（1）班共有6名男生和4名女生报名，且报名参赛的选手实力相当，求高三（1）班选拔的校内终极赛参赛选手均为男生的概率；
（2）若高三（1）班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三（2）班选拔的选手A，B，C对抗，甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，且甲、乙丙三人之间获胜与否互不影响，记为在这次对抗中高三（1）班3名选手获胜的人数，．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求随机变量的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，．
【解析】（1）设“高三（1）班选拔的参数选手均为男生”为事件，则．
（2）（ⅰ）由题意，解得．
（ⅱ）随机变量的可能取值为0，1，2，3，
所以；；
；，
故的分布列为：

0
1
2
3





所以的数学期望．
21．（12分）已知椭圆的左顶点为，离心率，过点A的直线与椭圆交于点B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设AB的中点为，射线与椭圆交于点，是否存在直线使的面积是面积的3倍？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或．
【解析】（1）因为，，且，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，
，消化简可得，
设，，故，，
所以，，所以，
故，
所以，
，解得，，
所以，，
由，，且，
即，即，
所以，即，
所以，解得，
所以直线的方程为或．
22．（12分）设函数，．
（1）若，求函数的最大值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，则．
所以当时，，得在上递增；
当时，，得在上递减，
从而函数的最大值为．
（2）法一：设，则，
若，由于，不符合题意，舍去；
若，，
设，则，
对于方程，
其判别式．
①当时，，所以，所以即单调递增，
因为，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
从而成立；
②当时，设方程有两根，
因为，则，
当时，有，推出即单调递减，
于是，得在上单调递减，
从而在上有，不符合题意，舍去；
③当时，
因为，
而是当的表达式，
根据①中的解题过程可知，，
所以成立，
综上，的取值范围是．
法二：若，令，则，不符合题意；
故只需考虑的情况：
由已知，，可转化为．
设，则，
设，则，
设，则．
易知即在上单调递增，在上单调递减，
从而．
①当时，此时，于是单调递减，即单调递减，
由于，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以成立；
②当时，因为，，
则在区间内存在，使得，由于在上递增，
所以当时，，则即单调递增，
因为，所以当时，，得单调递减，
于是在上，，与题意不符，
综上，的取值范围是．