新高考数学考前冲刺卷07（A3版，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺卷07（A3版，原卷版+解析版），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

新高考数学考前冲刺卷
数 学（七）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集，集合，，则下图阴影部分表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
3．设，则“图象经过点”是“是偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）

A．AB B．AD C．BC D．AC
5．已知函数，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．在中内角所对的边分别为，若，，则当取最大值时，外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）种．
A．84 B．168 C．240 D．252
8．若曲线上到直线的距离为2的点恰有3个，则实数m的值是（ ）
A． B． C．2 D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一组数据共有7个数，记得其中有10，3，5，3，4，3，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数，中位数，众数依次成等比数列，这个数可能为（ ）
A． B． C．3 D．
10．已知数列的前项和是，则下列结论正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，则数列为等差数列
B．若数列为等差数列，则数列为等差数列
C．若数列和均为等差数列，则
D．若数列和均为等差数列，则数列是常数数列
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．在区间上单调递增 D．的最大值为1
12．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止．则下列说法正确的是（ ）

A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若实数满足，则的最小值为_________．
14．已知平面向量，，是单位向量，且，则的最大值为_________．
15．的展开式中的系数为_________．
16．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_____________；若点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为H，则的最小值为__________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）中，三内角，，所对的边分别为，，，已知，为锐角．
（1）求的大小；
（2）若为边上靠近点的三等分点，且，求面积的最大值．











18．（12分）已知数列是公差不为零的等差数列，且、、成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求数列的前项和．














19．（12分）随着5G通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长．某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐．短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐．
（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；
（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望．













20．（12分）如图，在平面五边形中，，且，，，，将沿折起，使点到的位置，且，
得到如图2所示的四棱锥．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．



















21．（12分）已知椭圆，直线经过椭圆的右顶点且椭圆E的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若(其中)为椭圆E上一点，过点P作斜率存在的两条射线PM，PN，交椭圆E于M，N两点，且，直线MN是否恒过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．















22．（12分）已知函数．
（1）判断的单调性，并比较与的大小；
（2）若函数，其中，判断的零点的个数，并说明理由．
参考数据：．





新高考数学考前冲刺卷
数 学（七）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】，所以复数z在复平面内对应的点为，
所以复数z在复平面内对应的点在第四象限，故选D．
2．已知全集，集合，，则下图阴影部分表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可得阴影部分表示的集合为，
，，则可得，故选C．
3．设，则“图象经过点”是“是偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】若函数图象经过点时，
则，或，为偶函数；
若为偶函数，
①时为奇函数，
②时为非奇非偶函数，
③时为偶函数，
∴若为偶函数时，，
∴函数图象经过点是为偶函数的充要条件，
故选C．
4．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）

A．AB B．AD C．BC D．AC
【答案】D
【解析】根据的形状可知的形状如下图：

由图可知，最长的线段为，故选D．
5．已知函数，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵的定义域为，且，
∴在上单调递增，
又，
∴，即，故选B．
6．在中内角所对的边分别为，若，，则当取最大值时，外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，在中，满足，
因为，
所以当时，即时，上式取得最大值，此时取最大值，
又由，可得，
因为，所以，则，
又因为，利用正弦定理可得，所以，
所以外接圆的面积为，故选C．
7．从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）种．
A．84 B．168 C．240 D．252
【答案】B
【解析】根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，
即从9个球中取出3个，有种，
而这3个球的排法有2×1×1=2种，
则共有种，故选B．
8．若曲线上到直线的距离为2的点恰有3个，则实数m的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设直线与曲线相切，切点为，
，所以，，则，
切线方程为，即，
由题意直线与直线间的距离是2，
所以，，
直线在直线的上方，与曲线无公共点，所以，
故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一组数据共有7个数，记得其中有10，3，5，3，4，3，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数，中位数，众数依次成等比数列，这个数可能为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】BD
【解析】设没记清的数为，若，则这列数从小到大排列为：，3，3，3，4，5，10，
平均数为，中位数为3，众数为3，所以，；
若，则这列数从小到大排列为3，3，3，，4，5，10，
则平均数为，中位数为，众数为3，
所以，，
解得，符合要求；
若，则这列数从小到大排列为3，3，3，4，，5，10，或3，3，3，4，5，，10，或2，2，2，4，5，10，，
则平均数为，中位数4，众数3，所以，，
综上，故选BD．
10．已知数列的前项和是，则下列结论正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，则数列为等差数列
B．若数列为等差数列，则数列为等差数列
C．若数列和均为等差数列，则
D．若数列和均为等差数列，则数列是常数数列
【答案】BCD
【解析】对于A中，若数列为等差数列，可得，
因为首项不确定，所以数列为不一定是等差数列，所以A不正确；
对于B中，若数列为等差数列，设公差为，
则，可得，
当时，；
当时，，
则，
由，则，
所以，所以数列为等差数列，所以B正确；
对于C中，由数列为等差数列，可得，
则，可得，
则
常数，
所以，即，
所以，所以，且，所以，所以C正确；
对于D中，由数列为等差数列，可得，
则，
可得，
因为为等差数列，所以为常数，所以，
所以，所以数列是常数数列，所以D正确，
故选BCD．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．在区间上单调递增 D．的最大值为1
【答案】AC
【解析】对于A，的定义域为，
且，所以为偶函数，故A正确；
对于B，因为是周期为的周期函数，关于轴对称，不是周期函数，
所以不是周期函数，故B错误；
对于C，当时，，
，单调递增，故C正确；
对于D，当时，，
故的最大值不为1，故D错误，
故选AC．
12．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止．则下列说法正确的是（ ）

A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为
【答案】BCD
【解析】A选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走，
则甲从到达处的方法有种，A选项错误；
B选项，甲经过到达处，可分为两步：
第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种；
第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种，
甲经过到达的方法数为种，B选项正确；
C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，
甲、乙两人在处相遇的方法数为，
甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；
D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，
乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，
乙到处，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，
所以，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，
乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种；
故甲、乙两人相遇的概率，D选项正确，
故选BCD．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若实数满足，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域如图，

由图可知，，
由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，则，
有最小值为．
故答案为．
14．已知平面向量，，是单位向量，且，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】因为，所以，如图建系，

设，，，
因为，所以终点为单位圆上任意一点，
又，
所以，表示点与点间的距离，
由图可得，当位于图中B点时，点B与点A间的距离最大，且为，
所以的最大值为，
故答案为．
15．的展开式中的系数为_________．
【答案】
【解析】的展开式通项为，
的展开式通项为，
其中，、，
所以，的展开式通项为，
由题意可得，解得，
因此，的展开式中的系数为，
故答案为．
16．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_____________；若点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为H，则的最小值为__________．
【答案】，
【解析】设，由阿氏圆的定义可得，
即，化简得，
，则，
设，则由抛物线的定义可得，
，
当且仅当四点共线时取等号，
的最小值为，
故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）中，三内角，，所对的边分别为，，，已知，为锐角．

（1）求的大小；
（2）若为边上靠近点的三等分点，且，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
因为为锐角，，所以，
所以，．
（2）在中，由余弦定理可得，
同理在中，，
由于，化简得，
在中，由，所以，
即，即，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为．
18．（12分）已知数列是公差不为零的等差数列，且、、成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设数列的公差为，则有，
因为、、成等比数列，所以，
即，化简得，解得，，
所以，
即数列的通项公式为．
（2），，，
，
设①，
则②，
①﹣②得
，
，
．
19．（12分）随着5G通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长．某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐．短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐．
（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；
（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．
【解析】（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件，
则．
（2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量，可取，
则，
；；
；，
所以随机变量的分布列如下：










．(或)
20．（12分）如图，在平面五边形中，，且，，，，将沿折起，使点到的位置，且，
得到如图2所示的四棱锥．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）45°．
【解析】（1）证明：在中，因为，，
由余弦定理可得，
连接，因为，，
所以，
又因为，故在中，，
所以，同理可证；
又因为，平面，
所以平面．
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以，即，
令，则，故，
所以，
故平面与平面所成锐二面角的大小为45°．
21．（12分）已知椭圆，直线经过椭圆的右顶点且椭圆E的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若(其中)为椭圆E上一点，过点P作斜率存在的两条射线PM，PN，交椭圆E于M，N两点，且，直线MN是否恒过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）；（2）过定点，定点．
【解析】（1）因为直线经过椭圆的右顶点，所以，
又因为，所以，所以，
所以椭圆E的标准方程为．
（2）因为为椭圆E上一点，所以，所以，．
设直线的斜率为，则直线PM的方程为．
联立方程，得，消元得，
设，因为方程有一个根为0，所以，
所以，所以．
将M点坐标中的k用代换，得，
整理得．
所以，
整理得，
所以，
所以，
所以，
所以直线MN经过定点．

22．（12分）已知函数．
（1）判断的单调性，并比较与的大小；
（2）若函数，其中，判断的零点的个数，并说明理由．
参考数据：．
【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减，；（2）有且仅有1个零点，答案见解析．
【解析】（1）已知的定义域为，，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减，
因为函数在上单调递减，所以，即，
所以，即，
所以．
（2），
所以．
当时，，，
所以在上单调递增，
由，，
知当时，存在，，即函数有且仅有1个零点；
当时，，注意到，
所以：时，在上单调递增；
时，在上单调递减；
时，在上单调递增，
所以在上有极小值，有极大值．
一方面，注意到，
所以存在唯一的，．
另一方面，设，
则，，
故在上单调递增，所以，
所以在上恒小于0，在上恒小于0，即在上不存在零点，
综上所述：当时，有且仅有1个零点．