新高考数学考前冲刺卷04（A3版，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺卷04（A3版，原卷版+解析版），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，《高中数学课程标准》等内容，欢迎下载使用。

（新高考数学考前冲刺卷
数 学（四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．0
2．“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知复数（为虚数单位），，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知，的面积为2，则边的长有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
5．若函数，满足，则的值等于（ ）
A．2 B．0 C． D．
6．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．10
7．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．《高中数学课程标准》（2017版）给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中同学的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是（ ）

A．甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养
B．甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养
C．甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高
D．乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高
10．函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A． B．函数的最小正周期为
C．函数在区间上单调递增 D．函数关于点中心对称
11．在数列中，若，则称为“和等比数列”．设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数对于任意，均满足．当时，若函数，下列结论正确的为（ ）
A．若，则恰有两个零点 B．若，则有三个零点
C．若，则恰有四个零点 D．不存在使得恰有四个零点

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______．
14．某医院传染病科室有5名医生，4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生，2名护士，则不同的选取方法有______种．
15．已知x，y满足，且的最大值是最小值的2倍，则满足条件的可行域的面积是_________．
16．过点的直线与直线垂直，直线与双曲线
的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为_______，离心率为_______．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）若函数，的角，，的对边分别为，，，且．
（1）当取最大值时，判断的形状；
（2）在中，为边的中点，且，，求的长．











18．（12分）设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．












19．（12分）如图，在四棱锥中，，且．
（1）证明：；
（2）已知，，．在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．












20．（12分）从年月日开始，支付宝用户可以通过“扫福字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福），除夕夜，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包．某高校一个社团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就除夕夜之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：
是否集齐五福
性别
是
否
合计
男



女



合计



（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？
（2）计算这位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校名在读大学生中集齐五福的人数；
（3）以（2）中的频率作为概率，从该校的名在读大学生中随机选取名，记这名大学生集齐五福的人数为，求的数学期望及方差．
参考公式：．
附表：































21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，实轴长为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个点，使得直线，的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
















22．（12分）已知函数（）．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点，（），，求实数的取值范围．





新高考数学考前冲刺卷
数 学（四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】D
【解析】由，知，即，得，
∴，故选D．
2．“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由方程表示双曲线，知，
∴，
故它的一个必要不充分条件为，故选A．
3．已知复数（为虚数单位），，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，则，则，
故选C．
4．在中，已知，的面积为2，则边的长有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
【解析】设，，，
因为，所以，
因为的面积为2，所以，即，
所以，得，且，，
因为，解得，，
所以，
所以由余弦定理得，
所以，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，
所以的最小值为2，无最大值，即的最小值为2，无最大值，故选D．
5．若函数，满足，则的值等于（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【解析】由题意易知，分别在，上单调，

若，则不在同一单调区间，
又，一定有，，
∴，即，∴，
∴，故选A．
6．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【解析】由直线始终平分圆的周长，则直线必过圆的圆心，
由圆的方程可得圆的圆心坐标，
代入直线的方程可得，
又由表示点到直线的距离的平方，
由点到直线的距离公式得，
所以的最小值为，故选B．
7．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数的定义域为，
所以定义域关于原点对称，
又由，
所以函数为偶函数，排除B、D项；
当时，可得，排除C项，
所以只有A选项适合，故选A．
8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为平面，所以，，
所以，
在中，，所以，如图所示：

三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
设球的半径为，则，解得，
所以球的表面积为，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．《高中数学课程标准》（2017版）给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中同学的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是（ ）

A．甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养
B．甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养
C．甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高
D．乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高
【答案】AC
【解析】对于A，由图可知数学运算，甲得5分，乙得4分，所以甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养，所以A正确；
对于B，由图可知逻辑推理素养，甲得4分，乙得5分，所以甲的逻辑推理素养低于乙的逻辑推理素养，所以B错误；
对于C，由图可知甲只有数学运算素养得5分，所以甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高，所以C正确；
对于D，由图可知乙的逻辑推理、数据分析和直观想象都是5分，所以D错误，
故选AC．
10．函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A． B．函数的最小正周期为
C．函数在区间上单调递增 D．函数关于点中心对称
【答案】BC
【解析】由图可知，所以，所以，
又因为，，所以或，
又因为，所以，
又因为，所以，所以，
当时，，解得，这与矛盾，不符合；
当时，，解得，满足条件，
所以，所以，
A．由上可知A错误；
B．因为，所以的最小正周期为，故B正确；
C．令，所以，
令，此时单调递增区间为，且，故C正确；
D．因为，所以不是对称中心，故D错误，
故选BC．
11．在数列中，若，则称为“和等比数列”．设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，两式相减得，
所以
，故A正确，B错误；
，
故C正确，D错误，
故选AC．
12．已知函数对于任意，均满足．当时，若函数，下列结论正确的为（ ）
A．若，则恰有两个零点 B．若，则有三个零点
C．若，则恰有四个零点 D．不存在使得恰有四个零点
【答案】ABC
【解析】由可知函数的图象关于直线对称．
令，即，作出函数的图象如下图所示：

令，则函数的零点个数为函数、的图象的交点个数，
的定义域为，且，则函数为偶函数，
且函数的图象恒过定点，
当函数的图象过点时，有，解得．
过点作函数的图象的切线，
设切点为，对函数求导得，
所以，函数的图象在点处的切线方程为，
切线过点，所以，，解得，则切线斜率为，
即当时，函数的图象与函数的图象相切．
若函数恰有两个零点，由图可得或，A选项正确；
若函数恰有三个零点，由图可得，B选项正确；
若函数恰有四个零点，由图可得，C选项正确，D选项错误，
故选ABC．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______．
【答案】1215
【解析】∵二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，
∴令，得，．
的展开式的通项公式为，
令，可得，
的展开式的常数项为，
故答案为1215．
14．某医院传染病科室有5名医生，4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生，2名护士，则不同的选取方法有______种．
【答案】
【解析】符合题意的情况有两种：名医生、名护士和名医生、名护士．
选取名医生、名护士的方法有：种；
选取名医生、名护士的方法有：种，
综上所述：满足题意的选取方法共有种，故答案为．
15．已知x，y满足，且的最大值是最小值的2倍，则满足条件的可行域的面积是_________．
【答案】
【解析】先画出x，y满足的可行域如图所示，

由，得；由，得，
平移直线，
当直线过点时，目标函数有最小值，且；
当直线过点时，目标函数有最大值，且，
依题意，得，则，得，
所以可行域的面积为，故答案为．
16．过点的直线与直线垂直，直线与双曲线
的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为_______，离心率为_______．
【答案】，
【解析】过点的直线与直线垂直，
直线的方程为，
双曲线的两条渐近线方程为，
将两个方程联立，可得，，
的中点坐标为，
点满足，
点在线段的中垂线上，即，
，，
则，，
渐近线方程为，离心率为．
故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）若函数，的角，，的对边分别为，，，且．
（1）当取最大值时，判断的形状；
（2）在中，为边的中点，且，，求的长．
【答案】（1）是等边三角形；（2）．
【解析】因为，
所以由，得，
因为，所以，所以，．
（1），
因为，所以，
所以当时，取最大值，
此时，所以，所以是等边三角形．
（2）解：取边的中点，连接，
则，且，，
在中，由余弦定理得，
解得，
所以，
在中由余弦定理得
．
18．（12分）设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知，，
所以，，，
，
，
各项累加可得，
又，所以，
所以．
（2）由（1）可得，
所以①
②
①－②，得，
所以，
整理得．
19．（12分）如图，在四棱锥中，，且．

（1）证明：；
（2）已知，，．在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．
【解析】（1）证明：由已知，得，，
由，故，
又因为，所平面，
又平面，所以．
（2）假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，
由已知和（1），易得，，两两垂直，
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

令，则，，，，
，，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，
，解得或（舍去），
所以．
20．（12分）从年月日开始，支付宝用户可以通过“扫福字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福），除夕夜，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包．某高校一个社团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就除夕夜之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：
是否集齐五福
性别
是
否
合计
男



女



合计



（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？
（2）计算这位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校名在读大学生中集齐五福的人数；
（3）以（2）中的频率作为概率，从该校的名在读大学生中随机选取名，记这名大学生集齐五福的人数为，求的数学期望及方差．
参考公式：．
附表：


















【答案】（1）不能，详见解析；（2）；（3），．
【解析】（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为
，
故不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”．
（2）这80位大学生集齐五福的频率为，
据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为．
（3）从该校的名在读大学生中随机选取名，每个学生集齐五福的概率为，
随机变量，
∴，，
综上所述，，．
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，实轴长为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个点，使得直线，的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，详见解析．
【解析】（1）因为焦距为2，长轴长为4，
即，，解得，，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知，设点，，，
因为直线不与轴重合，
所以设直线的方程为，
联立，得，
所以，
所以，，
又，
，
直线，的斜率分别为，，
所以

，
要使得直线，的斜率之积恒为定值，直线，解得．
当时，存在点，使得；
当时，存在点，使得，
综上，在轴上存在点，使得，的斜率之积恒为定值，
当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值；
当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值．
22．（12分）已知函数（）．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点，（），，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
则，则．
又，
∴曲线在处的切线方程为，
即．
（2）（），．
依题意知，是方程的两个不相等的正实根，
即，是方程的两个不相等的正实根，
，解之得．


，
令（），则，
在上单调递增，
∴，
∴，∴．