新高考数学考前冲刺卷11（A3版，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺卷11（A3版，原卷版+解析版），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

新高考数学考前冲刺卷
数 学（十一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数(i为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列说法中正确的是（ ）
A．命题“p且q”为真命题，则p､q恰有一个为真命题
B．命题“，”，则“，”
C．命题“函数有三个不同的零点”的逆否命题是真命题
D．设等比数列的前n项和为，则“”是“”的充分必要条件
4．等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知偶函数在上单调递增，若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在区间上任取一个实数，则使得直线与圆有公共点的概率
是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（ ）
A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大
B．对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病
D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关
10．对于给定的异面直线、，以下判断正确的是（ ）
A．存在平面，使得，
B．存在直线，使得同时与、垂直且相交
C．存在平面、，使得，，且
D．对于任意点，总存在过且与、都相交的直线
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为
C．在上单调递增 D．在上单调递减
12．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵佶建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种．小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类的概率为_________．

14．已知外接圆的直径为d，，，，则_________．
15．设；，若是的必要不充分条件，则的取值范围为________．
16．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为_________；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则_________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列满足，，，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设数列的前项和．证明：．














18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为，，点D在边AC上，且，．
（1）求角B的大小；
（2）求面积的最大值．















19．（12分）某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经考试后统计，考试成绩X服从正态分布，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．
（1）已知，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？
（2）某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，…，99），若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？













20．（12分）如图，，分别是圆台上下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．






















21．（12分）已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值．























22．（12分）已知，．
（1）若在点处的切线斜率为，求实数的值；
（2）若有两个零点，且，求证：．






新高考数学考前冲刺卷
数 学（十一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
所以，故选D．
2．已知复数(i为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为复数，所以，，
所以，
所以在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限，故选B．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．命题“p且q”为真命题，则p､q恰有一个为真命题
B．命题“，”，则“，”
C．命题“函数有三个不同的零点”的逆否命题是真命题
D．设等比数列的前n项和为，则“”是“”的充分必要条件
【答案】D
【解析】A选项，“p且q”为真命题，则都是真命题，所以A选项错误；
B选项，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以B选项错误；
C选项，，，为单调递增函数，只有个零点，所以原命题是假命题，其逆否命题也是假命题；
D选项，（等比数列公比），所以D选项正确，
故选D．
4．等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是等差数列，且，得，
对于A，，故错误；
对于B，，，故正确；
对于C，，，故错误；
对于D，，故错误，
故选B．
5．已知偶函数在上单调递增，若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为偶函数在上单调递增，
所以在上单调递减，且，
由，得，解得，故选D．
6．在区间上任取一个实数，则使得直线与圆有公共点的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为1，
要使直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离，解得．
在区间中随机取一个实数，
则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为，
故选C．
7．已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设，，，且，
因为，所以，
设，，，，
所以，
由于，故，故选D．
8．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设曲线上的点，，；
曲线上的点，，，
，，
，，
，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（ ）
A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大
B．对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病
D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关
【答案】ABD
【解析】选项A，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，
则观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A正确；
选项B，根据的观测值越小，原假设“X与Y没关系”成立的可能性越大，
则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项B正确；
选项C，从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，
不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项C不正确；
选项D，从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，
是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关，
是独立性检验的解释，所以选项D正确，
故选ABD．
10．对于给定的异面直线、，以下判断正确的是（ ）
A．存在平面，使得，
B．存在直线，使得同时与、垂直且相交
C．存在平面、，使得，，且
D．对于任意点，总存在过且与、都相交的直线
【答案】BC
【解析】对于A选项，若存在平面，使得，，则，与题设条件矛盾，假设不成立，A选项错误；
对于B选项，作直线，使得且，则直线、确定平面，如下图所示：

过点作直线，使得．
①若与相交，则直线即为所求作的直线，
，，所以，，
，所以，
即直线同时与、垂直且相交；
②若直线与异面，过直线作平面，使得，
设直线与确定的平面为，且，由线面平行的性质定理可得，
，则，
，，
，，同理可知，
由图可知，，
，，则，同理可知，直线与也相交．
此时，存在直线，使得同时与、垂直且相交．
综上所述，存在直线，使得同时与、垂直且相交，B选项正确；
对于C选项，作直线，使得直线与相交且，直线与确定平面，
作直线，使得直线与相交且，直线与确定平面，

，，，所以，同理可得，
因为直线与相交，且直线与确定平面，所以，
因此，存在平面、，使得，，且，C选项正确；
对于D选项，若点既不在直线上，也不在直线上，则点与直线可确定平面，
当时，无法找到过点的直线同时与、相交，D选项错误，

故选BC．
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】ABD
【解析】的最小正周期为，的最小正周期为，
所以的最小正周期为，A正确；
，
设，则，，
令，得或．
当时，；当时，，
可知当时，取得最大值，
不妨取，当时，，
当时，根据题意知，∴，
则，B正确；
∵，∴，单调递增，，不单调，则不单调，C错误；
∵，∴，单调递减，，，单调递减，则单调递减，D正确，
故选ABD．
12．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
【答案】BD
【解析】A：函数的定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是的极小值点，故A错误；
B：，，
所以函数在上单调递减，
又，，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
C：若，即，则，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，
所以在上单调递减，函数无最小值，
所以不存在正实数，使得恒成立，故C错；
D：因为在上单调递减，在上单调递增，
∴是的极小值点，
∵对任意两个正实数，，且，若，则．
令，则，
由，得，∴，
即，即，解得，，
所以．
故要证，需证，
需证，需证．
∵，则，∴证．
令，，
，所以在上是增函数．
因为时，，则，所以在上是增函数．
因为时，，则，所以，
∴，故D正确，
故选BD．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵佶建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种．小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类的概率为_________．

【答案】
【解析】小平钱2枚编号为，折二钱3枚编号为，
则任取2枚的所有基本事件为共10种，
其中两枚不同类的有共6种，
所求概率为，故答案为．
14．已知外接圆的直径为d，，，，则_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，
故答案为．
15．设；，若是的必要不充分条件，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】设表示的是集合，表示的是集合，
若是的必要不充分条件，则，
在坐标轴中作出满足的可行域，如下图阴影部分所示：

由，
则结合上图可知，点应在圆内部或者圆上，
即，解得，
故答案为．
16．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为_________；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则_________．
【答案】，
【解析】由于点关于直线对称的点Q在椭圆上，由于的倾斜角为，画出图象如下图所示，
由于是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知为等腰直角三角形，且为短轴的端点，故离心率．
不妨设，，则椭圆方程化为，
设直线的方程为，
代入椭圆方程并化简得．
设，，则①，②．
由于，故③．
解由①②③组成的方程组得，即，．
故答案为，．


四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列满足，，，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设数列的前项和．证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）∵，，
∴，∴，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知：，∴，
，
∴，
所以．
18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为，，点D在边AC上，且，．
（1）求角B的大小；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由及正弦定理，得，
又，所以，
即，
因为，，所以，
又，得．
（2）方法1：因为点D在边AC上，且，
所以，
，即，
即，
由，可得，即，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，
当且仅当，即，时等号成立．
方法2．设，则，，
在中，由余弦定理得，即；①
同理，在中，由余弦定理得，②
由①②消掉，得．③
在中，由余弦定理，得，即，④
把④代入③，得，
由，可得，即，
所以面积的最大值为，
当且仅当，即，时等号成立．
19．（12分）某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经考试后统计，考试成绩X服从正态分布，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．
（1）已知，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？
（2）某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，…，99），若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？
【答案】（1）456分；（2）39万元．
【解析】（1）X服从正态分布：，
因为，；
所以，
根据正态曲线的对称性，，，
所以，
若40万考生中一本院校招收6万考生，则一本院校考生占比为，
所以这一年一本最低录取分数为456分．
（2）X的分布列如下：
X
20
5
P
01
09
所以，
因为一本院校招生一共6万人，每人的话费期望值为65元，
故总额为万元．
20．（12分）如图，，分别是圆台上下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）．

（1）求证：平面平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由题意，，分别是圆台上下底面的圆心，可得底面，
因为底面，所以，
又由点是下底面内以为直径的圆上的一个动点，可得，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，则，，
可得，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
所以；
又由，，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
所以，
所以，
因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

21．（12分）已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值2．
【解析】（1）双曲线（，）的渐近线方程为和，
由动点到两条渐近线，的距离之积为，
则，
又，即，解得，，
则双曲线的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
直线与双曲线的右支相切，可得，
可得，
设直线与轴交于，则，
，
又双曲线的渐近线方程为，
联立，可得，
同理可得，
则，
即有面积为定值2．
22．（12分）已知，．
（1）若在点处的切线斜率为，求实数的值；
（2）若有两个零点，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），则，
由，得．
（2）证明：有两个零点，
即有两个不等根、，
即，即．
令，则．
记，则，
记，则，
所以，即，
即在上单调递增，即，
所以，所以．