新高考数学考前冲刺卷02（A3版，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺卷02（A3版，原卷版+解析版），共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

新高考数学考前冲刺卷
数 学（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数的周期是 B．
C．函数是奇函数 D．的充要条件是
4．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．165 B．176 C．180 D．187
5．已知实数满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数为函数图象的一条切线，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．设A、B为圆上的两动点，且，P为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知非空集合，设集合，
．分别用、、表示集合、、中元素的个数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则可能为18 D．若，则不可能为19

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）

A．
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象关于中心对称
D．函数的图象可由图象向右平移个单位长度得到
10．2014年7月18日，教育部公布了修订的《国家学生体质健康标准》．学生体测成绩达到或超过良好，才有资格参与评优与评奖，中学男生100米体能测试的良好成绩小于秒､某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测试的成绩(单位：秒)，将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

由直方图推断，下列选项正确的是（ ）
A．直方图中a的值为
B．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的众数为秒
C．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的中位数为秒
D．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了80%
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点是圆关于直线对称的曲线上任意一点，若的最小值为，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2
B．曲线过点的切线斜率为
C．若、为椭圆上关于原点对称的异于顶点和点的两点，则直线与斜率之积为
D．的最小值为2
12．已知定义在R上的奇函数在上单调递增，则“对于任意的，不等式恒成立”的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为___________．

14．已知函数的反函数为，则___________．
15．已知中角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且为的角平分线，若，，则最小值为_________．
16．已知菱形边长为3，，为对角线上一点，．将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______．


四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若的面积为，为边的中点，求的最小值．












18．（12分）在正项等比数列中，，．
（1）求；
（2）设，数列满足，求数列的前项和．














19．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中，）．

（1）利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？
（2）根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立关于的回归方程；
（ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？
（iii）已知该金属在距离原点时的平均开采成本（单位：元）与，关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？
附：对于一组数据，其线性相关系数，
其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．


















20．（12分）如图1所示，梯形中，．为的中点，
连接交于，将沿折叠，使得平面平面（如图2），
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值．















21．（12分）已知点为抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且面积为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l经过交抛物线C于M，N两点(异于点P)，求证：的大小为定值．











22．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．






新高考数学考前冲刺卷
数 学（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，故选C．
2．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，故选C．
3．下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数的周期是 B．
C．函数是奇函数 D．的充要条件是
【答案】C
【解析】由于不存在非零实数使得对于任意实数恒成立，
所以函数不是周期函数，故选项A是假命题；
当时，，故选项B是假命题；
函数的定义域关于原点对称，且满足，
故函数是奇函数，即选项C是真命题；
由，得且，所以“”的必要不充分条件是“”，
故选项D是假命题，
故选C．
4．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．165 B．176 C．180 D．187
【答案】D
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
由，，可得，解得，
所以，故，故选D．
5．已知实数满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：
表示可行域中的点到原点的距离的平方，
由图象可知：点到原点的距离最大，
由，得，即，
，即；
过原点作直线的垂线，垂足为，则垂线方程为，
由，得，即，经检验，满足可行域，
，即，
，故选A．

6．若函数为函数图象的一条切线，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】设点是函数图象上任一点，其中，
，，
所以过点的切线方程为，
即，
故，，，
构造函数，，
所以在区间上，，递减；
在区间上，，递增，
所以在区间上的极小值也即是最小值为，
即的最小值为，故选B．
7．设A、B为圆上的两动点，且，P为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设是中点，因为，所以，
即在以原点为圆心，为半径的圆上，
，，
又，所以，所以，
故选C．

8．已知非空集合，设集合，
．分别用、、表示集合、、中元素的个数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则可能为18 D．若，则不可能为19
【答案】D
【解析】已知，．
又、、表示集合、、中元素的个数，将问题转化为排列组合问题，
对于AB，，，，则，故B正确；
但若考虑重复情况，即由相邻元素构成，例，则，，即，故A正确；
对于CD，，，，则，故D错误；
但若考虑重复情况，即由相邻元素构成，例，则，，即，故可能为18，故C正确，
故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）

A．
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象关于中心对称
D．函数的图象可由图象向右平移个单位长度得到
【答案】AC
【解析】，
由图象可知，所以，所以，故A选项正确；
函数的解析式为，
令，得，
故的单调增区间为，故B选项错误；
因为，故C选项正确；
因为图象可由图象向左平移个单位长度得到，故D选项错误，
故选AC．
10．2014年7月18日，教育部公布了修订的《国家学生体质健康标准》．学生体测成绩达到或超过良好，才有资格参与评优与评奖，中学男生100米体能测试的良好成绩小于秒､某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测试的成绩(单位：秒)，将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

由直方图推断，下列选项正确的是（ ）
A．直方图中a的值为
B．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的众数为秒
C．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的中位数为秒
D．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了80%
【答案】AB
【解析】A：由概率统计相关知识，可知各组频率之和为1．
频率=(频率/组距)×组距，
，解得，
故A正确；
B：直方图的众数是频率最高组的中点，即，故B正确；
C：直方图的中位数是频率相等的分点，设为x，
则，解得，故C错误；
D：由图可知．成绩小于秒的人数所占百分比为：
，故D错误，
故选AB．
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点是圆关于直线对称的曲线上任意一点，若的最小值为，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2
B．曲线过点的切线斜率为
C．若、为椭圆上关于原点对称的异于顶点和点的两点，则直线与斜率之积为
D．的最小值为2
【答案】BC
【解析】圆关于直线对称的曲线为以为圆心，1为半径的圆，
即曲线E的方程为，

由椭圆定义有知，
，
由图知，
，，椭圆方程为，
故焦距，A错误；
，D错误；
设曲线过点的切线斜率为k，则切线方程为，
由圆心到切线方程的距离等于半径有，B正确；
设，，，
则，
又都在椭圆上，即，C正确，
故选BC．
12．已知定义在R上的奇函数在上单调递增，则“对于任意的，不等式恒成立”的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】奇函数在上单调递增，则在上也单调递增，
即是R上的单增函数，
，
则，，即在上恒成立，
令，
则
，，
记，恒成立，即单减，
又，，
则必有，使，
故，；，，
因此，，单增；，，单减，
因此，
由代入得
，
故若使在上恒成立，则，
根据充分不必要条件的定义可以判断C、D正确，A、B错误，
故选CD．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为___________．

【答案】19
【解析】由随机数的抽样规则得：依次选取的样本编号为，
故选出来的第6个个体编号为，故答案为．
14．已知函数的反函数为，则___________．
【答案】
【解析】函数的反函数是，
，，
互换，，得，，
则．
故答案为．
15．已知中角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且为的角平分线，若，，则最小值为_________．
【答案】4
【解析】如图，∵为角平分线，，
∴，
化简得，∴，则，
当且仅当时取等号，故最小值为4，
故答案为4．

16．已知菱形边长为3，，为对角线上一点，．将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______．

【答案】，
【解析】因为且四边形为菱形，
所以，均为等边三角形，
取，的重心为，过作平面、平面的垂线，且垂线交于一点，
此时即为三棱锥的外接球球心，如下图所示：

记，连接，因为二面角的大小为，
且，，所以二面角的平面角为，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，
又，所以，
所以三棱锥的外接球的半径为．
当截面面积取最小值时，此时截面，
又因为截面是个圆，设圆的半径为，外接球的半径为，
又因为且，
所以，
所以，所以此时截面面积为．
故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若的面积为，为边的中点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，
可得，
所以，
即，
又，化简可得，即，
因为，所以．
（2）因为，所以，
在中，由余弦定理可得，
当且仅当，时，等号成立，
所以，即的最小值为．
18．（12分）在正项等比数列中，，．
（1）求；
（2）设，数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）正项等比数列的公比q，
而，，即，
又，解得，，
所以．
（2）由（1）知，，
所以
．
19．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中，）．

（1）利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？
（2）根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立关于的回归方程；
（ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？
（iii）已知该金属在距离原点时的平均开采成本（单位：元）与，关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？
附：对于一组数据，其线性相关系数，
其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】（1）更适宜；（2）（i）；（ii）；（iii）为10时，开采成本最大．
【解析】（1）的线性相关系数，
的线性相关系数，
∵，
∴更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型．
（2）（i），，
∴，
∴关于的回归方程为．
（ii）当时，金属含量的预报值为．
（iii），
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴在处取得极大值，也是最大值，此时取得最大值，
故为10时，开采成本最大．
20．（12分）如图1所示，梯形中，．为的中点，
连接交于，将沿折叠，使得平面平面（如图2），

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接，

因为．为的中点，
所以、、都是边长为2的正三角形，
又，所以四边形是菱形，
所以，，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因为平面，所以．
（2）由（1）知、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，
设平面的法向量为，
，令，则，
平面的法向量为，
设平面与平面所成的二面角的大小为，
，
所以．
21．（12分）已知点为抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且面积为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l经过交抛物线C于M，N两点(异于点P)，求证：的大小为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）据题意可知，
由，得，求导得，
所以抛物线C在点P处的切线方程为，
令，得，即，
又，所以，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）据题意知直线l斜率存在，设为k，从而直线l方程为，
设，，
由，得，
所以，，
因为，，
所以
，
所以，
所以的大小为90°，是一个定值．
22．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），，．
①若，则恒成立，故在上单调递增；
②若，令，得．






0



极大值

③若，则恒成立，故在上单调递减，
综上所述，若，在上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递减．
（2）令，故，，
所以，令，
，
下面证明，其中．
令，，则．
所以在上单调递增，故，
所以当时，．
所以，
所以在上单调递增，故．
①若，即，则，
所以在上单调递增，
所以对恒成立，所以符合题意；
②若，即，此时，
，
且据及可得，故，
所以．
又的图象在上不间断，
所以存在，使得，
且当时，，在上单调递减，
所以，其中，与题意矛盾，
所以不符题意，舍去，
综上所述，实数的取值范围是．