人教A版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数本章总结提升课件

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本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·素养提升目 录 索 引 知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一　与指数函数有关的图象问题1.平移变换(1)把函数y=f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度,得函数y=f(x-m)的图象;把函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度,得函数y=f(x+m)的图象.(2)把函数y=f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度,得函数y=f(x)+n的图象;把函数y=f(x)的图象向下平移n(n>0)个单位长度,得函数y=f(x)-n的图象.2.对称变换(1)函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称;(3)函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.【例1】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数y=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;解 如图.(1)y=2x-1的图象是由y=2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到的;(2)y=2x+1的图象是由y=2x的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到的;(3)y=-2x的图象是由y=2x的图象关于x轴对称得到的.变式训练1 画出函数y=2|x-1|的图象,并根据图象指出这个函数的对称性、单调区间、值域.其图象是由两部分组成的:一是把函数y=2x的图象向右平移1个单位长度,取x≥1的部分;如图中实线部分所示.由图象可知函数的三个性质:①对称性:图象的对称轴为直线x=1.②单调性:在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.③函数的值域:[1,+∞).专题二　指数函数性质的综合应用在指数函数性质的综合应用中,主要出现以指数函数为载体的复合函数,然后利用定义判断复合函数的奇偶性、单调性,从而解决问题.【例2】 [2023山东青岛莱西期末]已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点 ,h(x)=f(x)+2g(x).(1)若f(x)>g(-x)+6,求x的取值范围;(2)判断h(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)设p=h(2.50.2),q=h(3.10.3),r=h(0.7-0.1),试比较p,q,r的大小,并将它们按从小到大的顺序排起来.(1)f(x)>g(-x)+6可化为9x-3x-6>0,令3x=t,则t2-t-6=(t+2)(t-3)>0,t>0,∴t>3,即3x>3,解得x>1,故x的取值范围为(1,+∞).∴3.10.3>2.50.2>0.7-0.1>0.∵h(x)在[0,+∞)上单调递增,q=h(3.10.3),p=h(2.50.2),r=h(0.7-0.1),∴r0,且a≠1).(1)若函数f(x)的图象过点(3,4),求实数a的值;(2)求关于x的不等式f(x)>a3的解集.解 (1)∵函数f(x)的图象过点(3,4),∴a2=4,∵a>0,且a≠1,∴a=2.(2)由f(x)>a3可得ax-1>a3,当01时,x-1>3,解得x>4,即不等式的解集为(4,+∞).专题三　对数函数的图象及其应用对数函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.本专题重在提升直观想象和逻辑推理素养.【例3】 画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间:(1)y=log3(x-2);规律方法　1.注意函数图象上的特殊点及函数自身的性质(定义域、单调性、对称性、最值等)的应用,同时灵活利用图象平移、对称、翻折等知识加以筛选.2.借助函数的图象可以求图象的交点个数、函数的最值、解不等式等.变式训练3 如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　)A.{x|-10,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)若f(x)>0,求x的取值范围.所以函数的定义域为(-10,10).(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,对任意x∈(-10,10),有-x∈(-10, 10),则f(-x)=loga(10-x)-loga(10+x)=-[loga(10+x)-loga(10-x)]=-f(x),即函数f(x)是奇函数.(3)若f(x)>0,则f(x)=loga(10+x)-loga(10-x)>0,即loga(10+x)>loga(10-x).即当a>1时,x的取值范围为(0,10),当00,且a≠1.(1)当t=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集;(2)若函数F(x)=af(x)+(t-2)x2+(1-6t)x+8t+1在区间(2,5]上有零点,求实数t的取值范围.解 (1)当t=1时,不等式可化为loga(2x2-2)≤loga(x+1)2, 综上所述,当01时,不等式的解集为(1,3].(2)函数F(x)=af(x)+(t-2)x2+(1-6t)x+8t+1=t(x2-6x+8)+x-1,令t(x2-6x+8)+x-1=0,∵x∈(2,5],∴x-1∈(1,4],则有t≠0,专题五　利用函数性质判定方程的解若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且在两端点处的函数值f(a),f(b)异号,则函数y=f(x)的图象至少穿过x轴一次,即方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实根c.【例5】 已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为直线x= ,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,解得-40,由于此方程的判别式Δ=b2-4ac>0,故此方程有两个不等实数根,且两根之积为 <0,故关于t的方程只有一个实数根,故关于x的方程只有一个实数根.(2)已知函数f(x)=ln x+2x-6的零点位于区间(m-1,m)(m∈Z)内,则 +log3m的值是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4D解析 ∵f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,∴f(x)=ln x+2x-6存在零点x0∈(2,3).∵f(x)=ln x+2x-6在定义域(0,+∞)上单调递增,∴f(x)=ln x+2x-6存在唯一的零点x0∈(2,3).又m∈Z,∴m=3.(3)若函数f(x)=ax2-2x+1在区间 内有零点,则实数a的取值范围为　　　　　. (-∞,0]专题六　用函数模型解决实际问题解决实际问题的流程: 【例6】 某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场,根据市场调研情况得到每枚纪念章的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:为了描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系,现有以下三种函数模型供选择:(1)根据表中数据,请选取一个恰当的函数模型并说明理由;(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格;(3)利用你选取的函数,若存在x∈(10,+∞),使得不等式 -k≤0成立,求实数k的取值范围.解 (1)随着时间x的增加,y的值先减后增,而所给的三个函数中y=mx+n和y= +q显然都是单调函数,不满足题意,∴选择y=ax2+bx+c.(2)把点(2,102),(6,78),(20,120)代入y=ax2+bx+c中, ∴当x=10时,y有最小值ymin=70,故当纪念章上市10天时,该纪念章的市场价最低,最低市场价为70元.规律方法　本题主要考查了函数模型的选择,考查了二次函数的选择,同时考查了基本不等式的应用.根据所给数据先判断出变化趋势是解题的关键.变式训练6 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(单位:万元)满足R(x)= 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本);(2)要使工厂有盈利,求产量x的取值范围;(3)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?(2)①当0≤x≤5时,由-0.4x2+3.2x-2.8>0得x2-8x+7<0,解得15时,由8.2-x>0,得x<8.2,∴50.即当产量x的范围是(1,8.2)(百台)时,能使工厂有盈利.(3)当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f(x)有最大值为3.6;当x>5时,∵函数f(x)单调递减,∴f(x)