2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题29函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题29函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（Word版附解析），共31页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。


专题29函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
题型二：由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
题型三：方程根(函数零点)问题
题型四：三角函数图象与性质的综合问题
题型五：三角函数模型

培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
【考点预测】
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ

2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ
0

π

2π
x





y＝Asin
(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径

【常用结论】
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
3.对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．y＝Asin(ωx＋φ)的图象有无数条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无数个对称中心，即图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出．
4.相邻两条对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
【方法技巧】
1.作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2.由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
（1）如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.
（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
3.研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题；方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数；三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
二、【题型归类】
【题型一】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【典例1】(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
【解析】依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．
故选B.
【典例2】将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ等于(　　)
A. B.
C. D.
【解析】y＝sin 2x＝cos.
将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，
得到函数y＝cos
＝cos
＝cos，
由题意知2φ－＝＋2kπ(k∈Z)，
则φ＝＋kπ(k∈Z)，
又0≤φ<，所以φ＝.
故选C.
【典例3】(2020·江苏)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．
【解析】将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，
所得图象的函数解析式为
y＝3sin＝3sin.
令2x－＝kπ＋，k∈Z，
得对称轴的方程为x＝＋，k∈Z，
分析知当k＝－1时，对称轴为直线x＝－，与y轴最近．
【题型二】由图象确定y＝Asin(ωx＋φ的解析式
【典例1】(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝cos
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝cos
D．f(x)＝cos
【解析】由图象知π 所以1<|ω|<2.
因为图象过点，所以cos＝0，
所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝－k－，k∈Z.
因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝，
所以f(x)＝cos.
故选B.
【典例2】已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.

【解析】由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.
又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，
所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.
【典例3】若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin
【解析】根据题图有A＝1，T＝－＝⇒T＝π＝⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由f ＝sin＝1⇒sin＝1⇒＋φ＝＋2kπ，k∈Z⇒φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，将f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f ＝sin＝sin 2x.
故选C.
【题型三】方程根(函数零点)问题
【典例1】函数y＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．
【解析】函数y＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个不同的零点，转化为m＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，在x∈上有两个不同的实数根．
设2x＋＝t，则t∈，
所以题目条件可转化为＝sin t，在t∈上有两个不同的实数根．
所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
【典例2】已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
【解析】方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
【题型四】三角函数图象与性质的综合问题
【典例1】(多选)将函数f(x)＝2sin－1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数g(x)的最小正周期是π
B．函数g(x)的图象关于直线x＝－对称
C．函数g(x)在上单调递减
D．函数g(x)在上的最大值是1
【解析】依题意得g(x)＝2sin－1＝2sin－1，函数g(x)的最小正周期T＝＝π，因此选项A正确；当x＝－时，函数y＝sin没有取得最值，因此函数g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故选项B不正确；当x∈时，2x＋∈⊆，此时函数g(x)单调递减，故选项C正确；当x∈时，2x＋∈，sin∈，因此此时函数g(x)没有最大值，选项D不正确．
故选AC.
【典例2】(多选)已知函数f(x)＝sin，则下列四个命题中正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)＝是x＝的充分不必要条件
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)
【解析】对于A，由最小正周期T＝＝π知A正确；
对于B，由f(x)＝得2x－＝2kπ＋或2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，可知f(x)＝是x＝的必要不充分条件，B不正确；
对于C，由 对于D，y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度得y＝＝|sin 2x|的图象，由y＝|sin x|的图象的对称轴为直线x＝(k∈Z)得y＝|sin 2x|的图象的对称轴为直线x＝(k∈Z)，D正确．
故选AD.
【典例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)的一个单调递减区间为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】因为函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f(x)＝sin(2x＋θ)，将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)＝sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以＋θ＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z)．又因为－≤θ≤，所以θ＝，所以f(x)＝sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
当k＝0时，得到一个单调递减区间为.
又⊆.
故选B.
【题型五】三角函数模型
【典例1】如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米．
【解析】以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，
因为大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，
12秒旋转一周，设∠OO1P＝θ，运动t秒后与地面的距离为f(t)，又周期T＝12，所以θ＝·2π＝t，
f(t)＝3＋2sin＝3－2cos t(t≥0)，
当t＝40时，f(t)＝3－2cos＝4(米)．
【典例2】(多选)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为(　　)

A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos t＋68
C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30
D．∃t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
【解析】由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A不正确；
t分钟后，转过的角度为t，
则h＝60－60cos t＋8＝－60cos t＋68，故B正确；
h＝－60cos t＋68，周期为＝30，由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，
则t1，t2∈[0,30]，又高度相等，
则t1，t2关于t＝15对称，
则＝15，则t1＋t2＝30，故C正确；
令0≤t≤π，解得0≤t≤15，
令π≤t≤2π，解得15≤t≤30，
则h在t∈[0,15]上单调递增，在t∈[15,20]上单调递减，
当t＝15时，hmax＝128，
当t＝20时，h＝－60cos ×20＋68＝98>90，
所以h＝90在t∈[0,20]只有一个解，
故D不正确．
故选BC.
【典例3】如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.

(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
【解析】(1)连接AB，OA，OB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，
即函数关系式为y＝cos(t＞0)，
当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，故当t∈时，y∈.
三、【培优训练】
【训练一】如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝________．

【解析】由题设并结合图形可知，
AB＝ ＝
＝＝，得＝4，则ω＝，
所以f(－1)＝sin(－＋)＝sin ＝.
【训练二】(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是(　　)

A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
【解析】由题意可知T＝60，所以＝60，解得ω＝，又从点A(3，－3)出发，所以R＝6，6sin φ＝－3，又|φ|<，所以φ＝－，故A正确；y＝6sin，当t∈[35，55]时，t－∈，则sin∈[－1，0]，y∈[－6，0]，点P到x轴的距离为|y|，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；当t∈[10，25]时，t－∈，所以函数y＝6sin在[10，25]上不单调，故C不正确；当t＝20时，t－＝，则y＝6sin ＝6，且x＝6cos ＝0，所以P(0，6)，则|PA|＝＝6，故D正确．综上，正确的是ABD.
故选ABD.
【训练三】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．
【解析】(1)由图可得A＝2，＝－＝，
所以T＝π，所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝2，
可得2sin＝2，
因为|φ|<，所以φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－，
所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，
则g(x)＝2sin＋2cos
＝2sin＋2，
令t＝sin，t∈[－1，1]，
记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－4＋，
因为t∈[－1，1]，所以h(t)∈，
即g(x)∈，故a∈.故a的取值范围为.
【训练四】已知函数f（x）＝sin＋＋b.
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围.
【解析】（1）∵函数f（x）＝sin＋＋b，
且函数f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），且ω∈[0，3]，∴ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为
（k∈Z）.
（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b.
∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；当2x＋∈，
即x∈时，函数f（x）单调递减.
又f（0）＝f，∴当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，
即sin≤－b－ ∴b∈∪.
故实数b的取值范围为
∪.
【训练五】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0,0<φ<π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
【解析】(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，
其中A>0，ω>0,0<φ<π，
由题知函数f(x)的最小正周期为＝，
解得ω＝4，
又函数f(x)在x＝处取到最小值－2，
则A＝2，且f ＝－2，
即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0可得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)函数f(x)＝2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝2sin，
再向左平移个单位长度可得
g(x)＝2sin＝2cos 2x，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)∵方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，
作出函数g(x)＝2cos 2x，x∈的图象，

由图可知－2 解得－4 ∴m的取值范围为－4 【训练六】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面为10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．
【解析】(1)由题意可知H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，B≥0)，摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，
得A＝40，B＝50.
又函数周期为30，ω＝＝，
所以H(t)＝40sin＋50(0≤t≤30)，
又t＝0时，H(t)＝10，所以10＝40sin＋50，
即sin φ＝－1，φ可取－，
所以H(t)＝40sin＋50
＝－40cos t＋50(0≤t≤30)．
(2)H(t)＝－40cos t＋50＝30，cos t＝，
解得t＝5，
所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米．
(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为，游客甲，乙中间相隔5个座舱，
则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱，若甲在摩天轮上坐了t(5≤t≤30)分钟，则游客乙在摩天轮上坐了t－5分钟，
所以高度差为
h＝－40cos t＋50－
＝－40
＝－40
＝－40cos，
因为5≤t≤30，所以≤t＋≤，
当t＋＝π，即t＝10时，h取得最大值40.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 函数f(x)＝－2cos的振幅、初相分别是(　　)
A．－2， B．－2，－
C．2， D．2，－
【解析】振幅为2，当x＝0时，φ＝，即初相为.
故选C.
2. 函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

【解析】令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D．令x＝，得y＝sin＝0，排除C．
故选A.
3. 函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B．
C．1 D．
【解析】由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.
故选D.
4. 将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是（　　）
A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝sin 4x D.y＝cos 4x
【解析】y＝sin→y＝sin→y＝sin＝sin x.
故选A.
5. 已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　)

A．A＝1 B．A＝3
C．ω＝ D．ω＝
【解析】由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.
故选C.
6. 为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【解析】因为y＝sin 2x＝cos＝cos，y＝cos＝cos，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象．
故选B．
7. 已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则φ的值为（　　）
A.－ B. C.－ D.
【解析】由题意，得＝－＝，所以T＝π.
由T＝，得ω＝2.
由图可知A＝1，所以f（x）＝sin（2x＋φ）.
又因为f＝sin＝0，－＜φ＜，
所以φ＝.
故选B.
8. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个单调递增区间为(　　)

A. B.
C. D.
【解析】根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，
可得A＝1，
·＝－，
∴ω＝2.
结合“五点法”作图可得2×＋φ＝，
∴φ＝，f(x)＝sin.
将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，
可得y＝sin的图象．
再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，
得到函数g(x)＝sin
＝sin的图象．
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
可得函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z，
令k＝0，可得一个单调递增区间为.
故选A.
【多选题】
9. 已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x－，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的值域为[－1，1]
B．函数f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到
C．函数f(x)在上单调递减
D．点是函数f(x)的一个对称中心
【解析】f(x)＝sin xcos x＋(2sin2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin，易知A，D均正确，对于B选项，y＝sin 2x的图象应向右平移个单位，得到f(x)的图象，因此B选项不正确；
对于C选项，当－≤x≤时，－≤2x－≤，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此C选项不正确．
故选AD.
10. 如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　)

A．y＝g(x)是奇函数
B．函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝kπ＋(k∈Z)
C．函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)
D．函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)
【解析】依题意可得A＝2，＝＋＝，故T＝π，T＝＝π，解得ω＝2.f＝2sin[2×＋φ]＝2sin＝0，因为0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)＝2sin.将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x的图象，函数g(x)＝2sin 2x是奇函数，故A对；函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)，故B不对；函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)，故C不对；函数g(x)＝2sin 2x的单调递减区间为(k∈Z)，故D对．
选AD.
11. 已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)在区间(0，π)上单调递增
C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
D．函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为－
【解析】由题意知＝4π，则ω＝，所以f(x)＝cos.因为f＝cos≠±1，所以直线x＝不是f(x)图象的对称轴，A错误；
因为x∈(0，π)，所以x＋∈，当x＋∈时，f(x)单调递减；当x＋∈时，f(x)单调递增，所以f(x)在[0，π]上的最大值为cos＝－，B错误，D正确；f(x)的图象向右平移个单位长度后得到图象的函数解析式为g(x)＝cos＝cos＝－sinx，是奇函数，图象关于原点对称，C正确．
故选CD.
12. 将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质(　　)
A．最大值为，图象关于直线x＝－对称
B．图象关于y轴对称
C．最小正周期为π
D．图象关于点成中心对称
【解析】将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，
得到y＝cos－1＝cos(2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x 的图象．
对于函数g(x)，它的最大值为 ，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故A错误；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；
它的最小正周期为＝π，故C正确；
当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点成中心对称，故D正确．
故选BCD.
【填空题】
13. 函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．
【解析】把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象，
与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，
即sin＝sin，
所以－＋φ＝－，则φ＝，
14. 已知函数f(x)＝2sin的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．

【解析】由图象知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
15. 已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则为了得到曲线C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移________个单位长度．(本题所填数字要求为正数)
【解析】∵曲线C1：y＝cos x＝sin
＝sin，
∴先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
再把得到的曲线y＝sin向右至少平移个单位长度．
16. 若f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，且当φ取最小值时，∃x0∈，使得f(x0)＝a，则a的取值范围是________．
【解析】因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)，又φ>0，所以当φ取最小值时，φ＝，f(x)＝2sin.因为x0∈，所以2x0＋∈，所以－ 【解答题】
17. 如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．

【解析】连接MP(图略)．
依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.
当x＝4时，y＝2sin＝3，
所以M(4，3)．又P(8，0)，
所以|MP|＝＝5.
即M，P两点相距5 km.
18. 将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的单调递增区间；
(2)若g＝，求h(α)的值．
【解析】(1)由已知可得g(x)＝sin，
则h(x)＝sin 2x－sin＝sin.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由g＝得sin＝
sin＝，
所以sin＝－，即h(α)＝－.
19. 在①函数f(x)的图象中相邻的最高点与最低点的距离为5，②函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝－1，③函数f(x)的一个对称中心的横坐标为这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线处，并解决问题．
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，且________，点A(2，2)在该函数的图象上，求函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】若选①，设函数f(x)的最小正周期为T，
则 ＝5，得T＝6＝，则ω＝，
因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin＝2，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
则φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝－，所以函数f(x)＝2sin，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，
因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，
所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3)．
若选②，则sin(－ω＋φ)＝±1，得－ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z，
因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin(2ω＋φ)＝2，得2ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，
则φ＝＋，k1，k2∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝－，ω＝＋k2π，k2∈Z，
又0＜ω＜，所以ω＝，
所以函数f(x)＝2sin，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，
因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，
所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3)．
若选③，则2sin＝0，得ω＋φ＝k1π，k1∈Z，
因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin(2ω＋φ)＝2，得2ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，
则φ＝－＋，k1，k2∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝－，ω＝＋k2π，k2∈Z，
又0＜ω＜，所以ω＝，
所以函数f(x)＝2sin，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，
因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，
所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3)．
20. 已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
【解析】(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x
0




π
2x＋


π

2π

f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1

画图如下：

21. 已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值．
【解析】(1)由题意知f(x)＝sin 2ωx＋1＋cos 2ωx
＝2sin＋1，
∵周期T＝π，即＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝2sin＋1，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，
当x∈时，≤2x－≤，
∴当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3.
22. 已知向量m＝，n＝(cos x，cos 2x)，函数f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的最大值及最小正周期；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
【解析】(1) f(x)＝m·n
＝sin xcos x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝sin.
所以函数的最大值为1，最小正周期为
T＝＝＝π.
(2)由(1)得f(x)＝sin.
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到
y＝sin＝sin的图象．
因此g(x)＝sin，
又x∈，
所以2x＋∈，sin∈.
故g(x)在上的值域为.