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2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题26两角和与差的正弦余弦和正切（教师版）
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这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题26两角和与差的正弦余弦和正切（教师版），共16页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。
【考纲要求】
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
【考点预测】
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcs__β±cs__αsin__β.
cs(α∓β)＝cs__αcs__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcs__α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
【常用结论】
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
【方法技巧】
1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
3.常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
二、【题型归类】
【题型一】和差公式的直接应用
【典例1】已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
【解析】因为3cs 2α－8cs α＝5，所以3(2cs2α－1)－8cs α＝5，所以6cs2α－8cs α－8＝0，所以3cs2α－4cs α－4＝0，解得cs α＝2(舍去)或cs α＝－eq \f(2,3)，因为α∈(0，π)，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(5),3).
故选A.
【典例2】已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
【解析】因为sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).
因为tan(π－β)＝eq \f(1,2)＝－tan β，
所以tan β＝－eq \f(1,2)，
则tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝－eq \f(2,11).
故选A.
【典例3】已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))的值．
【解析】(1)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sin eq \f(π,4)cs α＋cs eq \f(π,4)sin α
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))＝cs eq \f(5π,6)cs 2α＋sin eq \f(5π,6)sin 2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－eq \f(4＋3\r(3),10).
【题型二】三角函数公式的逆用与变形应用
【典例1】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
【解析】由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝eq \f(3π,4)，则C＝eq \f(π,4)，cs C＝eq \f(\r(2),2).
故选B.
【典例2】已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】因为sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1 ①，
cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0 ②，
①②两式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
【典例3】已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)
【解析】cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)sin 2α＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
故选D.
【题型三】三角函数公式中变“角”
【典例1】(多选)若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝2eq \r(3)，则( )
A．tan α＝eq \f(\r(3),13) B．tan α＝eq \f(\r(3),7)
C．tan 2α＝eq \f(23\r(3),7) D．tan 2α＝eq \f(7\r(3),23)
【解析】tan α＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)－\f(π,3)))＝
eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－tan \f(π,3),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))tan \f(π,3))＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7)，tan 2α＝eq \f(\f(2\r(3),7),1－\f(3,49))＝eq \f(7\r(3),23).
故选BD.
【典例2】已知α，β都是锐角，cs(α＋β)＝eq \f(5,13)，sin(α－β)＝eq \f(3,5)，则cs 2α＝________．
【解析】因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－eq \f(π,2)<α－β又因为cs(α＋β)＝eq \f(5,13)，sin(α－β)＝eq \f(3,5)，
所以sin(α＋β)＝eq \f(12,13)，cs(α－β)＝eq \f(4,5)，
则cs 2α＝cs[(α＋β)＋(α－β)]＝cs(α＋β)cs(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝eq \f(5,13)×eq \f(4,5)－eq \f(12,13)×eq \f(3,5)＝－eq \f(16,65).
【题型四】三角函数公式中变“名”
【典例1】求值：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)－tan 5°)).
【解析】原式＝eq \f(2cs210°,2×2sin 10°cs 10°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 5°,sin 5°)－\f(sin 5°,cs 5°)))
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs25°－sin25°,sin 5°cs 5°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs 10°,\f(1,2)sin 10°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－2cs 10°＝eq \f(cs 10°－2sin 20°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2sin（30°－10°）,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),2sin 10°)＝eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2).
【典例2】求4sin 20°＋tan 20°的值．
【解析】原式＝4sin 20°＋eq \f(sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(2sin 40°＋sin 20°,cs 20°)＝eq \f(2sin （60°－20°）＋sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(\r(3)cs 20°－sin 20°＋sin 20°,cs 20°)＝eq \r(3).
三、【培优训练】
【训练一】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)求2α－β的值.
【解析】(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
因为S△OAM＝eq \f(1,2)|OA|·|OM|sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin α＝eq \f(2\r(5),5)，又α为锐角，
所以cs α＝eq \f(\r(5),5).
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10)，
所以sin β＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝－eq \f(7\r(2),10)，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)因为sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(3\r(10),10)，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcs(α－β)＋cs αsin(α－β)＝－eq \f(\r(2),2)，
因为α为锐角，sin α＝eq \f(2\r(5),5)＞eq \f(\r(2),2)，
所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
又β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以2α－β＝－eq \f(π,4).
【训练二】已知x，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,8)
【解析】由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得
sin xcs y＋cs xsin y
＝2sin xcs y－2cs xsin y，
则tan x＝3tan y，
所以tan(x－y)＝eq \f(tan x－tan y,1＋tan xtan y)
＝eq \f(2tan y,1＋3tan2y)＝eq \f(2,\f(1,tan y)＋3tan y)≤eq \f(\r(3),3)，
当且仅当tan y＝eq \f(\r(3),3)时等号成立，
由于f(x)＝tan x在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
又x，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则x－y的最大值为eq \f(π,6).
【训练三】已知α－β＝eq \f(π,6)，tan α－tan β＝3，则cs(α＋β)的值为( )
A.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2)
【解析】由tan α－tan β＝3，得eq \f(sin α,cs α)－eq \f(sin β,cs β)＝3，
即eq \f(sin αcs β－cs αsin β,cs αcs β)＝3.
∴sin(α－β)＝3cs αcs β.
又知α－β＝eq \f(π,6)，∴cs αcs β＝eq \f(1,6).
而cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)，
∴sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,6).
∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(1,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,6)))＝eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2).
故选D.
【训练四】已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))，x∈R.
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))的值；
(2)若cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))的值．
【解析】(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2).
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)＋\f(π,12)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2θ－cs 2θ)．
因为cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin θ＝eq \f(3,5)，
所以sin 2θ＝2sin θcs θ＝eq \f(24,25)，
cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝eq \f(7,25)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2θ－cs 2θ)
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,25)－\f(7,25)))＝eq \f(17\r(2),50).
【训练五】已知sin α＋cs α＝eq \f(3\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cs(α＋2β)的值．
【解析】(1)由题意得(sin α＋cs α)2＝eq \f(9,5)，
即1＋sin 2α＝eq \f(9,5)，所以sin 2α＝eq \f(4,5).
又2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs 2α＝ eq \r(1－sin22α)＝eq \f(3,5)，
所以tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(4,3).
(2)因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
于是sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25).
又sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－cs 2β，
所以cs 2β＝－eq \f(24,25)，
又2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin 2β＝eq \f(7,25)，
又cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin α＝eq \f(\r(5),5).
所以cs(α＋2β)＝cs αcs 2β－sin αsin 2β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(7,25)
＝－eq \f(11\r(5),25).
【训练六】设α，β∈[0，π]，且满足sin αcs β－cs αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
【解析】由sin αcs β－cs αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，所以α－β＝eq \f(π,2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π，))即eq \f(π,2)≤α≤π，
所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－α＋\f(π,2)))＋sin(α－2α＋π)
＝cs α＋sin α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))).
因为eq \f(π,2)≤α≤π，所以eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以－1≤eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))≤1，即取值范围为[－1，1]．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)，则tan 2θ＝( )
A．－eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(5),3) C．－eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),2)
【解析】因为sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)＝eq \r(5)cs θ，所以tan θ＝eq \r(5)，所以tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝eq \f(2\r(5),1－（\r(5)）2)＝－eq \f(\r(5),2).
故选C.
2. eq \f(cs 15°＋sin 15°,cs 15°－sin 15°)的值为( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \r(3)
C．－eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3)
【解析】原式＝eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)
＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan(45°＋15°)＝eq \r(3).
故选B.
3. 已知eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs(2π＋θ)，|θ|A.eq \f(8\r(2),9) B.eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(4\r(2),9) D.eq \f(2\r(2),9)
【解析】因为eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs(2π＋θ)，所以eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs θ.
又|θ|所以sin 2θ＝2sin θcs θ＝2×eq \f(1,3)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(4\r(2),9)，
故选C.
4. 若α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则cs β＝( )
A.eq \f(2\r(5),25) B.eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),25)或eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)或eq \f(\r(5),25)
【解析】因为α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)所以eq \f(π,3)<α又sin(α＋β)＝eq \f(3,5)所以eq \f(2π,3)<α＋β<π，所以cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2（α＋β）)＝－eq \f(4,5).
cs β＝cs(α＋β－α)＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝eq \f(2\r(5),25).
故选A.
5. 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(4,5)，则sin 2α＝( )
A．eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)
C．eq \f(7,25) D．－eq \f(7,25)
【解析】法一：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(4,5)，所以sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(7,25).故选C．
法二：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(4,5)，所以eq \f(\r(2),2)(cs α＋sin α)＝eq \f(4,5)，所以cs α＋sin α＝eq \f(4\r(2),5)，平方得1＋sin 2α＝eq \f(32,25)，得sin 2α＝eq \f(7,25).
故选C．
6. 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,4)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )
A．eq \f(\r(3),4) B．－eq \f(\r(3),4)
C．eq \f(1,4) D．±eq \f(\r(3),4)
【解析】因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,4)，
所以cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝
eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \r(3)×eq \f(1,4)＝eq \f(\r(3),4).
故选A．
7. 已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，则lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan α,tan β)))eq \s\up12(2)等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】因为sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，所以sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(1,2)，sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，所以sin αcs β＝eq \f(5,12)，cs αsin β＝eq \f(1,12)，所以eq \f(tan α,tan β)＝5，所以lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan α,tan β)))eq \s\up12(2)＝lgeq \r(5)52＝4.
故选C．
8. 已知α为第二象限角，且tan α＋tan eq \f(π,12)＝2tan αtan eq \f(π,12)－2，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))等于( )
A．－eq \f(\r(10),10) B．eq \f(\r(10),10)
C．－eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(3\r(10),10)
【解析】tan α＋tan eq \f(π,12)＝2tan αtan eq \f(π,12)－2⇒eq \f(tan α＋tan \f(π,12),1－tan αtan \f(π,12))＝－2⇒taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－2，因为α为第二象限角，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(2\r(5),5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－eq \f(\r(5),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))－\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))sin eq \f(π,4)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cs eq \f(π,4)＝－eq \f(3\r(10),10).
故选C.
【多选题】
9. 下面各式中，正确的是( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)cs eq \f(π,4)
B．cs eq \f(5π,12)＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(6),4)
D．cs eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)
【解析】∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋cs eq \f(π,4)sin eq \f(π,3)
＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)cs eq \f(π,4)，∴A正确；
∵cs eq \f(5π,12)＝－cs eq \f(7π,12)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,4)))
＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)，∴B正确；
∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(6),4)，∴C正确；
∵cs eq \f(π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,4)))≠cs eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)，∴D不正确．
故选ABC.
10. 下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cs(－15°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)
B．cs 15°cs 105°＋sin 15°sin 105°＝cs(15°－105°)＝0
C．cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)
D．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝eq \f(1,2)
【解析】对于A 方法一 原式＝cs(30°－45°)＝cs 30°·cs 45°＋sin 30°sin 45°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，A错误．
方法二 原式＝cs 15°＝cs(45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
对于B，原式＝cs(15°－105°)＝cs(－90°)＝cs 90°＝0，B正确．
对于C，原式＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，C正确．
对于D，原式＝cs 76°cs 16°＋sin 76°sin 16°＝cs(76°－16°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，D正确．
故选BCD.
11. 已知函数f(x)＝eq \f(sin 4x＋\r(3)cs 4x,sin 2x－\r(3)cs 2x)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的值域为(－2,2)
D．f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))对称
【解析】∵f(x)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3))),－2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
其中cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≠0，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))≠1，
∴f(x)的值域为(－2,2)；由T＝eq \f(2π,2)＝π，得f(x)的最小正周期为π；令2x＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z)，即f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))对称．
故选ACD.
12. 下列结论正确的是( )
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cs(α－β)cs(γ－β)＝－cs(α－γ)
B．3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝3eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C．f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)的最大值为2
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
【解析】对于A，左边＝－[cs(α－β)cs(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]
＝－cs[(α－β)＋(β－γ)]＝－cs(α－γ)，
故A正确；
对于B，
3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝6eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x＋\f(1,2)cs x))
＝6eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，故B错误；
对于C，f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，
所以f(x)的最大值为eq \r(2)，故C错误；
对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°
＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确．
故选AD.
【填空题】
13. sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝________.
【解析】sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cs(β－γ)－cs(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).
14. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值为________.
【解析】由已知得cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝－eq \f(1,2).
15. tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
【解析】∵tan 25°－tan 70°
＝tan(25°－70°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝－1－tan 25°tan 70°
∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.
16. 已知sin 10°＋mcs 10°＝2cs 140°，则m＝________.
【解析】由题意可得m＝eq \f(2cs 140°－sin 10°,cs 10°)＝eq \f(－2cs 40°－sin 10°,cs 10°)
＝eq \f(－2cs（30°＋10°）－sin 10°,cs 10°)＝eq \f(－\r(3)cs 10°,cs 10°)＝－eq \r(3).
【解答题】
17. 已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝eq \f(1,2)，求tan 2α和sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值．
【解析】因为tan α＝eq \f(1,2)，
所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3).
且eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2)，即cs α＝2sin α.
又sin2α＋cs2α＝1，所以5sin2α＝1.
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs α＝eq \f(2\r(5),5).
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)－cs αsin eq \f(π,4)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(10),10).
18. 已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3).
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cs β的值．
【解析】(1)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以－eq \f(π,2)<α－β又因为tan(α－β)＝－eq \f(1,3)<0，
所以－eq \f(π,2)<α－β<0，
即sin(α－β)＝－eq \f(1,3)cs(α－β)，
又sin2 (α－β)＋cs2(α－β)＝1，
解得cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)可得，cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，
因为α为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，所以cs α＝eq \f(4,5).
所以cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝eq \f(4,5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(9\r(10),50).
19. 已知tan α＝2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；
(2)求eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)的值．
【解析】(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3.
(2)eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)＝
eq \f(2sin αcs α,sin2α＋sin αcs α－2cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α＋tan α－2)＝eq \f(2×2,4＋2－2)＝1.
20. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋π))的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，求cs β的值．
【解析】(1)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得sin α＝－eq \f(4,5)，所以sin(α＋π)＝－sin α＝eq \f(4,5).
(2)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得cs α＝－eq \f(3,5)，
由sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，得cs(α＋β)＝±eq \f(12,13).
由β＝(α＋β)－α得
cs β＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α，
所以cs β＝－eq \f(56,65)或cs β＝eq \f(16,65).
21. 已知A，B均为钝角，且sin A＝eq \f(\r(5),5)，sin B＝eq \f(\r(10),10)，求A＋B的值．
【解析】因为A，B均为钝角，且sin A＝eq \f(\r(5),5)，sin B＝eq \f(\r(10),10)，
所以cs A＝－eq \r(1－sin2A)＝－eq \f(2\r(5),5)，
cs B＝－eq \r(1－sin2B)＝－eq \f(3\r(10),10)，
所以cs(A＋B)＝cs Acs B－sin Asin B＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).又因为eq \f(π,2)22. 已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3).
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cs β的值．
【解析】(1)∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2).
又∵tan(α－β)＝－eq \f(1,3)＜0，
∴－eq \f(π,2)＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)可得，cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10).
∵α为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，∴cs α＝eq \f(4,5).
∴cs β＝cs [α－(α－β)]
＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝eq \f(4,5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(9\r(10),50).
【考纲要求】
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
【考点预测】
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcs__β±cs__αsin__β.
cs(α∓β)＝cs__αcs__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcs__α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
【常用结论】
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
【方法技巧】
1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
3.常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
二、【题型归类】
【题型一】和差公式的直接应用
【典例1】已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
【解析】因为3cs 2α－8cs α＝5，所以3(2cs2α－1)－8cs α＝5，所以6cs2α－8cs α－8＝0，所以3cs2α－4cs α－4＝0，解得cs α＝2(舍去)或cs α＝－eq \f(2,3)，因为α∈(0，π)，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(5),3).
故选A.
【典例2】已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
【解析】因为sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).
因为tan(π－β)＝eq \f(1,2)＝－tan β，
所以tan β＝－eq \f(1,2)，
则tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝－eq \f(2,11).
故选A.
【典例3】已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))的值．
【解析】(1)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sin eq \f(π,4)cs α＋cs eq \f(π,4)sin α
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))＝cs eq \f(5π,6)cs 2α＋sin eq \f(5π,6)sin 2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－eq \f(4＋3\r(3),10).
【题型二】三角函数公式的逆用与变形应用
【典例1】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
【解析】由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝eq \f(3π,4)，则C＝eq \f(π,4)，cs C＝eq \f(\r(2),2).
故选B.
【典例2】已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】因为sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1 ①，
cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0 ②，
①②两式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
【典例3】已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)
【解析】cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)sin 2α＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
故选D.
【题型三】三角函数公式中变“角”
【典例1】(多选)若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝2eq \r(3)，则( )
A．tan α＝eq \f(\r(3),13) B．tan α＝eq \f(\r(3),7)
C．tan 2α＝eq \f(23\r(3),7) D．tan 2α＝eq \f(7\r(3),23)
【解析】tan α＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)－\f(π,3)))＝
eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－tan \f(π,3),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))tan \f(π,3))＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7)，tan 2α＝eq \f(\f(2\r(3),7),1－\f(3,49))＝eq \f(7\r(3),23).
故选BD.
【典例2】已知α，β都是锐角，cs(α＋β)＝eq \f(5,13)，sin(α－β)＝eq \f(3,5)，则cs 2α＝________．
【解析】因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－eq \f(π,2)<α－β
所以sin(α＋β)＝eq \f(12,13)，cs(α－β)＝eq \f(4,5)，
则cs 2α＝cs[(α＋β)＋(α－β)]＝cs(α＋β)cs(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝eq \f(5,13)×eq \f(4,5)－eq \f(12,13)×eq \f(3,5)＝－eq \f(16,65).
【题型四】三角函数公式中变“名”
【典例1】求值：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)－tan 5°)).
【解析】原式＝eq \f(2cs210°,2×2sin 10°cs 10°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 5°,sin 5°)－\f(sin 5°,cs 5°)))
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs25°－sin25°,sin 5°cs 5°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs 10°,\f(1,2)sin 10°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－2cs 10°＝eq \f(cs 10°－2sin 20°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2sin（30°－10°）,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),2sin 10°)＝eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2).
【典例2】求4sin 20°＋tan 20°的值．
【解析】原式＝4sin 20°＋eq \f(sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(2sin 40°＋sin 20°,cs 20°)＝eq \f(2sin （60°－20°）＋sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(\r(3)cs 20°－sin 20°＋sin 20°,cs 20°)＝eq \r(3).
三、【培优训练】
【训练一】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)求2α－β的值.
【解析】(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
因为S△OAM＝eq \f(1,2)|OA|·|OM|sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin α＝eq \f(2\r(5),5)，又α为锐角，
所以cs α＝eq \f(\r(5),5).
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10)，
所以sin β＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝－eq \f(7\r(2),10)，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)因为sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(3\r(10),10)，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcs(α－β)＋cs αsin(α－β)＝－eq \f(\r(2),2)，
因为α为锐角，sin α＝eq \f(2\r(5),5)＞eq \f(\r(2),2)，
所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
又β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以2α－β＝－eq \f(π,4).
【训练二】已知x，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,8)
【解析】由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得
sin xcs y＋cs xsin y
＝2sin xcs y－2cs xsin y，
则tan x＝3tan y，
所以tan(x－y)＝eq \f(tan x－tan y,1＋tan xtan y)
＝eq \f(2tan y,1＋3tan2y)＝eq \f(2,\f(1,tan y)＋3tan y)≤eq \f(\r(3),3)，
当且仅当tan y＝eq \f(\r(3),3)时等号成立，
由于f(x)＝tan x在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
又x，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则x－y的最大值为eq \f(π,6).
【训练三】已知α－β＝eq \f(π,6)，tan α－tan β＝3，则cs(α＋β)的值为( )
A.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2)
【解析】由tan α－tan β＝3，得eq \f(sin α,cs α)－eq \f(sin β,cs β)＝3，
即eq \f(sin αcs β－cs αsin β,cs αcs β)＝3.
∴sin(α－β)＝3cs αcs β.
又知α－β＝eq \f(π,6)，∴cs αcs β＝eq \f(1,6).
而cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)，
∴sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,6).
∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(1,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,6)))＝eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2).
故选D.
【训练四】已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))，x∈R.
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))的值；
(2)若cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))的值．
【解析】(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2).
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)＋\f(π,12)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2θ－cs 2θ)．
因为cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin θ＝eq \f(3,5)，
所以sin 2θ＝2sin θcs θ＝eq \f(24,25)，
cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝eq \f(7,25)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2θ－cs 2θ)
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,25)－\f(7,25)))＝eq \f(17\r(2),50).
【训练五】已知sin α＋cs α＝eq \f(3\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cs(α＋2β)的值．
【解析】(1)由题意得(sin α＋cs α)2＝eq \f(9,5)，
即1＋sin 2α＝eq \f(9,5)，所以sin 2α＝eq \f(4,5).
又2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs 2α＝ eq \r(1－sin22α)＝eq \f(3,5)，
所以tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(4,3).
(2)因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
于是sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25).
又sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－cs 2β，
所以cs 2β＝－eq \f(24,25)，
又2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin 2β＝eq \f(7,25)，
又cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin α＝eq \f(\r(5),5).
所以cs(α＋2β)＝cs αcs 2β－sin αsin 2β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(7,25)
＝－eq \f(11\r(5),25).
【训练六】设α，β∈[0，π]，且满足sin αcs β－cs αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
【解析】由sin αcs β－cs αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，所以α－β＝eq \f(π,2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π，))即eq \f(π,2)≤α≤π，
所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－α＋\f(π,2)))＋sin(α－2α＋π)
＝cs α＋sin α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))).
因为eq \f(π,2)≤α≤π，所以eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以－1≤eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))≤1，即取值范围为[－1，1]．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)，则tan 2θ＝( )
A．－eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(5),3) C．－eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),2)
【解析】因为sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)＝eq \r(5)cs θ，所以tan θ＝eq \r(5)，所以tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝eq \f(2\r(5),1－（\r(5)）2)＝－eq \f(\r(5),2).
故选C.
2. eq \f(cs 15°＋sin 15°,cs 15°－sin 15°)的值为( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \r(3)
C．－eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3)
【解析】原式＝eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)
＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan(45°＋15°)＝eq \r(3).
故选B.
3. 已知eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs(2π＋θ)，|θ|
C.eq \f(4\r(2),9) D.eq \f(2\r(2),9)
【解析】因为eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs(2π＋θ)，所以eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs θ.
又|θ|
故选C.
4. 若α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则cs β＝( )
A.eq \f(2\r(5),25) B.eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),25)或eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)或eq \f(\r(5),25)
【解析】因为α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)
cs β＝cs(α＋β－α)＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝eq \f(2\r(5),25).
故选A.
5. 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(4,5)，则sin 2α＝( )
A．eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)
C．eq \f(7,25) D．－eq \f(7,25)
【解析】法一：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(4,5)，所以sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(7,25).故选C．
法二：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(4,5)，所以eq \f(\r(2),2)(cs α＋sin α)＝eq \f(4,5)，所以cs α＋sin α＝eq \f(4\r(2),5)，平方得1＋sin 2α＝eq \f(32,25)，得sin 2α＝eq \f(7,25).
故选C．
6. 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,4)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )
A．eq \f(\r(3),4) B．－eq \f(\r(3),4)
C．eq \f(1,4) D．±eq \f(\r(3),4)
【解析】因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,4)，
所以cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝
eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \r(3)×eq \f(1,4)＝eq \f(\r(3),4).
故选A．
7. 已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，则lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan α,tan β)))eq \s\up12(2)等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】因为sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，所以sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(1,2)，sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，所以sin αcs β＝eq \f(5,12)，cs αsin β＝eq \f(1,12)，所以eq \f(tan α,tan β)＝5，所以lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan α,tan β)))eq \s\up12(2)＝lgeq \r(5)52＝4.
故选C．
8. 已知α为第二象限角，且tan α＋tan eq \f(π,12)＝2tan αtan eq \f(π,12)－2，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))等于( )
A．－eq \f(\r(10),10) B．eq \f(\r(10),10)
C．－eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(3\r(10),10)
【解析】tan α＋tan eq \f(π,12)＝2tan αtan eq \f(π,12)－2⇒eq \f(tan α＋tan \f(π,12),1－tan αtan \f(π,12))＝－2⇒taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－2，因为α为第二象限角，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(2\r(5),5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－eq \f(\r(5),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))－\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))sin eq \f(π,4)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cs eq \f(π,4)＝－eq \f(3\r(10),10).
故选C.
【多选题】
9. 下面各式中，正确的是( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)cs eq \f(π,4)
B．cs eq \f(5π,12)＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(6),4)
D．cs eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)
【解析】∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋cs eq \f(π,4)sin eq \f(π,3)
＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)cs eq \f(π,4)，∴A正确；
∵cs eq \f(5π,12)＝－cs eq \f(7π,12)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,4)))
＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)，∴B正确；
∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(6),4)，∴C正确；
∵cs eq \f(π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,4)))≠cs eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)，∴D不正确．
故选ABC.
10. 下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cs(－15°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)
B．cs 15°cs 105°＋sin 15°sin 105°＝cs(15°－105°)＝0
C．cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)
D．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝eq \f(1,2)
【解析】对于A 方法一 原式＝cs(30°－45°)＝cs 30°·cs 45°＋sin 30°sin 45°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，A错误．
方法二 原式＝cs 15°＝cs(45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
对于B，原式＝cs(15°－105°)＝cs(－90°)＝cs 90°＝0，B正确．
对于C，原式＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，C正确．
对于D，原式＝cs 76°cs 16°＋sin 76°sin 16°＝cs(76°－16°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，D正确．
故选BCD.
11. 已知函数f(x)＝eq \f(sin 4x＋\r(3)cs 4x,sin 2x－\r(3)cs 2x)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的值域为(－2,2)
D．f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))对称
【解析】∵f(x)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3))),－2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
其中cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≠0，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))≠1，
∴f(x)的值域为(－2,2)；由T＝eq \f(2π,2)＝π，得f(x)的最小正周期为π；令2x＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z)，即f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))对称．
故选ACD.
12. 下列结论正确的是( )
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cs(α－β)cs(γ－β)＝－cs(α－γ)
B．3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝3eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C．f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)的最大值为2
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
【解析】对于A，左边＝－[cs(α－β)cs(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]
＝－cs[(α－β)＋(β－γ)]＝－cs(α－γ)，
故A正确；
对于B，
3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝6eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x＋\f(1,2)cs x))
＝6eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，故B错误；
对于C，f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，
所以f(x)的最大值为eq \r(2)，故C错误；
对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°
＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确．
故选AD.
【填空题】
13. sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝________.
【解析】sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cs(β－γ)－cs(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).
14. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值为________.
【解析】由已知得cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝－eq \f(1,2).
15. tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
【解析】∵tan 25°－tan 70°
＝tan(25°－70°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝－1－tan 25°tan 70°
∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.
16. 已知sin 10°＋mcs 10°＝2cs 140°，则m＝________.
【解析】由题意可得m＝eq \f(2cs 140°－sin 10°,cs 10°)＝eq \f(－2cs 40°－sin 10°,cs 10°)
＝eq \f(－2cs（30°＋10°）－sin 10°,cs 10°)＝eq \f(－\r(3)cs 10°,cs 10°)＝－eq \r(3).
【解答题】
17. 已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝eq \f(1,2)，求tan 2α和sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值．
【解析】因为tan α＝eq \f(1,2)，
所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3).
且eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2)，即cs α＝2sin α.
又sin2α＋cs2α＝1，所以5sin2α＝1.
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs α＝eq \f(2\r(5),5).
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)－cs αsin eq \f(π,4)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(10),10).
18. 已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3).
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cs β的值．
【解析】(1)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以－eq \f(π,2)<α－β
所以－eq \f(π,2)<α－β<0，
即sin(α－β)＝－eq \f(1,3)cs(α－β)，
又sin2 (α－β)＋cs2(α－β)＝1，
解得cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)可得，cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，
因为α为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，所以cs α＝eq \f(4,5).
所以cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝eq \f(4,5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(9\r(10),50).
19. 已知tan α＝2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；
(2)求eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)的值．
【解析】(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3.
(2)eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)＝
eq \f(2sin αcs α,sin2α＋sin αcs α－2cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α＋tan α－2)＝eq \f(2×2,4＋2－2)＝1.
20. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋π))的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，求cs β的值．
【解析】(1)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得sin α＝－eq \f(4,5)，所以sin(α＋π)＝－sin α＝eq \f(4,5).
(2)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得cs α＝－eq \f(3,5)，
由sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，得cs(α＋β)＝±eq \f(12,13).
由β＝(α＋β)－α得
cs β＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α，
所以cs β＝－eq \f(56,65)或cs β＝eq \f(16,65).
21. 已知A，B均为钝角，且sin A＝eq \f(\r(5),5)，sin B＝eq \f(\r(10),10)，求A＋B的值．
【解析】因为A，B均为钝角，且sin A＝eq \f(\r(5),5)，sin B＝eq \f(\r(10),10)，
所以cs A＝－eq \r(1－sin2A)＝－eq \f(2\r(5),5)，
cs B＝－eq \r(1－sin2B)＝－eq \f(3\r(10),10)，
所以cs(A＋B)＝cs Acs B－sin Asin B＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).又因为eq \f(π,2)
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cs β的值．
【解析】(1)∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2).
又∵tan(α－β)＝－eq \f(1,3)＜0，
∴－eq \f(π,2)＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)可得，cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10).
∵α为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，∴cs α＝eq \f(4,5).
∴cs β＝cs [α－(α－β)]
＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝eq \f(4,5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(9\r(10),50).
