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2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题01集合（Word版附解析）
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这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题01集合（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。
专题01集合
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：集合的含义与表示
题型二：集合的基本关系
题型三：集合的运算
题型四：利用集合的运算求参数
题型五：Venn图及其应用
题型六：集合的新定义问题
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.
5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
【考点预测】
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
【常用结论】
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
【方法技巧】
1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
3.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
4.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
5.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
6.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
二、【题型归类】
【题型一】集合的含义与表示
【典例1】已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．故选C.
【典例2】若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
【解析】①当a－3＝－3时，a＝0，
此时A＝{－3，－1，－4}，
②当2a－1＝－3时，a＝－1，
此时A＝{－4，－3，－3}舍去，
③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，
综上，a＝0或1.
【典例3】已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】∵∈Z，
∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，
∴x的值分别为－2,0,1,3,4,6，
又x∈N，故x的值为0,1,3,4,6.
故集合A中有5个元素．故选C.
【题型二】集合的基本关系
【典例1】已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB B．BA
C．A⊆B D．B＝A
【解析】由题意知A＝{x|y＝，x∈R}，
所以A＝{x|－1≤x≤1}．
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，
所以BA，故选B.
【典例2】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．故选D.
【典例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【解析】因为B⊆A，
所以①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.
②若B≠∅，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．
【题型三】集合的运算
【典例1】(多选)已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则下列说法正确的是( )
A．P∪Q＝R
B．P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}
C．P∩Q＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}
D．P∩Q的真子集有3个
【解析】联立
解得或
∴P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}，
故B正确，C错误；
又P，Q为点集，∴A错误；
又P∩Q有两个元素，∴P∩Q有3个真子集，
∴D正确．
故选BD.
【典例2】集合M＝，N＝，则两集合M，N的关系为( )
A．M∩N＝∅ B．M＝N
C．M⊆N D．N⊆M
【解析】由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，∴N⊆M，故选D.
【典例3】已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－
C．B⊆A D．A∪B＝R
【解析】∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.故选D.
【题型四】利用集合的运算求参数
【典例1】已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x
【典例2】已知集合A＝{x|x
【解析】集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1
可知a≥2.
【典例3】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．
(1)若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A＝B，求实数m的取值范围；
(3)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A⊆B，求实数m的取值范围．
【解析】由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，
(1)若B⊆A，则
①当B＝∅，有m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B⊆A；
②当B≠∅，有 解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A＝B，则必有 解得m∈∅，即不存在实数m使得A＝B.
(3)若A⊆B，则
解得3≤m≤4.∴m的取值范围为[3，4]．
【题型五】Venn图及其应用
【典例1】设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－(M－P)等于( )
A．P B．M∩P C．M∪P D．M
【解析】作出Venn图．当M∩P≠∅时，由图知，M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P.当M∩P＝∅时，M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选B.
【典例2】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．
【解析】B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，该集合为{－1，4}．故填{－1，4}．
【典例3】已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则右图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1} B．{0}
C．{－1，0} D．{－1，0，1}
【解析】阴影部分对应的集合为A∩∁RB，B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，则∁RB＝{x|－1
【典例1】定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝－1，k∈A}，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B．
【典例2】如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
【解析】由题意可知－2x＝x2＋x，
所以x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，
所以A∩B＝{0，6}．
【典例3】设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0
结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．
答案：{0}∪[2，＋∞)
三、【培优训练】
【训练一】设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.
【解析】符合题意的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.
【训练二】若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________.
【解析】不妨令A＝{1，2，3}，∵A1∪A2＝A，
∴当A1＝∅时，A2＝{1，2，3}，
当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，
同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，
当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，
同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种，
当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8种，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆.
【训练三】对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___________人．
【解析】赞成A的人数为40×＝24，
赞成B的人数为24＋3＝27，
设对A，B都赞成的学生有x人，
则x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，
解得x＝18.
【训练四】已知集合A＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)<0}，B＝.
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)求使B⊆A时实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝2时，A＝{x|x2－9x＋14<0}＝(2，7)，
B＝＝(4，5)，∴A∩B＝(4，5)．
(2)当a≠1时，B＝(2a，a2＋1)；当a＝1时，B＝∅.
又A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]<0}，
①当3a＋1<2，即a<时，A＝(3a＋1，2)，要使B⊆A成立，只须满足 解得a＝－1；
②当a＝时，A＝∅，B＝，B⊆A不成立；
③当3a＋1>2，即a>时，
A＝(2，3a＋1)，要使B⊆A成立，
只须满足 解得1≤a≤3.
综上可知，使B⊆A的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}．
【训练五】已知集合A＝x,yx24+y22=1，B＝{(x，y)|y＝kx＋m，k∈R，m∈R}，若对任意实数k，A∩B≠∅，则实数m的取值范围是____________．
【解析】由已知，无论k取何值，椭圆＋＝1和直线y＝kx＋m均有交点，故点(0，m)在椭圆＋＝1上或在其内部，∴m2≤2，∴－≤m≤.
【训练六】(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是( )
A.M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割
B.M没有最大元素，N有一个最小元素
C.M有一个最大元素，N有一个最小元素
D.M没有最大元素，N也没有最小元素
【解析】对于A，因为M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；
对于B，设M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；
对于D，设M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若集合A＝{x∈N|(x－3)(x－2)＜6}，则A中的元素个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】A＝{x∈N|x2－5x＜0}＝{x∈N|0＜x＜5}＝{1，2，3，4}.共4个元素.故选B.
2. 已知集合A＝{x|－1
A.{0} B.{0，1，3，5}
C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}
【解析】∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，∴A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}.故选C.
4. 已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
【解析】由题意知，x－y＝0，－1，－2，1，2.故B中元素个数为5，故选C.
5. 设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－1
A．3 B．4 C．7 D．8
【解析】A＝{x∈N|y＝}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C.
6. 已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2
C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}
【解析】由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(∁UA)∩B＝{3,5}．故选A.
7. 已知集合A＝{x|－1
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【解析】用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.故选B.
8. 给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】①(－4)＋(－2)＝－6∉A，不正确；
②设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，正确；
③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，不正确．故选B.
【多选题】
9. 已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是( )
A.A∩B＝∅
B.A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C.A∪∁RB＝{x|x≤－1或x＞2}
D.A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}
【解析】∵A＝{x|－1＜x≤3}，
B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|－1＜x≤2}，A错误；
A∪B＝{x|－2≤x≤3}，B正确；
∵∁RB＝{x|x＜－2或x＞2}，
∴A∪∁RB＝{x|x＜－2或x＞－1}，C错误；
A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}，D正确.
故选BD.
10. 已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为( )
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
【解析】由log2x<3得0
因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，
则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；
对于A选项，若B＝{2,3,4}，
则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，
矛盾，A不正确；
对于B选项，若B＝{3,4,5}，
则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，
B正确；
对于D选项，若B＝{3,5,6}，
则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，
D正确．
11. 已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是( )
A．A∩B＝∅ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．(∁UB)∪A＝A
【解析】令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，
满足(∁UA)∪B＝B，
但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；
由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B，
∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，
由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，
∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确．
12. 若集合A＝{x|sin 2x＝1}，B＝，则下列结论正确的是( )
A.A∪B＝B B.∁RB⊆∁RA
C.A∩B＝∅ D.∁RA⊆∁RB
【解析】A＝{x|sin 2x＝1}
＝
＝，
B＝
＝，
显然集合
⊆，
所以A⊆B，则A∪B＝B成立，所以A正确.
∁RB⊆∁RA成立，所以B正确，D错误.
A∩B＝A，所以C错误.
故选AB.
【填空题】
13. 若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁UB)＝__________.
【解析】集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，
∵log3(2－x)≤1＝log33，∴0<2－x≤3，
∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，
∴∁UB＝{x|x<－1或x≥2}，
∴A∩(∁UB)＝{x|x<－1或x≥2}．
14. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为
【解析】题意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}.
15. 若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【解析】①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2，符合题意；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
16. 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为
【解析】由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为CC＝9.
【解答题】
17. 已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}且B⊆A，求a 的值．
【解析】∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足B⊆A，
当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足B⊆A.
②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，
当a＝1时，A＝{1,3,1}不满足集合元素的互异性．
综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2.
18. 已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
【解析】由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
(1)∵A∩B＝[0,3]，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
∴∴m＝2.
(2)∁RB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}，
∵A⊆∁RB，
∴m－2＞3或m＋2＜－1，
即m＞5或m＜－3.
因此实数m的取值范围是{m|m＞5或m＜－3}．
19. 已知函数f(x)＝的定义域集合是A，函数g(x)＝lg[(x－a)(x－a－1)]的定义域集合是B.
(1)求集合A、B；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由x2－x－2≥0⇔x≤－1或x≥2，
所以A＝{x|x≤－1或x≥2}．
由(x－a)(x－a－1)＞0得x＜a或x＞a＋1，所以B＝{x|x＜a或x＞a＋1}．
(2)由A∩B＝A知A⊆B，得
所以－1＜a＜1，
所以实数a的取值范围是(－1,1)
20. 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}，当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
【解析】当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋2x2＋4x3，xi∈M，i＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
21. 设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a＜0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
【解析】(1)A＝，
当a＝－4时，B＝{x|－2＜x＜2}，
A∩B＝，A∪B＝{x|－2＜x≤3}．
(2)∁RA＝，
当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA，即A∩B＝∅.
①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；
②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|－＜x＜}，
要使B⊆∁RA，只须≤，解得－≤a＜0.
综上可得，实数a的取值范围是.
22. 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
【解析】易知A＝{0，－4}，若B⊆A，则可分以下三种情况：
①当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1；
②当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程
x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，
得解得a＝1.
综上所述，a的取值范围为.
专题01集合
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：集合的含义与表示
题型二：集合的基本关系
题型三：集合的运算
题型四：利用集合的运算求参数
题型五：Venn图及其应用
题型六：集合的新定义问题
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.
5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
【考点预测】
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
【常用结论】
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
【方法技巧】
1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
3.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
4.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
5.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
6.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
二、【题型归类】
【题型一】集合的含义与表示
【典例1】已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．故选C.
【典例2】若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
【解析】①当a－3＝－3时，a＝0，
此时A＝{－3，－1，－4}，
②当2a－1＝－3时，a＝－1，
此时A＝{－4，－3，－3}舍去，
③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，
综上，a＝0或1.
【典例3】已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】∵∈Z，
∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，
∴x的值分别为－2,0,1,3,4,6，
又x∈N，故x的值为0,1,3,4,6.
故集合A中有5个元素．故选C.
【题型二】集合的基本关系
【典例1】已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB B．BA
C．A⊆B D．B＝A
【解析】由题意知A＝{x|y＝，x∈R}，
所以A＝{x|－1≤x≤1}．
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，
所以BA，故选B.
【典例2】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．故选D.
【典例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【解析】因为B⊆A，
所以①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.
②若B≠∅，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．
【题型三】集合的运算
【典例1】(多选)已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则下列说法正确的是( )
A．P∪Q＝R
B．P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}
C．P∩Q＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}
D．P∩Q的真子集有3个
【解析】联立
解得或
∴P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}，
故B正确，C错误；
又P，Q为点集，∴A错误；
又P∩Q有两个元素，∴P∩Q有3个真子集，
∴D正确．
故选BD.
【典例2】集合M＝，N＝，则两集合M，N的关系为( )
A．M∩N＝∅ B．M＝N
C．M⊆N D．N⊆M
【解析】由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，∴N⊆M，故选D.
【典例3】已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－
C．B⊆A D．A∪B＝R
【解析】∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.故选D.
【题型四】利用集合的运算求参数
【典例1】已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x
【典例2】已知集合A＝{x|x
【解析】集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1
可知a≥2.
【典例3】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．
(1)若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A＝B，求实数m的取值范围；
(3)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A⊆B，求实数m的取值范围．
【解析】由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，
(1)若B⊆A，则
①当B＝∅，有m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B⊆A；
②当B≠∅，有 解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A＝B，则必有 解得m∈∅，即不存在实数m使得A＝B.
(3)若A⊆B，则
解得3≤m≤4.∴m的取值范围为[3，4]．
【题型五】Venn图及其应用
【典例1】设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－(M－P)等于( )
A．P B．M∩P C．M∪P D．M
【解析】作出Venn图．当M∩P≠∅时，由图知，M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P.当M∩P＝∅时，M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选B.
【典例2】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．
【解析】B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，该集合为{－1，4}．故填{－1，4}．
【典例3】已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则右图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1} B．{0}
C．{－1，0} D．{－1，0，1}
【解析】阴影部分对应的集合为A∩∁RB，B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，则∁RB＝{x|－1
【典例1】定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝－1，k∈A}，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B．
【典例2】如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
【解析】由题意可知－2x＝x2＋x，
所以x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，
所以A∩B＝{0，6}．
【典例3】设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0
结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．
答案：{0}∪[2，＋∞)
三、【培优训练】
【训练一】设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.
【解析】符合题意的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.
【训练二】若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________.
【解析】不妨令A＝{1，2，3}，∵A1∪A2＝A，
∴当A1＝∅时，A2＝{1，2，3}，
当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，
同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，
当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，
同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种，
当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8种，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆.
【训练三】对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___________人．
【解析】赞成A的人数为40×＝24，
赞成B的人数为24＋3＝27，
设对A，B都赞成的学生有x人，
则x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，
解得x＝18.
【训练四】已知集合A＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)<0}，B＝.
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)求使B⊆A时实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝2时，A＝{x|x2－9x＋14<0}＝(2，7)，
B＝＝(4，5)，∴A∩B＝(4，5)．
(2)当a≠1时，B＝(2a，a2＋1)；当a＝1时，B＝∅.
又A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]<0}，
①当3a＋1<2，即a<时，A＝(3a＋1，2)，要使B⊆A成立，只须满足 解得a＝－1；
②当a＝时，A＝∅，B＝，B⊆A不成立；
③当3a＋1>2，即a>时，
A＝(2，3a＋1)，要使B⊆A成立，
只须满足 解得1≤a≤3.
综上可知，使B⊆A的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}．
【训练五】已知集合A＝x,yx24+y22=1，B＝{(x，y)|y＝kx＋m，k∈R，m∈R}，若对任意实数k，A∩B≠∅，则实数m的取值范围是____________．
【解析】由已知，无论k取何值，椭圆＋＝1和直线y＝kx＋m均有交点，故点(0，m)在椭圆＋＝1上或在其内部，∴m2≤2，∴－≤m≤.
【训练六】(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是( )
A.M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割
B.M没有最大元素，N有一个最小元素
C.M有一个最大元素，N有一个最小元素
D.M没有最大元素，N也没有最小元素
【解析】对于A，因为M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；
对于B，设M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；
对于D，设M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若集合A＝{x∈N|(x－3)(x－2)＜6}，则A中的元素个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】A＝{x∈N|x2－5x＜0}＝{x∈N|0＜x＜5}＝{1，2，3，4}.共4个元素.故选B.
2. 已知集合A＝{x|－1
A.{0} B.{0，1，3，5}
C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}
【解析】∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，∴A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}.故选C.
4. 已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
【解析】由题意知，x－y＝0，－1，－2，1，2.故B中元素个数为5，故选C.
5. 设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－1
A．3 B．4 C．7 D．8
【解析】A＝{x∈N|y＝}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C.
6. 已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2
C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}
【解析】由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(∁UA)∩B＝{3,5}．故选A.
7. 已知集合A＝{x|－1
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【解析】用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.故选B.
8. 给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】①(－4)＋(－2)＝－6∉A，不正确；
②设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，正确；
③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，不正确．故选B.
【多选题】
9. 已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是( )
A.A∩B＝∅
B.A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C.A∪∁RB＝{x|x≤－1或x＞2}
D.A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}
【解析】∵A＝{x|－1＜x≤3}，
B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|－1＜x≤2}，A错误；
A∪B＝{x|－2≤x≤3}，B正确；
∵∁RB＝{x|x＜－2或x＞2}，
∴A∪∁RB＝{x|x＜－2或x＞－1}，C错误；
A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}，D正确.
故选BD.
10. 已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为( )
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
【解析】由log2x<3得0
因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，
则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；
对于A选项，若B＝{2,3,4}，
则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，
矛盾，A不正确；
对于B选项，若B＝{3,4,5}，
则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，
B正确；
对于D选项，若B＝{3,5,6}，
则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，
D正确．
11. 已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是( )
A．A∩B＝∅ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．(∁UB)∪A＝A
【解析】令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，
满足(∁UA)∪B＝B，
但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；
由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B，
∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，
由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，
∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确．
12. 若集合A＝{x|sin 2x＝1}，B＝，则下列结论正确的是( )
A.A∪B＝B B.∁RB⊆∁RA
C.A∩B＝∅ D.∁RA⊆∁RB
【解析】A＝{x|sin 2x＝1}
＝
＝，
B＝
＝，
显然集合
⊆，
所以A⊆B，则A∪B＝B成立，所以A正确.
∁RB⊆∁RA成立，所以B正确，D错误.
A∩B＝A，所以C错误.
故选AB.
【填空题】
13. 若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁UB)＝__________.
【解析】集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，
∵log3(2－x)≤1＝log33，∴0<2－x≤3，
∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，
∴∁UB＝{x|x<－1或x≥2}，
∴A∩(∁UB)＝{x|x<－1或x≥2}．
14. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为
【解析】题意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}.
15. 若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【解析】①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2，符合题意；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
16. 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为
【解析】由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为CC＝9.
【解答题】
17. 已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}且B⊆A，求a 的值．
【解析】∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足B⊆A，
当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足B⊆A.
②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，
当a＝1时，A＝{1,3,1}不满足集合元素的互异性．
综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2.
18. 已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
【解析】由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
(1)∵A∩B＝[0,3]，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
∴∴m＝2.
(2)∁RB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}，
∵A⊆∁RB，
∴m－2＞3或m＋2＜－1，
即m＞5或m＜－3.
因此实数m的取值范围是{m|m＞5或m＜－3}．
19. 已知函数f(x)＝的定义域集合是A，函数g(x)＝lg[(x－a)(x－a－1)]的定义域集合是B.
(1)求集合A、B；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由x2－x－2≥0⇔x≤－1或x≥2，
所以A＝{x|x≤－1或x≥2}．
由(x－a)(x－a－1)＞0得x＜a或x＞a＋1，所以B＝{x|x＜a或x＞a＋1}．
(2)由A∩B＝A知A⊆B，得
所以－1＜a＜1，
所以实数a的取值范围是(－1,1)
20. 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}，当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
【解析】当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋2x2＋4x3，xi∈M，i＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
21. 设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a＜0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
【解析】(1)A＝，
当a＝－4时，B＝{x|－2＜x＜2}，
A∩B＝，A∪B＝{x|－2＜x≤3}．
(2)∁RA＝，
当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA，即A∩B＝∅.
①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；
②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|－＜x＜}，
要使B⊆∁RA，只须≤，解得－≤a＜0.
综上可得，实数a的取值范围是.
22. 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
【解析】易知A＝{0，－4}，若B⊆A，则可分以下三种情况：
①当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1；
②当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程
x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，
得解得a＝1.
综上所述，a的取值范围为.
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