九年级上册数学第22章 二次函数专题09 二次函数与铅垂法求面积

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专题09 二次函数与铅垂法求面积
解题点拨
求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．
【方法总结】
作以下定义：
A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．
如图可得：

【解题步骤】
（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；
（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；
（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；
（4）根据C、D坐标求得铅垂高；
（5）利用公式求得三角形面积．
直击中考
1．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．

(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
(2)在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
【答案】(1)①A（2，0），B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②△PAB的面积的最大值是3，点P（1，1）；
(2)①或；
②13

【分析】对于（1），先求出点A，B的坐标，再将抛物线关系式配方表示出点D的坐标，令
x=0，表示出点C的坐标，然后将m的值代入即可得出①的答案；对于②，先求出直线和抛物线的解析式，再作轴，设点P的横坐标为t，即可表示出点P，E的坐标，然后表示出PE，进而根据三角形的面积公式表示△PAB的面积，再配方讨论极值即可；
对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论，求出①的答案即可；对于②，根据①中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可．
【详解】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵，
∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．
令x=0，则，
∴．
①当m=2时，-2m=-4，则，
∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，
如图，过点P作轴交直线AB于点E．

设点P的横坐标为t，
∴，，
∴，
∴△PAB的面积=，
∵-1＜0，
∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）；
（2）由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y轴上有一点，点C在线段MB上，
∴需分两种情况讨论：
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的取值范围是或；
②当时，
∵，
∴当m=1时，BC的最大值为3；
当时，
∴，
当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，
∴BC的最大值是13．
【点睛】这是一道关于一次函数和二次函数的综合问题，考查了求函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与三角形的综合，根据二次函数关系式求极值等．
2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3
(2)P点坐标为（，）
(3)h的取值范围为3≤h≤4
(4)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，）

【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
（1）
解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴ ，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）
如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，
3＝3k，
解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
PG•AE
3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）
（m）2，
∵0，
∴当m时，△OPE面积最大，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P点坐标为（，）；
（3）
由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，

∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；
（4）
设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m或，
∵m＞2，不合题意，舍去，
∴m，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1或m2，
∵＞2，不合题意，舍去，
∴m＝，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m1或m2；
∵＜2，不合题意，舍去，
∴m＝，
此时m2﹣4m+3＝，
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，
  
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键．
3．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4
(2)S最大＝，D（﹣，5）
(3)存在，Q（﹣2，）

【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，

作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质
4．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．

(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（-2，-4）
(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，

【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；
（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；
（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，．
【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：．
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4,0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4,0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．（2022·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．

(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，P点的坐标为
(3)存在，，；，；，

【分析】（1）根据已知条件，列出方程组求出a，b，c的值即可；
（2）方法一：设，四边形PABC的面积，用m表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
方法二：易知，，故直线AC的方程为，设，表示出PQ，并用x表示出△APC的面积，再表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
（3）根据题目要求，分类讨论当当N在y轴上时；当N在x轴负半轴上时，设，用t表示出点P的坐标，解出t，写出点P及其对应点N的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，对称轴为直线，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：方法一：连接OP，

设，易知，，
∵，，
∴四边形PABC的面积，
∴

又∵，
∴
∴当时，，
∴此时P点的坐标为；
方法二：易知，，故直线AC的方程为

设，
∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，
∴，
∵点P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四边形PABC面积，
∴当时，S有最大值，
∴此时P点的坐标为．
（3）存在点N．
①当N在y轴上时，

∵四边形PMCN为矩形，
此时，，；
②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，

∴，
∵四边形PMCN为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，

∴，
∵四边形PMCN为矩形时，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得（舍），，
∴，，
综上：，；，；，
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数、二次函数综合问题，矩形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
6．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．

(1)请直接写出点，，的坐标；
(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
(3)点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)，面积的最大值；
(3)存在，或或．

【分析】（1）令得到，求出x即可求得点A和点B的坐标，令，则即可求点C的坐标；
（2）过P作轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解；
（3）根据点是抛物线上的动点，作//交轴于点得到，设，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解．
【详解】（1）解：令，
则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：过P作轴交BC于Q，如下图．

设直线BC为，将、代入得
，
解得，
∴直线BC为，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，
∵，
∴ ，，
∴，
∵，
∴时，PQ最大为，
而，
∴的面积最大为；
（3）解：存在．
∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图．

∴，设．
当点F在x轴下方时，
∵，
即，
∴，
解得（舍去），，
∴．
当点F在x轴的上方时，令，
则 ，
解得，，
∴或．
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等．
7．（2022·四川广元·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
　　
(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【答案】(1)2a=b+1，c=-2；
(2)△PAB的周长最小值是2+2；
(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为．

【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；
（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．
（1）
解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴，
∴2a=b+1，c=-2；
（2）
解：当a=时，则b=-，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，

△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周长最小值是：2+2．
（3）
解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，

∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），　
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
8．（2019·广西贺州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过三点．
（1）求两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

【答案】（1）A（4，0）,C（0，﹣4）；（2） ；（3）PD的最大值为，此时点P（2，﹣6）．
【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；
（2）抛物线的表达式为： ，即可求解；
（3），即可求解．
【详解】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，
故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为：，
即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为： ；
（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝4，
，
∵
，
设点 ，则点H（x，x﹣4），

∵ ＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为，
此时点P（2，﹣6）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD，是本题解题的关键
9．（2022·甘肃平凉·校考二模）如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，有最大值，最大值为8，此时D；
(3)P或．

【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；
（2）设D，根据坐标的特点，可得出点M，N的坐标，再根据三角形的面积公式可表达的面积，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意，易证，由此得出和的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点，点代入抛物线，
∴，
∴．
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点，点，
∴直线的解析式为：；
设D，
∵轴，点M在直线上，点N在抛物线上，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时D；
（3）解：存在，如图，过点M作轴于点E，

∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴．
根据题意，需要分两种情况讨论：
①时，如图，
此时，  
解得或t=0（舍），
∴，
∴，
∵，
∴点P在y轴上，
∴，
∴P；
②当时，如图，此时与互相垂直平分，设与交于点F，

∴，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴P．
综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形，此时P或．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质、分类讨论的思想等知识，能力要求较高，难度较大，关键是掌握菱形的对称性和进行正确的分类讨论．
10．（2022·甘肃平凉·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，最大值为

【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．
【详解】（1）解：将，代入中，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵、两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，
∵点是抛物线与轴的交点，
∴的坐标为，
又∵，
∴直线解析式为：，
∴点坐标即为，
解得：，
∴；

（3）解：存在，理由如下：
如图，设，过点作轴交于点，连接、、，
∵，
若有最大值，则就最大，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大值为．

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
11．（2022·重庆永川·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．

【分析】（1）将A，B两点代入到解析式中，得到a与c的值，求得抛物线的解析式；
（2）设C（m，-m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，则可以得到M的坐标（m，m+1），表示出线段CM的长，△ABC的面积可以分解为△ACM与△BCM之和，可以用m表示出△ABC的面积，得到关于m的二次函数，根据m的范围，确定函数的最值，从而求得C点坐标；
（3）将抛物线配成顶点式，直接写出平移后的抛物线解析式，联立两个抛物线解析式，求得D的坐标，以AD为腰的等腰直角三角形，分四类讨论，即A和D可以均为直角顶点，同时，E的位置可以在AD右侧，也可以在AD左侧，构造一线三等角模型，求出E点坐标即可．
(1)
解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得．
解得：．
∴抛物线的表达式为；
(2)
解：设直线AB的表达式为：，将点A、B的坐标代入得：
．  解得：．
故直线AB的表达式为：．
过点C作轴的平行线交AB于点H．如图．

设点C（，），则H（，+1）．
∵四边形ACBP是平行四边形，

．                                            
∵-3<0，
∴四边形ACBP的最大值为；
(3)
解：∵抛物线y=-（x-2）2+5，
∴将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为：y=-x2+5，
联立，解得，
∴D（1，4），
①如图2，当DA=DE，∠EDA=90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点，

∵∠DAN+∠NDA=∠NDA+∠EDF=90°，
∴∠DAN=∠EDF，
又∠DNA=∠EFD=90°，DA=DE，
∴△DNA≌△EFD（AAS），
∴DN=EF=1，AN=DF=3，
∴E（4，3），
②当DA=DE，∠EDA=90°，E在AD左侧，
同理可得，E（-2，5），
③当AD=AE，∠DAE=90°，E在AD左侧时，
同理可得，E（-3，2），
④当AD=AE，∠DAE=90°，E在AD右侧时，
同理可得，E（3，0），
综上所述，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．
【点睛】此题考查的是二次函数综合题，△ABC的面积最值问题，解决问题的关键是构造横平竖直线来分割面积，进而转化成函数最值问题讨论得出，第三问的等腰直角三角形存在问题，关键是数形结合，分类讨论．