九年级上册数学第22章 二次函数专题10 二次函数与面积定值、面积比例问题

专题10 二次函数与面积定值、面积比例问题

解题点拨

面积等值、定值问题

【思路1】铅垂法

将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解．

【思路2】造等积变形

利用平行线间的距离处处相等，构造同底等高等面积三角形。

面积比问题

除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．

大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．

【策略一】运用比例计算类

【策略二】转化面积比

如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比．

转化为底：

共高，面积之比化为底边之比：则．

更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD交于点E，则．

【策略三】进阶版转化

在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比．

“A”字型线段比：．

“8”字型线段比：．

转化为垂线：

共底，面积之比化为高之比：．

面积能算那就算，算不出来就转换；

底边不行就作高，还有垂线和平行．

直击中考

1．（2022·青海·统考中考真题）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.

          图1                     图2

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

2．（2022·广西河池·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；

(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；

(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；

(3)点是抛物线上一点，若，求点的坐标．

4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；

(3)如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2022·福建·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；

(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

7．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；

(3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值

8．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；

(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．

9．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．

(1)当时，求，两点的坐标；

(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；

(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

10．（2021·广西柳州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标；

（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面程为，求的最大值．

11．（2021·山东聊城·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．

（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；

（2）将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．

12．（2021·山西·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．

（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；

（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．

①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．

13．（2022·四川遂宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于原点，点，顶点在第一象限，且满足．

(1)求二次函数表达式；

(2)过点作的平行线，在边右侧的抛物线上有一点，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点，交于，过点作于点，当时，求点的坐标；

(3)点是线段的中点，点是线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，设，请直接写出与满足的函数关系式．

14．（2022·山东日照·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接，若过点O的直线交线段于点P，将三角形的面积分成的两部分，请求出点P的坐标；

(3)若Q是直线上方抛物线上一个动点（不与点A、C重合），当的面积等于的面积时，求出Q点的坐标；

(4)在抛物线的对称轴上有一动点H，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

15．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为，连结．

(1)求抛物线的函数表达式．

(2)当的面积等于的面积的时，求m的值．

(3)当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线：与轴交于，两点，且顶点为，直线经过，两点．

(1)求直线的表达式与抛物线的表达式；

(2)如图，将抛物线沿射线方向平移一定距离后，得到抛物线为，其顶点为，抛物线与直线的另一交点为，与轴交于，两点点在点右边，若，求点的坐标；

(3)如图，若抛物线向上平移个单位得到抛物线，正方形的顶点，在轴上，顶点，在轴上方的抛物线上，是射线上一动点，则正方形的边长为______，当______时，有最小值______．

17．（2022秋·九年级单元测试）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)抛物线对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．