人教版9年级上册数学同步压轴题 专题06 二次函数中的面积问题（学生版+教师解析）

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例1．已知抛物线与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为D，且过C(－4，m)．
(1)求点A，B，C，D的坐标；
(2)点P在该抛物线上(与点B，C不重合)，设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值，
②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
【答案】(1)A(-5，0)，B(-1，0)；C(-4，-3)；D(-3，-4)
(2)①；②(0，5)或(，)
【解析】(1)解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点D的坐标为(-3，-4)；
令y=0，则，解得或，
∵抛物线与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，
∴点A的坐标为(-5，0)，点B的坐标为(-1，0)；
令，则，
∴点C的坐标为(-4，-3)；
(2)解：①设直线BC的解析式为，∴，∴，
∴直线BC的解析式为，
过点P作PE⊥x轴于E交BC于F，
∵点P的横坐标为t，
∴点P的坐标为(t，)，点F的坐标为(t，t+1)，
∴，
∴

，
∴当时，△PBC的面积最大，最大为；
②如图1所示，当点P在直线BC上方时，∵∠PCB=∠CBD，∴，
设直线BD的解析式为，∴，∴，∴直线BD的解析式为，
∴可设直线PC的解析式为，∴，∴，∴直线PC的解析式为，
联立得，解得或(舍去)，∴，∴点P的坐标为(0，5)；
例2．如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、(点在点的左侧)，点在线段上运动(不与点A、重合)，过点作直线轴于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点作于点，当的周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积．
【答案】(1)；(2)存在或；(3)；
【解析】(1)解：将代入中∴
将、代入中解得：∴
(2)设，则、
令y=0代入中得，x=-2
∴与x轴的交点坐标为：
∴，∴
如图：
当时，
则，解得：(舍去)，∴
当时，
，解得：(舍去)，，综上，或
(3)由(2)知
∴的周长
当时，最大，
∴
如图2所示，当点P在直线BC下方时，设BD与PC交于点M，
∵点C坐标为(-4，-3)，点B坐标为(-1，0)，点D坐标为(-3，-4)，
∴,，，
∴，∴∠BCD=90°，∴∠BCM+∠DCM=90°，∠CBD+∠CDB=90°，
∵∠CBD=∠PCB，
∴MC=MB，∠MCD=∠MDC，∴MC=MD，
∴MD=MB，∴M为BD的中点，∴点M的坐标为(-2，-2)，
设直线CP的解析式为，
∴，∴，∴直线CP的解析式为，
联立得，
解得或(舍去)，∴，∴点P的坐标为(，)；
综上所述，当∠PCB＝∠CBD时，点P的坐标为(0，5)或(，)；
【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点；
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线AC上方的抛物线上有一点M，求的最大值；
(3)如图2，将线段OA绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围；
【答案】(1)；(2)；(3)或
【解析】(1)由题意，设抛物线的解析式为，
把代入解析式解得：， 所以，抛物线的解析式为；
(2)如图1，过点作轴，交于点，设直线的解析式为，把，代入可得： ，解得：，直线的解析式为，
设点坐标为，则点坐标为，
又点在直线上方，，
，
，，当时，有最大值为2；
(3)如图2，线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，
由旋转性质可得：，， ，，
当在抛物线上时，，解得：，
当点在抛物线上时，，解得：或2，
或时，线段与抛物线只有一个公共点；
【变式训练2】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)；(2)S的最大值是，点P的坐标是
【解析】(1)解：∵二次函数过，两点，∴设二次函数解析式为，
∵二次函数过C点，
∴，解得a＝1，∴即二次函数解析式为；
(2)解：设直线解析式为：y＝kx＋b，
∵，，∴，解得，∴直线的解析式为y＝﹣x－3，
过点P作x轴的垂线交于点G，设点P的坐标为，则，
∵点P在第三象限，
∴，
∴，
∴当时，，
此时，
∴点.
即S的最大值是，此时点P的坐标是.
类型二、面积定值问题
例1.已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，P是线段BC上一点，过点P作轴交x轴于点N，交抛物线于点M．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且和的面积相等，求点Q的坐标．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)(1+，1)
【解析】(1)解：(1)将B(3，0)、C(0，3)代入y=-x2+bx+c，
得：，解得：．∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
(2)依照题意画出图形，如图所示．
设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0)，
将点C(0，3)、B(3，0)代入y=kx+b， 得：，解得：，
∴直线BC的表达式为y=-x+3，∴P(2，1)，M(2，3)，∴S△PCM=CM•PM=2．
设△QCM的边CM上的高为h，则S△QCM=×2×h=2，∴h=2，
∴Q点的纵坐标为1，∴-x2+2x+3=1，解得：x1=1+，x2=1-(舍去)，∴点Q的坐标为(1+，1)．
【变式训练1】如图，等腰直角三角形的直角顶点在坐标原点，直角边，分别在轴和轴上，点的坐标为，且平行于轴．
(1)求直线的解析式；
(2)求过，两点的抛物线的解析式；
(3)抛物线与轴的另一个交点为，试判定与的大小关系；
(4)若点是抛物线上的动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(，)或(，)或(，)
【解析】(1)解：∵点的坐标为，且平行于轴，∴点的坐标为且，
∵是等腰直角三角形，，∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，由题意得 ，解得 ，
∴直线的解析式为；
(2)解：∵抛物线过，两点，
∴ ，解得 ，∴抛物线的解析式为；
(3)解：抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴直线为，
∵点的坐标为，点与点D关于对称轴对称，∴点D的坐标为，∴，
∵点的坐标为，∴ ，∴
(4)解：∵点的坐标为，且平行于轴，∴，
∴ ，
当点M在直线AB的上方时，如图所示，
过点M作轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(，)，则N的坐标为(，)，
∴ ，
∴，
∵的面积与的面积相等，∴，解得或(舍，该点为点C)，
此时M的坐标为(，)或(，)；
当点M在直线AB的下方时，如图所示，
过点M作轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(，)，则N的坐标为(，)，
∴ ，∴，
∵的面积与的面积相等，∴，解得
此时M的坐标为(，)或(，)；
综上可得，M的坐标为(，)或(，)或(，)．
【变式训练2】如图，已知抛物线经过点，，．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上一动点．
①当的面积最大时，直接写出点的坐标________；
②过点作轴交于点，是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出最大面积及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)①；②，
(3)存在，或
【解析】(1)解：点，在抛物线上．解得：
抛物线的解析式为：
设直线AB的解析式为：
，在直线AB上，，解得：，直线的解析式为：
(2)①，，时，最大为8，
②解：设P点的横坐标为m，点P在抛物线上，
∵轴且N在直线AB上，，
时，取得最大为
(3)或
满足
点Q到AB的距离等于点O到AB的距离．
过点O作，交抛物线于点和
且直线AB的解析式为：，直线l经过点O
的解析式为：
解得：或
即，