专题22.17 待定系数法求二次函数解析式（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题22.17 待定系数法求二次函数解析式（知识讲解）

【学习目标】

1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；

2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．

【要点梳理】

1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；

(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；

(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，

或，其中a≠0；

第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；

第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

特别说明：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．

【典型例题】

类型一、用待定系数法求二次函数解析式——顶点式

1．已知：二次函数图象的顶点坐标为，且经过点；求此二次函数的解析式．

【答案】

【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：，再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式．

解：设抛物线的解析式为：，

把代入解析式得，

则抛物线的解析式为：．

【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．

举一反三：

【变式1】已知一条抛物线顶点为，且经过点，求该抛物线的解析式．

【答案】y=-2x2+8x-3

【分析】设出顶点式，利用待定系数法求解．

解：因为抛物线顶点坐标为(2，5)，

设抛物线解析式为y=a（x-2）2+5，

代入（3,3）得3=a（3-2）2+5，

解得a=-2，

∴解析式为y=-2（x-2）2+5=-2x2+8x-3．

【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，掌握解题不是是解决问题的关键：一设二代三解四写．

【变式2】已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．

【答案】

【分析】已知顶点坐标，设成顶点式y=a（x+2）2﹣3，将（﹣3，﹣2）代入即可．

解：设二次函数的解析式为：y=a（x+2）2﹣3，

将（﹣3，﹣2）代入得：﹣2=a（﹣3+2）2﹣3，

解得：a=1，

∴这个二次函数的解析式为：y=（x+2）2﹣3．

【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式，根据顶点坐标设出二次函数的顶点式是解题的关键．

类型二、用待定系数法求二次函数解析式—— 一般式

2．已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式．

【答案】

【分析】把点、代入二次函数关系式，即可求出a、b的值，进而可得二次函数解析式．

解：把，代入二次函数解析式得

解得，

∴这个二次函数的表达式为．

【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．解题的关键在于正确的计算．

举一反三：

【变式1】已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．

(1)填空：抛物线的对称轴为直线x=        ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为            ；

(2)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象．

(3)当 1 < x 4时， y的取值范围是                   

【答案】(1)2；（3，0）．

(2)见分析

(3)﹣1≤y≤3

【分析】

（1）根据二次函数图象的对称性可得抛物线对称轴为直线x＝2，由点C坐标为（1，0）可得点D坐标为（3，0）．

（2）由待定系数法求函数解析式，然后根据解析式作出图象．

（3）由抛物线开口方向及对称轴可确定x＝2时，y取最小值，x＝4时，y取最大值．

(1)解：∵点A（0，3）、B（4，3）关于直线x＝2对称，

∴对称轴为直线x＝2，

∵C（1，0）关于直线x＝2对称点为（3，0），

∴点D坐标为（3，0），

故答案为：2；（3，0）．

(2)解：将A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，

，

解得，

∴y＝x2﹣4x+3，

由（1）可知抛物线顶点坐标为（2，-1）．

图象如下：

(3)解：由图象可知，在1 < x 4时，

当x＝2时，y取最小值为y＝22﹣2×4+3＝﹣1，

x＝4时，y取最大值为y＝42﹣4×4+3＝3，

∴﹣1≤y≤3．

故答案为：﹣1≤y≤3．

【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数解析式的方法，掌握二次函数图象的性质．

【变式2】一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式．

【答案】y=-2x2+4x+6

【分析】设一般式y=ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．

解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

根据题意得：，   解得：，

所以抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6．

【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

类型三、用待定系数法求二次函数解析式——两根式

3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．

【答案】y＝﹣x2﹣2x+3

【分析】根据图象确定经过抛物线的三个点，设二次函数解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，再代入(0,3)利用待定系数法计算即可．

解：由图象可知，抛物线经过(﹣3，0)、(1，0)、(0，3)，

设抛物线的解析式为：y＝a(x+3)(x﹣1)，

代入点(0,3)，

则3＝a(0+3)(0﹣1)，

解得：a＝﹣1，

则抛物线的解析式为：y＝﹣(x+3)(x﹣1)，

整理得到：y＝﹣x2﹣2x+3．

【点拨】本题考查了二次函数解析式的求法，属于基础题，计算过程中细心即可．

举一反三：

【变式1】二次函数经过（1，0），（3，0）和（0，3）．

(1)求该二次函数解析式；

(2)将该二次函数图像以轴为对称轴作轴对称变换得到新的抛物线，请求出新抛物线的解析式．

【答案】(1)(2)

【分析】

（1）根据二次函数图像与x轴的交点坐标，设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3)，再将（0，3）代入关系式，求出a的值即可；

（2）由题意可知新抛物线与x轴的交点坐标，可设交点式，再将点（0，-3）代入求出m的值即可.

解：(1)设该二次函数解析式为

把（0，3）代入解析式得

∴该二次函数解析式为

(2)由题意可知，抛物线与x轴的交点是（1，0）和（3，0），且经过点（0，-3）.

设新二次函数解析式为，

再代入（0，-3），得到m=-1

∴轴对称变换后二次函数解析式为

【点拨】本题主要考查了求二次函数关系式，掌握交点式y=a(x-x1)(x-x2)是解题的关键.

【变式2】已知抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求此抛物线的解析式．

【答案】

【分析】首先设出抛物线的两点式，然后代入点的坐标，计算可得答案．

解：∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（3，0）两点，

∴可设其解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3），

代入点C（0，3）得，

a（0+2）（0﹣3）＝3，

解得a＝﹣，

∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝﹣x2+x+3．

【点拨】本题考查了二次函数的性质，设两点式：．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（，0），（，0），则设所求二次函数为，将第三个点的坐标（m，n）（其中m，n为已知数）或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式．

类型四、用待定系数法求二次函数解析式——综合应用

4．已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，P是线段BC上一点，过点P作轴交x轴于点N，交抛物线于点M．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且和的面积相等，求点Q的坐标．

【答案】(1)y=-x2+2x+3(2)（1+，1）

【分析】

（1）根据点B、C的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；

（2）根据点B、C的坐标利用待定系数法，求出直线BC的表达式，由点P的横坐标，即可求出点P、M的坐标，进而可求出△PMC的面积，根据△QMC和△PMC的面积相等，可求出点Q的纵坐标为1，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合点Q在第一象限，即可求出点Q的坐标，即可求解．

(1)解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c，

得：，

解得：．

∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．

(2)依照题意画出图形，如图所示．

设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），

将点C（0，3）、B（3，0）代入y=kx+b，

得：，解得：，

∴直线BC的表达式为y=-x+3，

∴P（2，1），M（2，3），

∴S△PCM=CM•PM=2．

设△QCM的边CM上的高为h，则S△QCM=×2×h=2，

∴h=2，

∴Q点的纵坐标为1，

∴-x2+2x+3=1，

解得：x1=1+，x2=1-（舍去），

∴点Q的坐标为（1+，1）．

【点拨】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解直角三角形，掌握一次函数与二次函数的性质．

举一反三：

【变式1】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．

(1)求c的值及a，b满足的关系式．

(2)结合函数图象判断抛物线能否同时经过点．若能，写出符合要求的抛物线的表达式；若不能，请说明理由．

【答案】(1)c=3， 3a+b=-1；(2)能，y=

【分析】

（1）将点和代入解析式即可求解；

（2）根据题意求得对称轴，设，将和代入解析式，待定系数法求解析式即可求解．

解：(1)抛物线经过点和，

，

，

c=3， 3a+b=-1；

(2)，，

抛物线的对称轴为

若同时经过点，

则对称轴为，

故存在抛物线能否同时经过点

设，将和代入解析式，

，

解得，

，

．

【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．

【变式2】已知抛物线的图象经过坐标原点O．

(1)求抛物线解析式．

(2)若B，C是抛物线上两动点，直线恒过点，设直线为，直线为．

①若B、C两点关于y轴对称，求的值．

②求证：无论k为何值，为定值．

【答案】(1)；(2)①；②证明见分析

(1)解：把(0，0)代入，得

0=(0-n)(0-n)+c，

∴c=n2，

把c=n2代入得

y=x2-n2+n2=x2，

∴抛物线解析式为：y=x2；

(2)解：把(0，1)代入y=kx+b，得b=1，

∴直线BC解析式为：y=kx+1，

①∵B、C两点关于y轴对称，

∴BCx轴，

∴k=0，即直线BC：y=1，将y=1代入y=x2，得

x2=2，解得：x=，

设B(-，1)，C(，1)，

把B(-，1)代入y=k1x，得1=-k1，

∴k1=-，

把C(，1)代入y=k2x，得1=k1，

∴k2=，

∴k1k2=-=-，

②联立：，得x2-kx-1=0，

设此方程两根为x1，x2，则x1x2==-2，

y1y2====1，

把(x1，y1)代入y=k1x，得k1=，

把(x2，y2)代入y=k2x，得k2=，

∴k1k2===，

无论k为何值，为定值，值为．

【点拨】本题考查二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的联系，本题是二次函数综合题目，熟练掌握相关知识是解题的关键．