人教版四年级上册8 数学广角——优化学案及答案

课题

优化1：沏茶问题

课型

新授课

设计说明

这节课主要研究解决问题策略的多样性，形成从多种方案中寻求最优方案的意识。《义务教育数学课程标准》指出当学生遇到实际问题时能主动运用数学的思想方法解决实际问题。在日常生活中遇到问题时学生能很容易地找到多种解决问题的策略。那么这节课就是要让学生理解运筹的思想，形成从多种方案中寻求最优方案的意识，提高学生解决问题的能力。本课设计突出以下两点：

1.引而不替，发挥学生的主体作用。

在教学过程中给学生提供充分的参与数学活动的机会，让学生成为学习的主人。比如在教学中让学生自己探索做家务的顺序。让学生在组内进行激烈的讨论，在操作中学会思考，在思考中引导操作，各组形成自己的方法，然后通过比较分析选出最优方案，让学生经历从解决问题的多种方案中寻找最优方案的过程。

2.根据学生已有的生活经验，联系实际解决问题。

在教学时，引导学生想一想自己在生活中是怎样做家务的，明确应该先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做，然后再让学生探讨最佳方案，使学生的学习活动能够有的放矢，避免盲目性，更有利于学生总结经验和解决问题。

学习目标

1.学生在解决合理安排沏茶的工序问题中，学会用流程图的方式表示解决问题的方案，认识到策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。

2.初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

3.使学生逐渐养成合理安排时间的良好习惯。

学习重点

解决沏茶这一类问题的思考方法和用流程图表示解决问题的方案。

学习难点

经历寻找解决问题的最优方案的过程，提高解决实际问题的能力。

学习准备

教具准备：PPT课件  学具准备：沏茶的六道工序图片

课时安排

1课时

教学环节

导案

学案

达标检测

一

课前活动，引出话题。(5分钟)

1.（1）老师想考考大家的语文学得怎么样？谁能用“一边（干什么）一边（干什么）”说一句话？

（2）刚才同学们说的一边干什么，一边干什么都是同时做几件事，不仅在语文中有这样的表述，在今天的数学课里也有关于这方面的知识。

2.引题：在生活中，合理安排时间，把能同时做的事情同时做了，就会节省时间。今天就学习如何合理安排时间。（板书课题）

1.（1）学生用“一边……一边……”造句。

（2）学生带着好奇心认真倾听、思考。

2.明确本节课的学习任务。

1.猜一猜。

小红：炒完菜之后焖饭。

小芳：焖饭的同时炒菜。

谁先吃上饭？

答案：小芳。

2.填一填。

（1）下面是妈妈做早饭的过程及时间：淘米（2分钟）、煎鸡蛋（5分钟）、倒牛奶（1分钟）、熬粥（20分钟）、拌咸菜（5分钟）。其中（   ）的同时可以（   ）、（   ）、（   ），（   ）这件事必须先做，妈妈做完这些家务最少用（   ）分钟。

（2）妈妈上班，朵朵只能自己做饭吃。淘米（3分钟），洗锅（1分钟），电饭锅煮饭（20分钟），把妈妈做好的几个菜用微波炉热一下（8分钟），冲一碗汤（3分钟），她最快（   ）分钟就可以吃饭了。

分析：在煮饭的同时，可以热菜、冲一碗汤。

答案：（1）熬粥  煎鸡蛋  倒牛奶  拌咸菜

淘米  22（2）24

3.算一算。

小玉星期天在家做了以下几件事：用洗衣机洗衣服（30分钟）、擦窗台（6分钟）、扫地（3分钟）、拖地（15分钟）、晾衣服（8分钟）。做完这些事最少需要多少分钟？

答案：38分钟

二

创设情境，探究方法。

（23分钟）

1.星期天上午，李阿姨来小明家做客（课件：门铃响了）。妈妈对小明说：“小明，快去给李阿姨沏茶。”小明是一个爱思考的孩子，他在想：怎么样才能让客人尽快喝上茶？

（1）根据你平时沏茶的经验，想一想，小明要完成沏茶这个任务需要做哪些事？请学生回答，教师归纳：洗水壶、接水、烧水、找茶叶、找茶杯……

（2）一共有几道工序？（6道）（课件显示6道工序）那么，请同学们想一想：这六道工序，我们就按照现在列出来的顺序做可以吗？

（3）明确哪些家务可以同时做，组织学生汇报。

2.引导学生用流程图把做家务的方案表示出来。

3.学生展示不同的设计方案，看看哪种方案最合理。

4.小结：当有许多事情要做时，要先动脑筋想一想，能同时做的事情尽量同时做，这样才能节省时间。

1.认真观察思考：怎么样才能让客人尽快喝上茶？

（1）动脑发言。

（2）学生分小组讨论，教师巡回了解情况。

（3）学生汇报结果。

2.学习用流程图表示出做家务的过程，并用学具卡摆一摆。

3.请学生汇报,让学生把方案板贴到黑板上，明确哪种方案最合理。

4.师生共同总结合理利用时间的方法。

三

巩固练习。（7分钟）

完成教材第105页“做一做”第1题。

学生独立完成，全班展示。集体订正。

教学过程中老师的疑问：

四

课堂总结，布置作业。（5分钟）

1.通过今天的学习，你有什么收获？

2.布置作业。

1.谈谈自己本节课的收获。

2.独立完成作业。

五

教学板书

六

教学反思

由于学生对沏茶这一生活现象比较熟悉，于是在教学中针对教材内容，精心设计了为客人沏茶的生活情境。当画面上呈现妈妈让小明帮妈妈烧壶水给李阿姨沏杯茶这一数学信息时，没有急于想去解决如何让李阿姨尽快喝上茶，而是让学生想想平时是怎么做的？然后让同学们帮小明想一想“怎样才能让客人尽快喝上茶”，放手让学生思考设计沏茶的方案，各小组热烈讨论、认真计算，形成共同的方案，让学生亲历寻找解决问题的方案和寻找最优方案的全过程，从中明白节省时间的道理，理解最优方案。学生始终能处于主动思考和解决问题的最佳状态，有效地促使学生积极参与学习活动。

教师点评和总结：

课题

优化2：烙饼问题

课型

新授课

设计说明

这是一节渗透运筹优化思想的数学课，通过简单的优化问题渗透简单的优化思想。本节课立足于培养学生良好的思维能力，从学生已有的生活经验和知识基础出发，创设问题情境，让学生借助学具操作，经历探索烙饼过程中的数学知识，逐步掌握解决问题的最佳方法，初步体会数学方法的应用价值。本课设计突出以下两点：

1.让学生进行实践操作。

由于本节课所要体现的数学思想方法比较抽象，因此在教学过程中需要为学生提供独立思考、动手操作、合作探究、展示交流的时间和空间。通过合作、动手操作、想一想、说一说、摆一摆等过程，让学生能够真正动眼、动手、动脑参与到获取知识的过程中。

2.注重自主探索、合作交流的学习方式。

教学过程中要立足学生的“数学现实”，先激活学生已有的知识和经验，再让学生通过观察、操作、归纳、猜想、交流等活动来激发学习兴趣，发展学生的思维能力。特别是先让学生独立思考、动手操作，给予他们足够的时间和空间，然后小组讨论，最后全班交流，这样学生既有了独立思考的时间，又通过交流汲取了集体的智慧。在交流过程中，教师与学生、学生与学生之间的思维相互碰撞，重现课堂开放、生动的本来面目。

学习目标

1.通过生活中的简单事例，使学生初步体会到优化思想在解决问题中的应用。

2.使学生认识到解决问题中的策略的多样性，初步形成寻找解决问题最优化方案的意识。

3.让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决问题的实际能力。

4.使学生能积极地参与数学学习活动，体会到学习数学的乐趣。

学习重点

体会优化思想。

学习难点

探究解决问题的最优方案。

学习准备

教具准备：PPT课件  学具准备：圆形纸片

课时安排

1课时

教学环节

导案

学案

达标检测

一

创设情境，引入新课。（5分钟）

1.同学们，在日常生活中我们经常能碰到一些数学问题。例如：煮熟一个鸡蛋要用5分钟时间，煮熟5个鸡蛋要用多长时间？学生讨论、交流。

2.师小结：当5个鸡蛋一起煮时，既可以节约时间，又能节约能源。看来，煮鸡蛋是要讲究方法的！其实很多事情都要讲究策略，今天我们就用数学的眼光来研究烙饼的策略。（板书课题）

1.学生讨论、交流，汇报煮鸡蛋的策略。

2.学生带着好奇心与老师共同进入新知的探讨。

1.猜一猜。

1个人吃1个苹果要2分钟，5个人吃5个苹果一共要几分钟？

答案：2分钟。

2.填一填。

（1）1张饼有（  ）面，如果烙熟一面需要3分钟，烙熟一张饼需要（  ）分钟。

（2）煮熟1个鸡蛋需要10分钟，一只锅可以煮50个鸡蛋，那么要煮熟30个鸡蛋最少需要（    ）分钟。

答案：（1）两  6（2）10

3.选一选。

小楠在烤箱里烤面包，一次能烤10片，每片都要烤两面，每面都需要1分钟才能烤好，烤好20片面包需要（    ）分钟。

A.2  B.4  C.10

答案：B

4.想一想。

用一台小型烤箱烤蛋糕（每次最多只能烤2个），已知烤熟1个需要2分钟（两面各需要1分钟），烤熟5个蛋糕最少需要多少分钟？

分析：用方法二可用三分钟烤熟三个蛋糕，另外两个蛋糕可用两分钟烤熟。

答案：5分钟。

二

自主探索，探究烙法。

（24分钟）

1.解读信息，理解烙饼规则。

（1）课件呈现教材第105页主题图， 引导学生观察发现关键的数学信息。

（2）烙1张饼最少需要6分钟，烙2张饼应该需要12分钟才对，现在却只需要6分钟，这是怎么回事？

2.探究“交替烙”。

（1）怎样才能最快吃上饼？请你借助硬币、课本或写有正、反的橡皮、纸片等摆一摆，试一试。

（2）交流反馈，全班展示。

方法一：先烙1张，再烙1张，6分钟+6分钟=12分钟。

方法二：

（3）请同学们用方法二烙一烙、算一算，验证一下这样烙是不是需要9分钟。

（4）请同学们比较两种不同的烙法，为什么方法二省时间呢？

（5）小结：方法二竟然有这么多的数学奥妙，我们称之为“交替烙”。课件演示交替烙饼法。

3.探究“分组烙”。

（1）4张饼怎么烙？

（2）介绍“分组烙”方法。

（3）6张饼、8张饼、10张饼……怎样烙呢？最少需要多长时间？学生汇报并交流。

（4）小结：饼的张数是双数时，2张2张的烙最省时间，也就是分组烙最省时间。

4.探究“分组烙+交替烙”法。

（1）假如烙5张饼，怎样烙最省时间？谁来说一说方法。

（2）介绍“分组烙+交替烙”法。

（3）现在你会解决了吗？烙7张饼、9张饼、11张饼,怎么烙最省时间？

（4）反馈：你发现什么情况下用分组烙最省时间，什么情况下用两种方法结合最省时间？

（5）仔细观察烙饼的张数和烙饼的总时间，你又能发现什么？

1.（1）学生发现关键信息：要烙6张饼，每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面要3分钟。

（2）学生交流明确：因为一个锅可以同时烙2张饼。                                                                           

2.（1）学生借助学具摆一摆、试一试。

（2）同学们展示自己的烙法。

（3）同学们用学具验证。

（4）同学们交流发现：方法二每次烙2张饼，没浪费锅的空间，所以省时间。

（5）学生认真倾听、观察。头脑中再现“交替烙饼法”。

3.（1）学生自由交流、讨论。

（2）认真倾听，了解“分组烙”。

（3）学生独立完成后汇报，集体订正。

（4）在教师的小结中明确答案。

4.（1）学生自由交流想法。

（2）认真倾听，了解“分组烙+交替烙”法。

（3）学生独立完成，老师巡视指导。

（4）小组交流后明确：单数张：先2张2张分组烙，再交替烙最后3张；双数张：2张2张地分组烙。

（5）交流后明确：烙饼的最短时间=烙饼的张数×烙一面用的时间（一张饼除外）

三

巩固练习。

（5分钟）

完成教材第105页“做一做”第2题。

学生独立完成，全班展示，集体订正。

教学过程中老师的疑问：

四

课堂总结，布置作业。（6分钟）

1.通过今天的学习，你有什么收获？

2.布置作业。

1.谈谈自己本节课的收获。

2.独立完成作业。

五

教学板书

六

教学反思

“烙饼问题”是一节渗透运筹优化思想的数学课，通过简单的优化问题渗透简单的优化思想。在教学设计和教学过程中，以“烙饼”为主题，以数学思想方法的学习为主线，围绕怎样烙饼才能尽快吃上饼展开教学，设计了烙1张、2张、3张、4张…以及单张，双张饼的探究过程。以烙3张饼作为教学突破点，形成从多种方案中寻找最佳方案的意识，为学生提供独立思考、动手操作、合作探究、展示交流的时间和空间。学生利用手中学具代替饼，经历了提出数学问题——解决数学问题——发现数学规律——建构数学模型的过程，整节课根据不同的教学环节渗透了不同的教学理念。

教师点评和总结：

课题

优化3：田忌赛马问题

课型

新授课

设计说明

为了使学生对对策论知识有所理解，能愉快地经历探索“最佳对策”的过程，初步理解“最佳对策”的原理。除了把握好教学这个知识的深浅尺度，改进教学方法外，还应尽可能地充分挖掘、利用教学资源，使课堂教学的内容充实、丰富，以帮助学生更好地理解这些思想和方法，了解这些数学方法的实际应用。所以我首先从同学们熟悉的扑克牌入手，再从“田忌赛马”动画故事引入本节课，让学生分析田忌第二次所采用的获胜的策略，体会对策论方法的重要性。然后让学生借助自定义动画列出的所有可能对策，验证田忌采用的这种方法是不是唯一能战胜齐王的方法。最后让学生解决生活中的类似问题，体会对策论的实际应用。

为了充分体现学生学习的主体性，照顾不同层次的学生，这一环节应在课堂上充分利用小组共同合作、探究的学习方式，让学生互相交流，互相沟通。教师也作为学生的伙伴投入到讨论之中，把积极思考的主动权完全交给学生，师生之间、生生之间的信息交流与活动交往促进了知识的互补，使学生发现问题、探索问题、解决问题的能力得到提高。

学习目标

1.通过田忌赛马的故事让学生体会对策论方法在实际生活中的应用，感受对策论在生活中的重要作用。

2.尝试用数学方法来解决实际生活中的简单问题，使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。

3.初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，初步感知好的对策对胜负的影响之大。

学习重点

体会优化的思想。

学习难点

寻找解决问题最优方案，提高学生解决问题的能力。

学习准备

教具准备：PPT课件 扑克牌  学具准备：表格

课时安排

1课时

教学环节

导案

学案

达标检测

一

创设情境，生成问题。(5分钟）

1.玩扑克牌，比大小。

出示两组扑克牌，分别是3，5，7和4，6，8。选择一组牌和学生比大小，让学生先出，老师几次比赛都赢了。

2.质疑：为什么老师总能赢？

3.揭题：老师总能赢是因为用到了数学中的对策。今天就来学习解决问题的“最佳对策”。

1.和老师玩扑克牌游戏。

2.学生思考，寻找答案。

3.明确本节课的学习任务。

1.猜一猜。

小明和小小玩扑克牌，小明手里的3张牌比小小手里的3张牌都大一点，小小有取胜的可能吗？

答案：有。

2.选一选。

甲、乙两人玩“石头、剪子、布”的游戏，甲的出拳顺序是布、石头、剪子。乙应该怎样出拳才能获胜？（    ）

A.石头、剪子、布

B.剪子、布、石头

C.布、剪子、石头

答案：B

3.填一填。

有15根火柴，甲、乙两人轮流取走，每次只能取1根或2根，谁取到最后一根火柴谁就赢。想一想，甲为了确保获胜，应该让（    ）先取。

答案：乙

4.一盒玻璃球有20个，两人轮流从中拿走1个或2个，谁拿到最后一个玻璃球谁就获胜。想一想，如果让你先拿，怎样拿玻璃球才能确保获胜？

答案：

20÷(1+2)=6……2

第一次拿2个，以后每次拿的数量和对方凑成3个，才能确保获胜。

二

互动探究，发现策略。

（25分钟）

1.播放故事：田忌赛马。

听了这个故事，你有什么感受？这个故事虽然发生在很久以前，但田忌赛马的策略却被广泛应用，下面我们一起来了解田忌与齐王赛马的对策。

2.自主探索，合作交流。

（1）把田忌在赛马中使用的方法在书本上补充完整。出示表格。

（2）思考：田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？讨论。

（3）引导学生：田忌一共有多少种可采用的应对策略？把田忌所有的可以采用的策略都找出来，填入教材第106页的表格中。

（4）展示各组汇报的结果。

填了这张表格，你发现齐王一共赢了几次？田忌赢了几次？田忌只有怎样出马才能赢？

（5）在此你想对田忌说什么呢？

（6）说一说：田忌的这种策略在生活中还有哪些应用？结合实际说说。

1.学生认真倾听，自由交流自己的感受。

2.（1）出示表格：（学生边找，边填表）

（2）自由交流、讨论。

（3）出示表格：（学生边回答，边填表）

提示：怎样找，才能有顺序、不重复、不遗漏呢？

引导学生运用以前学过的搭配知识来解决问题。

汇报交流，验证田忌赛马的最优策略的唯一性。

（4）我们经过探究总结出田忌可以有6种赛马策略，但获胜的策略只有一个。

（5）你真了不起，马都不如齐王的马，却赢了他。我真的很佩服你……

（6）学生列举生活中的应用。

三

巩固应用，内化提高。

（7分钟）

1.完成教材第106页“做一做”。

2.两个学校举行乒乓球比赛，假设名次高的能赢名次低的，三局两胜。

如果你是B学校的教练，怎样安排才能保证获胜？

1.独立思考或同桌间、小组间讨论，找出问题的答案。

2.交流订正答案。

（吴迪对刘丽，郑龙对李刚，陈芳对张亮。）

教学过程中老师的疑问：

四

课堂总结，布置作业。（3分钟）

1.通过今天的学习，你有什么收获？

2.布置作业。

1.交流自己本节课的收获。

2.独立完成作业。

五

教学板书

六

教学反思

课堂开始时，充分抓住学生爱玩的天性，设计了游戏，并给学生选择先开始的机会，避免学生输了之后认为是选择上的错误。通过多次游戏，学生每次都输这一事实，给学生留下一个疑问。然后通过让学生初步对“田忌赛马”的了解，引发学生学习的积极性，并且通过提问，引导学生探索讨论“田忌赛马”的具体策略，从而激发学生学习的兴趣。

教师点评和总结：

学习目标

1.使学生通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策论方法在解决实际问题中的运用。

2.使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。

3.让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

4.使学生逐步养成合理安排时间的良好习惯。

学习重点

初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用。

学习准备

教具准备：PPT课件  

教学环节

导案

学案

达标检测

知识点1：沏茶问题。

课件出示教材第107页练习二十第1题。

爸爸开车和妈妈一起从家外出办事。爸爸要去办公室取资料，妈妈要去商场购物。（图见课本）

图上是他们的行走路线和所用时间。他们办完这些事回到家，至少需要多长时间？

分析：根据上述实际情况，爸爸和妈妈开车到街心花园后妈妈步行到商场，爸爸开车到办公室，取完资料后开车到商场接妈妈一起回家。这样花的时间最少。

答案：

10+15+10+15+2+2+10=64（分钟）

答：至少需要64分钟。

丽丽每天晚上睡觉前要背诵成语6分钟，烧开水10分钟，泡好不烫的牛奶2分钟，喝牛奶5分钟，那丽丽在（    ）同时可以（    ），做完这些事情最少用（    ）分钟。

答案：烧开水  背诵成语  17

知识点2：烙饼问题。

课件出示教材第107页练习二十第2题。

下面三位同学要去量身高、验视力，每项检查都要3分钟，他们至少要用多长时间能做完这些检查？

东东 晶晶 红红(图见课本)

分析：根据烙饼问题的规律来解决问题。先东东量身高，晶晶验视力；然后东东验视力，红红量身高；最后晶晶量身高，红红验视力。

答案：3+3+3=9（分钟）

答：至少要用9分钟。

一张饼两面都要烙，共需要6分钟，一只平底锅每次可以烙2张，烙熟7张饼至少需要（    ）分钟。

分析：先分组烙，2张一组需6分钟，分2组共4张需12分钟；再交替烙，剩下3张交替烙需9分钟。一共需要12+9=21分钟。

答案：21

知识点3：田忌赛马问题。

课件出示教材第107页练习二十第3题。

拍球比赛（五局三胜）

第1队：

陆莎   230下

赵天骁 220下

陶欣然 205下

杜小雯 180下

程刚   155下

第2队：

宋圆圆 220下

肖刚   210下

何文龙 190下

刘佳佳 165下

朱曼   150下

如果比赛中每个人都发挥正常，第2队怎样对阵才能获胜？

分析：根据对策论问题的规律解决问题。

答案：朱曼对陆莎，刘佳佳对程刚，何文龙对杜小雯，肖刚对陶欣然，宋圆圆对赵天骁，这样第2队才能获胜。（答案不唯一）

甲队和乙队进行乒乓球比赛。两队各派出5名打得最好的同学参加。比赛五局三胜。假如你是乙队队长，你将怎么安排自己队中的5名选手，使乙队赢的可能性最大？

答案：按水平高低把两队的队员分别看作1~5号选手，对阵局势如下：

布置作业

完成教材第108页第4题。

教学过程中老师的疑问：

课堂小结

1.说一说本节课的收获。

2.谈谈在解决实际问题中有哪些需要注意或不太懂的地方。

1.自评本节课的收获。

2.自由谈一谈。

教学反思

本节练习课灵活运用教材和联系实际生活，促使学生积极参与学习活动，激活学生已有的生活经验，使学生处于主动思考和解决问题的最佳状态，有效地促使学生积极地参与学习活动，给学生提供充分地参加数学活动的机会，让学生成为学习的主人。老师要相信学生，把学生推上学习活动的主体地位。课堂上，以一个个的具体事例，组织一系列的观察、思考、操作和交流活动，使学生在解决具体问题中体会数学方法的应用、体会优化思想，充分发挥引导作用，促进学生的发展。学生在活动中经历了发现过程，领悟了数学思想方法，体验数学活动充满着探索与创新，这些活动还带给学生严谨求实的科学精神的启迪。

上述教学活动既是学生探索数学知识和运用数学知识解决问题的过程，也是学生对科学精神、积极向上学习态度的体验过程，有利于促进学生的全面发展。当然在上课的过程中还有一些细节需要注意，希望在以后的教学中能尽量改善。

教师点评和总结：