高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.2 导数及其几何意义练习

第六章6.1　导数

6.1.1　函数的平均变化率　6.1.2　导数及其几何意义

A级 必备知识基础练

1.[探究点一·2023河南洛阳月考]函数f(x)=x3从-1到1的平均变化率为(　　)

A.2 B.1 C.0 D.-1

2.[探究点三]若函数f(x)=x+,则f'(1)=(　　)

A.2 B. C.1 D.0

3.[探究点一·2023黑龙江大庆龙凤校级期末]在曲线y=x2+6的图象上取一点(1,7)及邻近一点(1+Δx,7+Δy),则为(　　)

A.2+Δx B.Δx--2

C.Δx++2 D.2+Δx-

4.[探究点一](多选题)一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数表达式为h(t)=2t2+2t.下列说法正确的是(　　)

A.当t∈[0,3]时,球滚下的垂直距离的改变量Δh=24 m

B.在[2,3]这段时间内球滚下的垂直距离的改变量Δh=12 m

C.在[0,3]上球的平均速度为8 m/s

D.在[2,3]这段时间内球的平均速度为12 m/s

5.[探究点三]已知直线l经过(-1,0),(0,1)两点,且与曲线y=f(x)相切于点A(2,3),则的值为(　　)

A.-2 B.-1 C.1 D.2

6.[探究点二]汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,其三者的大小关系是　　　　　. 

7.[探究点三·2023北京朝阳校级期末]设函数f(x)=x2+x,则=(　　)

A.-6 B.-3 C.3 D.6

8.[探究点一、三·2023河南商丘睢县校级月考]已知自由落体运动的方程为s=gt2(g为常数,s是位移,单位是m,t是时间,单位是s ),求:

(1)落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度;

(2)落体在t=10 s这一时刻的瞬时速度.

9.[探究点四]已知函数f(x)=x2,曲线y=f(x),

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;

(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.

B级 关键能力提升练

10.设f(x)为可导函数,且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为(　　)

A.2 B.-1 

C.1 D.-2

11.某市实施垃圾分类,家庭厨余垃圾的分出量不断增加,已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示,给出下列四个结论:

①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大;

②在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大;

③在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢;

④甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大.

其中所有正确结论的序号是(　　)

A.①② B.②③ C.①④ D.③④

12.(多选题)某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则(　　)

A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s

B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s

C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时

D.物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s

13.(多选题)设点P为曲线C:f(x)=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线的倾斜角α∈,则点P的横坐标的取值可能为(　　)

A. B.-1 

C.- D.-

14.已知f(x+h)-f(x)=2hx+5h+h2,用割线逼近切线的方法可以求得f'(x)=　　　　　. 

15.已知函数f(x)=x2+2x,曲线y=f(x)在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标是　　　　　. 

16.已知函数f(x)=x3,若曲线y=f(x)在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,求a的值.

C级 学科素养创新练

17.已知函数f(x)=,曲线y=f(x).

(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;

(2)求满足斜率为-的曲线的切线方程.

6.1.1　函数的平均变化率

6.1.2　导数及其几何意义

1.B　函数f(x)从-1到1的平均变化率为=1.

故选B.

2.D　f'(1)=1-=0.

3.A　由题意可知,=2+Δx.

故选A.

4.ABCD　对于选项A,由已知可得h(3)=24,则当t∈[0,3]时,球滚下的垂直距离的改变量Δh=h(3)-h(0)=24m,即选项A正确;

对于选项B,由已知可得h(2)=12,h(3)=24,在[2,3]这段时间内球滚下的垂直距离的改变量Δh=h(3)-h(2)=12m,即选项B正确;

对于选项C,h(0)=0,h(3)=24,则在[0,3]上球的平均速度为=8m/s,即选项C正确;

对于选项D,在[2,3]这段时间内球的平均速度为=12m/s,即选项D正确,

故选ABCD.

5.C　∵直线l经过(-1,0),(0,1)两点,∴l:y=x+1.

由直线与曲线y=f(x)相切于点A(2,3),

可得曲线在x=2处的导数为f'(2)=1,

∴f'(2)==1.

6.　∵=kMA,

=kAB,=kBC,

由图象可知,kMA<kAB<kBC,∴.

7.C　f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2+(1+Δx)-1-1=(Δx)2+3Δx,

∴(Δx+3)=3,故选C.

8.解(1)落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度是

=gt0+gd.

(2)由(1)知落体在[10,10+Δt]这段时间的平均速度是=10g+gΔt,

所以=10g,

所以落体在t=10s这一时刻的瞬时速度是10g.

9.解(1)设切点为(x0,y0),

∵f'(x0)=

==2x0,

∴f'(1)=2.

∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),

即2x-y-1=0.

(2)点P(3,5)不在曲线y=f(x)上,设切点为A(x0,y0),

由(1)知,f'(x0)=2x0,

∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),

由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0), ①

再由A(x0,y0)在曲线y=f(x)上得y0=, ②

联立①②得x0=1或x0=5.

当切点为(1,1)时,

切线的斜率为k1=2x0=2,

此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0;

当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,

此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.

综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.

10.D　∵

==-1,

∴=-2,

即f'(1)=-2.

由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=-2,故选D.

11.B　①在[t1,t2]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以甲的平均分出量小于乙,故①错误;

②在[t2,t3]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以乙的平均分出量大于甲,故②正确;

③在t2时刻,乙的图象比甲的图象倾斜程度高,瞬时增长率大,故③正确;

④甲的图象为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,故④错误.

故选B.

12.BCD　对于A,

=

=(3+Δt)=3,

即物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s,A错误.

对于B,

=(1+Δt)=1,

即物体在t=0s时的瞬时速度为1m/s,B正确.

对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s,

又(2t0+1+Δt)=2t0+1=9,

所以t0=4,物体在t=4s时的瞬时速度为9m/s,C正确.

对于D,=2(m/s),D正确.

故选BCD.

13.AC　设点P的横坐标为x0,

则点P处切线的倾斜角α与x0的关系为tanα=f'(x0)==2x0+2.

∵α∈,

∴tanα∈[1,+∞),

∴2x0+2≥1,即x0≥-,

故选AC.

14.2x+5　因为f(x+h)-f(x)=2hx+5h+h2,

所以f'(x)=(2x+5+h)=2x+5.

15.(0,0)　设P(x0,y0),

则f'(x0)=(2x0+2+Δx)=2x0+2.

因为点P处的切线垂直于直线x+2y=0,

所以点P处的切线的斜率为2,

所以2x0+2=2,解得x0=0,即点P的坐标是(0,0).

16.解∵f'(a)==3a2,

∴曲线在(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a),切线与x轴的交点为.

∴三角形的面积为|a3|=,得a=±1.

17.解(1)设过点A(1,0)的切线的切点为P,

则f'(x0)==-,即该切线的斜率为k=-.

因为点A(1,0),P在切线上,

所以=-,

解得x0=.

故切线的斜率k=-4.

故曲线过点A(1,0)的切线方程为y=-4(x-1),

即4x+y-4=0.

(2)设斜率为-的切线的切点为Q,

由(1)知,k=f'(a)=-=-,得a=±.

所以切点坐标为或-,-.

故满足斜率为-的曲线的切线方程为y-=-(x-)或y+=-(x+),

即x+3y-2=0或x+3y+2=0.