数学选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率同步训练题

课后素养落实(十一)　函数的平均变化率

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　)

A．3　　　B．2　　　C．1　　　D．4

B　[由已知得：＝3，

∴m＋1＝3，∴m＝2．]

2．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为(　　)

A．3  B．0.29

C．2.09 D．2.9

D　[f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2．

f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71．

∴平均变化率为＝＝2.9，故选D．]

3．一运动物体的运动路程s(x)与时间x的函数关系为s(x)＝－x2＋2x，则s(x)从2到2＋Δx的平均速度为(　　)

A．2－Δx B．－2－Δx

C．2＋Δx D．(Δx)2－2·Δx

B　[∵s(2)＝－22＋2×2＝0，

s(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)

＝－2Δx－(Δx)2，

∴＝－2－Δx，故选B．]

4．已知函数y＝f(x)＝x2＋1的图像上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则等于(　　)

A．2 B．2Δx

C．2＋Δx D．2＋(Δx)2

C　[2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2，

∴Δy＝(Δx)2＋2Δx，∴＝2＋Δx．]

5．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则(　　)

A．k1>k2 B．k1<k2

C．k1＝k2 D．不确定

A　[∵k1＝＝2x0＋Δx，

k2＝＝2x0－Δx，

又由题意知Δx>0，故k1>k2．]

二、填空题

6．已知函数y＝f(x)＝，则此函数在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为________．

－　[＝＝＝．]

7．已知函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间[t，1]上的平均变化率为2，则t＝__________．

－2　[因为Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，所以＝＝－t，

又因为＝2，所以t＝－2．]

8．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒，那么在后50米他的平均速度是________米/秒．(精确到0.01)

11.93　[Δs＝100－50＝50，Δt＝9.69－5.50＝4.19，＝≈11.93米/秒．]

三、解答题

9．计算函数f(x)＝x2在区间[1，1＋Δx]上(Δx>0)的平均变化率，其中Δx的值为：

(1)2；　(2)1；　(3)0.1；　(4)0.01．

并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？

[解]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，

∴＝＝Δx＋2．

(1)当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4；

(2)当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3；

(3)当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1；

(4)当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01．

∴当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2．

10．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．

[解]　∵函数y＝f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝＝－3－Δx，

∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2．又∵Δx>0，∴Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．

1．设函数f(x)＝2x＋1在区间[－3，－1]上的平均变化率为a，在区间[3，5]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是(　　)

A．a>b B．a<b

C．a＝b D．不确定

C　[由已知可得a＝＝2，b＝＝2，因此a＝b．]

2．在x＝1附近取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是(　　)

A．④  B．③  C．②  D．①

B　[根据平均变化率的定义计算知y＝x3的最大．]

3．已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．

5　4.1　[当Δx＝1时，割线AB的斜率

k1＝＝＝＝5．

当Δx＝0.1时，割线AB的斜率

k2＝＝＝4.1．]

4．物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图，则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”“大于”或“小于”)．

等于　[由图可知，在[0，t0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同．]

路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．

(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；

(2)求人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率．

[解]　(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则＝，

即＝，

所以y＝f(x)＝x．

(2)84 m/min＝1.4 m/s，在[0，10]内自变量的增量为

x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，

f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝．

所以＝＝．

即人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率为．