数学必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用课时作业

第六章6.3　平面向量线性运算的应用

A级 必备知识基础练

1.[探究点一](多选题)若O是△ABC所在平面内一点,且满足||=|-2|,则△ABC的形状不可能是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

2.[探究点二·2023陕西榆林高一]某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为500 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为(　　)(参考数据:重力加速度大小g取10 m/s2,≈1.732)

A.81 B.87 C.89 D.91

3.[探究点一]△ABC所在平面内一点P满足=m(m>0,m为常数),若△ABP的面积为6,则△ABC的面积为　　　　　. 

4.[探究点二]在静水中划船速度的大小是每分钟40 m,水流速度的大小是每分钟20 m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,那么小船的行进方向应指向哪里?

B级 关键能力提升练

5.已知O是平面内的一定点,A,B,C是平面内不共线的三个动点,若动点P满足+λ(),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

6.P是△ABC所在平面内一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

7.(多选题)在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论正确的是              (　　)

A.

B.)

C.=0

D.=0

8.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ,则λ=　　　　　,μ=. 

9.在△ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且,AD与BE交于点R,证明:.

C级 学科素养创新练

10.设O为△ABC内一点,且满足关系式+2+3=3+2,则S△BOC∶S△AOB∶S△COA=　　　　　. 

11.如图所示,O,A,B三点不共线,=2=3,BC,AD交于点E,设=a,=b.

(1)试用a,b表示向量;

(2)设线段AB,OE,CD的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N三点共线.

12.如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.

(1)用 和 表示;

(2)设=λ+μ,求λ,μ的取值范围.

参考答案

6.3　平面向量线性运算的应用

1.AD　设点M为BC边的中点,由题意可得

||=||,

|-2|=|2-2|=2||,

据此结合题意可知CB=2AM,

由三角形的性质可知,△ABC的形状是直角三角形.

故选AD.

2.B　设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,则|F1|=|F2|=500,<F1,F2>=60°,

∴|F1+F2|==500≈866,

∴10m=866,

解得m=86.6≈87.

∴学生的体重约为87kg.故选B.

3.12　取AC的中点O,

∵=m(m>0,m为常数),

∴m=2,

∴点C到直线AB的距离等于点P到直线AB的距离的2倍,

∴S△ABC=2S△ABP=12.

4.

解如图所示,设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,连接OC.

依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,

∴∠BOC=30°.

故小船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.

5.C　由题意,得=λ(),即=λ(),根据平行四边形法则,知是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.

6.B　由||=|-2|,可得||=||,即||=||,

所以四边形ABCD为矩形,因此,△ABC是直角三角形.故选B.

7.CD　,故A错误;

)=,故B错误;

)=0,故C正确;

=-)+)+)=-)=0,故D正确.

故选CD.

8.　以D为原点,DC边所在直线为x轴,DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

不妨设AB=1,则D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴=(-2,2),=(-2,1),=(1,2).

∵=λ+μ,

∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),

∴解得

9.证明由A,D,R三点共线,可得=λ+(1-λ)+(1-λ).

由B,E,R三点共线,可得=μ+(1-μ)=μ(1-μ).∴

∴,

∴-==.

10.3∶2∶1　∵+2+3=3+2=3()+2()+(),

∴3+2=0,

∴+2+2=0.

分别取AB,AC的中点为D,E,则=2,点O为线段DE的三等分点(靠近点E).

延长AO交BC于点F,∴S△AOB=S△ABF=S△ABC=S△ABC,

S△AOC=S△ACF=S△ABC=S△ABC,

S△BOC=S△ABC.

∴S△BOC∶S△AOB∶S△COA=S△ABC∶S△ABC∶S△ABC=3∶2∶1.

11.(1)解∵B,E,C三点共线,

∴令=x+(1-x)=2xa+(1-x)b, ①

同理,∵A,E,D三点共线,

令=y+(1-y)可得=ya+3(1-y)b, ②

由①②,得解得

∴a+b.

(2)证明∵)=,

∴,

∴=6.

又交于点M,∴L,M,N三点共线.

12.解(1)因为M为AB上靠近B的三等分点,所以).

又CB∥OA,且CB=OA,所以.

则)=)==.即.

(2)根据题意,因为OA⊥OC,故以O为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系:

设OA=2,则A(2,0),C(0,1),B(1,1),O(0,0),

因为点P在线段BC上运动,故可设其坐标为(m,1),0≤m≤1,

则=(1,1),=(2,-1),=(m,1).

由=λ+μ可得1=2λ+μm,1=-λ+μ,

则μ=,λ=μ-1.

因为m∈[0,1],则m+2∈[2,3],故μ∈,λ∈.