人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理达标测试

二十八　向量基本定理

基础练习

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.下面说法中,正确的是 (　　)

①一个平面内只有一对不共线向量可作为该平面上向量的基底;

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面上所有向量的基底;

③零向量不可以作为基底中的向量.

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

解析:选B.由题意知,只要是不共线的一对向量就可以作为该平面上向量的基底,故说法①错;说法②③显然正确.

2.如图,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则= (　　)

A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2)

C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1)

解析:选A.==(+) =(+)=(5e1+3e2).

3.在四边形ABCD中,=,且||=||,则这个四边形是 (　　)

A.平行四边形 B.矩形

C.等腰梯形 D.菱形

解析:选C.=,说明DC与AB平行且不相等.

又||=||,所以AD=BC,所以这个四边形是等腰梯形,C正确.

4.设a,b是不共线的向量,=a+kb,=ma+b(k,m∈R),则当A,B,C三点共线时,有 (　　)

A.k=m B.km-1=0

C.km+1=0 D.k+m=0

解析:选B.因为A,B,C三点共线,

所以=n,

所以a+kb=mna+nb,

所以,所以km-1=0.

5.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ (λ∈R),则x,y满足的关系是 (　　)

A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0

C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0

解析:选A.由=λ,得-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又因为2=x+y,

所以

消去λ得x+y=2,即x+y-2=0.

6.(多选题)下列说法不正确的是 (　　)

A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量可能不平行

解析:选AB.对于A:当b为零向量时,a与c不一定共线.对于B:四点可能在同一条直线上.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.关于向量a,b有

A.a=2e,b=-2e,

B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2;

C.a=4e1-e2,b=e1-e2;

D.a=e1+e2,b=2e1-2e2.(其中e1,e2不共线)

其中a,b共线的有　　　　(填上所有正确的选项). 

解析:A中a=-b,所以a∥b;

B中b=-2a,所以a∥b;

C中a=4e1-e2=4b,所以a∥b;

D中不存在非零实数λ,使a=λb,所以a与b不共线.

答案:ABC

8.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底{e1+e2,e1-e2}下可表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=　　　,μ=　　　　. 

解析:由条件得2e1+3e2=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),

所以,解得

答案:　-

三、解答题(共10分)

9.已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.

解析:因为ke1+e2与e1+ke2共线,

所以存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),

则(k-λ)e1=(λk-1)e2,

由于e1与e2不共线,只能有

所以k=±1.

【补偿训练】

　　　已知3=,2=,=t(+),问实数t为何值时,C,D,E三点在同一直线上?

解析:(1)当,共线时,t为任何值均可.

　　　(2)当,不共线时,由C,D,E三点共线,得=λ+(1-λ)·=3(1-λ)+2λ=t+t.

　　　所以所以t=.

所以当t=时,C,D,E三点共线.

提升练习

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是该平面内所有向量基底的是 (　　)

A., B.,

C., D.,

解析:选D.由于,不共线,所以是一组基底.

2.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA,记=m,=n,则= (　　)

A.3m-2n B.-2m+3n

C.3m+2n D.2m+3n

解析:选B.因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,即-=2(-),所以=3-2=3n-2m=-2m+3n.

3.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,若以a,b为基底,则=              (　　)

A.a-b  B.a-b

C.a+b D.a+b

解析:选D.连接OD,CD,显然∠BOD=∠CAO=60°,则AC∥OD,且AC=OD,即四边形CAOD为菱形,故=+=a+b.

4.(多选题)若点O是线段BC外一点,点P是平面上任意一点,且=λ+μ(λ,μ∈R),则下列说法正确的有              (　　)

A.若λ+μ=1且λ>0,则点P在线段BC的延长线上

B.若λ+μ=1且λ<0,则点P在线段BC的延长线上

C.若λ+μ>1,则点P在△OBC外

D.若λ+μ<1,则点P在△OBC内

解析:选BC.因为=λ+μ(λ,μ∈R)

若λ+μ=1且λ>0,则=λ+(1-λ)=+λ(-),

故-=λ(-),即=λ,又λ>0,则点P在线段BC或其反向延长线上,A错误;若λ+μ=1且λ<0,同上可得=λ,而λ<0,则点P在线段BC的延长线上,B正确;若λ+μ>1,=λ+(1-λ)+(λ+μ-1),同上可得=λ+(λ+μ-1),当λ+μ>1时,λ+μ-1>0,根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外,C正确;若λ+μ<1,不妨令λ=0,μ=-1则=-,很显然此时点P在线段CO的延长线上,不在△OBC内,D错误.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.设a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则实数λ的值等于　　　　. 

解析:因为向量a+λb与-(b-2a)共线,

所以存在实数k,使得a+λb=-k(b-2a)=-kb+2ka,所以所以

答案:-

6.已知O为△ABC所在平面内一点,且+2+4=0,若S△ABC=14,则S△AOB=　　　　　. 

解析:如图所示,延长OB到点D,使得BD=OB,延长OC到点E,使得CE=3OC,

连接AD,DE,AE,

因为O为△ABC所在平面内一点,且满足+2+4=0,

所以++=0,

所以O为△ADE的重心,

所以S△AOB=S△AOD,S△AOC=S△AOE,S△C O B=S△EOD,

又S△AOE=S△AOD=S△EOD,所以S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=∶∶=4∶2∶1,又S△ABC=14,所以S△AOB=S△ABC=×14=8.

答案:8

7.在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为点M,又=t,则t的值为　　　　. 

解析:因为=+,

所以3=2+,

即2-2=-,所以2=, 即P为AB的一个三等分点,如图所示.

因为A,M,Q三点共线, 所以存在实数x使=x+(1-x) =+(x-1),又=-,

所以=+-1.

又=-=-=-+,

由已知=t,

可得+-1=t-+,又,不共线,

所以解得t=.

答案:

8.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为x=　　　　,y=　　　　. 

解析:因为向量e1与e2不共线,

所以解得

答案:3　4

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.设a,b是两个不共线的非零向量,若a,b起点相同,t∈R,当t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在一条直线上?

解析:设a-tb=λ[a-(a+b)](λ∈R).

化简整理得λ-1a+t-λb=0.

因为a,b不共线,所以所以当t=时,a,tb,(a+b)三向量的终点在一条直线上.

10.如图所示,平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N是BC的中点, 设=b,=d,=m,=n.

(1)试以b,d为基底表示.

(2)试以m,n为基底表示.

解析:(1)=-

=(+)-(+)

=b+d-d+b=(b-d).

(2)m=+=d+,①

n=+=+d,

所以2n=2+d.②

由①②消去d,得=n-m.

11.如图,平面内有三个向量,,.其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.

【解题指南】根据向量加法的平行四边形法则,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形,将问题转化到平行四边形中求解.

解析:如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则=+.

在Rt△OCD中,

因为||=2,∠COD=30°,

∠OCD=90°,所以||=4,||=2,

故=4,=2,即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.