人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.3 概率5.3.5 随机事件的独立性一课一练

第五章5.3.5　随机事件的独立性

A级 必备知识基础练

1.[探究点一·2023广东揭阳高一期末]若随机事件A,B满足P(AB)=,P(A)=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　)

A.互斥 B.相互独立

C.互为对立 D.互斥且独立

2.[探究点三]现有航天员甲、乙、丙三个人,进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务,工作时间不超过10分钟,如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务,10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人,每个人只派出一次.已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为,每个人能否完成任务相互独立,该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出,则试验任务成功的概率为(　　)

A. B. C. D.

3.[探究点一](多选题)对于事件A,B,下列说法正确的是(　　)

A.如果A,B互斥,那么也互斥

B.如果A,B对立,那么也对立

C.如果A,B独立,那么也独立

D.如果A,B不独立,那么也不独立

4.[探究点二]从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　)

A. B. 

C. D.

5.[探究点二]有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为　　　　. 

6.[探究点二]射击队某选手命中环数的概率如下表所示:

该选手射击两次,两次命中环数相互独立,则他至少命中一次9环或10环的概率为　　　　　. 

7.[探究点二·北师大版教材习题]在某项1 500 m体能测试中,甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是,且甲、乙两人是否通过体能测试互相独立.求:

(1)两人都通过体能测试的概率;

(2)恰有一人通过体能测试的概率;

(3)至少有一人通过体能测试的概率.

8.[探究点二·2023江西丰城期末]甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,甲、乙都中靶的概率为0.72,甲、乙是否中靶相互独立.求下列事件的概率.

(1)乙中靶;

(2)恰有一人中靶;

(3)至少有一人中靶.

B级 关键能力提升练

9.端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为              (　　)

A. B. C. D.

10.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为p,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=(　　)

A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2

11.(多选题)[2023浙江杭州余杭高二]分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6),设事件M=“第一枚骰子的点数为奇数”,事件N=“第二枚骰子的点数为偶数”,则(　　)

A.M与N互斥 B.M与N不对立

C.M与N相互独立 D.P(M∪N)=

12.某班甲、乙、丙、丁四名同学竞选班委,每个人是否当选相互独立,如果甲、乙两名同学都不当选的概率为,乙、丙两名同学都不当选的概率为,甲、丙两名同学都不当选的概率为,丁当选的概率为,则甲、乙、丙、丁四名同学中恰好有一人当选班委的概率是　　　　　. 

13.在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的.

(1)求乙答对这道题的概率;

(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人答对这道题的概率.

14.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值,假设所有电影是否获得好评相互独立.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率.

C级 学科素养创新练

15.[2023河北石家庄高二]甲、乙两位队员进行对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜,通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的概率为,乙发球甲赢的概率为,不同球的结果互不影响,已知某局甲先发球.

(1)求该局打4个球甲赢的概率;

(2)求该局打5个球结束的概率.

参考答案

5.3.5　随机事件的独立性

1.B　因为P(A)=,P(B)=,

P(AB)=≠0,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立,不互斥也不对立.

故选B.

2.D　试验任务成功的事件M是甲成功的事件M1,甲不成功乙成功的事件M2,甲乙都不成功丙成功的事件M3的和,

事件M1,M2,M3互斥,P(M1)=,P(M2)=1-×,P(M3)=1-×1-×,

所以试验任务成功的概率P(M)=P(M1+M2+M3)=.

故选D.

3.BCD　如果A,B互斥,由互斥事件的定义得不一定互斥,故A错误;

如果A,B对立,由对立事件的定义得也对立,故B正确;

如果A,B独立,由相互独立事件的定义得也独立,故C正确;

如果A,B不独立,由相互独立事件的定义得也不独立,故D正确.故选BCD.

4.B　设事件A:“从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格”,则其对立事件B:“从中任挑一儿童,这两项都不合格”,由题可知,儿童体型不合格的概率为,身体关节构造不合格的概率为,所以P(B)=,故P(A)=1-P(B)=1-.

5.　甲、乙两人都未能解决的概率为1-×1-=.

6.0.84　该选手射击一次,命中的环数低于9环的概率为1-0.32-0.28=0.4,该选手射击两次,两次命中的环数都低于9环的概率为0.4×0.4=0.16,所以他至少命中一次9环或10环的概率为1-0.16=0.84.

7.解记“甲通过体能测试”为事件A,“乙通过体能测试”为事件B,则事件A与事件B相互独立,且P(A)=,P(B)=.

(1)两人都通过体能测试的概率为P(AB)=P(A)P(B)=.

(2)恰有一人通过体能测试的概率为P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=.

(3)因为两人都未通过体能测试的概率为P()=P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)]=,

所以至少有一人通过体能测试的概率P=1-P()=.

8.解(1)设甲中靶为事件A,乙中靶为事件B,

则事件A与事件B相互独立,

∵P(A)=0.8,P(AB)=0.72,

∴P(B)==0.9,

故乙中靶的概率为0.9.

(2)设恰有一人中靶为事件C,则P(C)=P(A)+P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,

故恰有一人中靶的概率为0.26.

(3)设至少有一人中靶为事件D,

则P(D)=1-P()=1-0.2×0.1=0.98,

故至少有一人中靶的概率为0.98.

9.C　设甲、乙、丙回家过节分别为事件A,B,C,至少1人回老家过节为事件D,则P(D)=1-P()=1-P()P()P()=1-.故选C.

10.A　由题意可得p+p(1-p)+p(1-p)2=0.784,

整理可得p(2-p+1-2p+p2)=p(p2-3p+3)=0.784,将各选项中的数分别代入方程可知A项正确.

11.BCD　事件M与N是可能同时发生的,故M与N不互斥,故A不正确;

事件M与N不互斥,不是对立事件,故B正确;

事件M发生与否对事件N发生的概率没有影响,M与N相互独立,故C正确;

事件M发生的概率为P(M)=,事件N发生的概率为P(N)=,P(M∪N)=1-P()P()=1-,故D正确.

故选BCD.

12.　设甲、乙、丙、丁当选的事件分别为A,B,C,D,

则P(D)=

解得

因为事件A,B,C,D相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(A)+P()+P()+P(D)=P(A)P()P()P()+P()P(B)P()P()+P()P()·P(C)P()+P()P()P()P(D)=.

13.解(1)记甲、乙、丙答对这道题分别为事件A,B,C,

设乙答对这道题的概率P(B)=x,

由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A,B,C是相互独立事件.

由题意,得P()=P()P()=×(1-x)=,解得x=,即乙答对这道题的概率为.

(2)设“甲、乙、丙三人中至少有一人答对这道题”为事件M,丙答对这道题的概率P(C)=y.

由题意得P(BC)=P(B)P(C)=×y=,

解得y=.

甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P()=P()P()P()=.

因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对立事件,所以所求事件概率为P(M)=1-.

14.解(1)由题表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000,获得好评的第四类电影部数为200×0.25=50,所以所求概率为=0.025.

(2)记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事件A,“从第五类电影中随机选取的1部获得好评”为事件B,则事件“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”可表示为AB,

由题表知,P(A)=0.25,P(B)=0.2,

因为所有电影是否获得好评相互独立,所以P()=1-P(A)=0.75,P()=1-P(B)=0.8,

所以P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35,

从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率为0.35.

15.解(1)设甲发球甲赢为事件A,乙发球甲赢为事件B,该局打4个球甲赢为事件C,

由题知,P(A)=,P(B)=,且C=AAB,

∴P(C)=P(AAB)=P(A)P()P(A)P(B)=,

∴该局打4个球甲赢的概率为.

(2)设该局打5个球结束时甲赢为事件D,乙赢为事件E,打5个球结束为事件F,易知事件D,E为互斥事件,

D=BA,E=A,F=D∪E,

∴P(D)=P(BA)=P()P(B)P()P(B)P(A)=1-××1-×,

P(E)=P(A)=P(A)P()P(A)P()P()=×1-××1-×1-=,

∴P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=,

∴该局打5个球结束的概率为.