高中数学5.3.5 随机事件的独立性导学案

5.3.5　随机事件的独立性

知识点1　相互独立事件的定义和性质

(1)定义：设A，B为两个事件，一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与事件B相互独立．(简称独立)

(2)性质：如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．

1．设A与B是相互独立事件，下列命题中正确的有(　　)

①A与B对立；②A与相互独立；③A与B互斥；④与B相互独立；⑤P(AB)＝P(A)·P(B)．

A．1个　　　　 B．2个

C．3个 D．5个

C　[由相互独立事件的性质及概率公式可知②④⑤正确．]

知识点2　n个事件相互独立与独立事件的概率公式

1．n个事件相互独立

对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．

2．独立事件的概率公式

(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．

(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．

2.在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．

　[由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝××＝.]

类型1　相互独立事件的判断

【例1】　判断下列各对事件是否是相互独立事件．

(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．

[思路探究]　由题目可获取以下主要信息：(1)给出各对事件共三组．(2)要求判断各对事件是不是相互独立事件．解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两个事件是否相互独立．

[解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，

所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.

所以P(AB)＝P(A)P(B)，

所以事件A与B相互独立．

判断事件是否相互独立的方法有哪两种？

[提示]　(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)．

(2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)

A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”

B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”

C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”

D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”

(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)

A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥

(1)A　(2)A　[(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；对于D，事件B受事件A的影响．故选A．

(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A．]

类型2　相互独立事件概率的计算

1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件B与A呢？

[提示]　事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而B与A是互斥事件．

2．在尝试与发现1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？

[提示]　“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝B＋A.

所以P(C)＝P(B＋A)＝P(B)＋P(A)

＝P()·P(B)＋P(A)·P()

＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.

【例2】　(对接教材P116例3)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．

(1)求3人同时被选中的概率；

(2)求3人中至少有1人被选中的概率．

[解]　设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

(1)3人同时被选中的概率

P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.

(2)3人中有2人被选中的概率

P2＝P(AB＋AC＋BC)

＝××＋××＋××＝.

3人中只有1人被选中的概率

P3＝P(A ＋B＋ C)＝××＋××＋××＝.

故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝.

1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：

①首先确定各事件之间是相互独立的；

②确定这些事件可以同时发生；

③求出每个事件的概率，再求积．

2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．

类型3　相互独立事件概率的综合应用

【例3】　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．

[解]　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.

电路不发生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一个正常工作，T2，T3至少有一个正常工作的概率P1＝1－P(2)P(3)＝1－×＝，

所以电路不发生故障的概率P＝P1×P(A1)＝×＝.

求较为复杂事件的概率的方法

(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；

(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立．或者是相互独立)，列出关系式；

(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．

2．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．

[解]　记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.

法一：该选手被淘汰的概率为

P(1)＋P(A1∩2)＋P(A1∩A2∩3)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＝＋×＋××＝.

法二：该选手被淘汰的概率为

1－P(A1∩A2∩A3)＝1－××＝.

1．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是(　　)

A．相互独立事件　　 B．不相互独立事件

C．互斥事件 D．对立事件

A　[由概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．]

2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解对的概率为P1，乙解对的概率为P2，那么至少有1人解对的概率是(　　)

A．P1＋P2

B．P1·P2

C．1－P1P2

D．1－(1－P1)(1－P2)

D　[设甲解对为事件A，乙解对为事件B，

则P(A)＝P1，P(B)＝P2.

则P＝1－P(·)＝1－(1－P1)(1－P2)．]

3．一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是(　　)

A．　 B．　　　　

C．　　　　 D．

C　[由题意知，恰有一次通过的概率为×＋×＝.]

4．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球都是红球的概率为________．(答案用分数表示)

　[从甲袋中取出一个红球的概率为＝，从乙袋中取出一个红球的概率为，故取出的两个球都是红球的概率为×＝.]

5．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，.假设他们破译密码是彼此独立的，此密码被破译的概率为________．

　[用A，B，C分别表示三人破译出密码，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

且P()＝P()P()P()＝××＝，

所以此密码被破译的概率为1－＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．你对随机事件的独立性定义是怎样理解的？

[提示]　事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率．

2．如何用语言描述相互独立事件同时发生的概率？

[提示]　相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．

3．相互独立事件与互斥事件的区别是什么？

[提示]　

(教师独具)

不同赛制的可靠性探究

乒乓球比赛规则如下：

在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为胜方；

1场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；

一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超过1分钟的休息时间．

某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．

1．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？

[提示]　甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P1＝0.62＋2×0.62×(1－0.6)＝0.648.

2．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？

[提示]　甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P2＝0.63＋3×0.63×(1－0.6)＋6×0.63×(1－0.6)2＝0.682 56.

3．两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同)

[提示]　甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率p＞.采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3＝p2＋2p2(1－p)．

采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4＝p3＋3p3(1－p)＋6p3(1－p)2.而P4－P3＝p2(6p3－15p2＋12p－3)＝3p2(p－1)2(2p－1)．因为p＞，所以P4＞P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大．

所以五局三胜制更能选拔出最强的选手．