人教B版 (2019)必修 第二册5.3.3 古典概型练习题

第五章5.3.3　古典概型

A级 必备知识基础练

1.[探究点三]一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为(　　)

A. B. C. D.

2.[探究点一]下列试验中是古典概型的是(　　)

A.种下一粒花生,观察它是否发芽

B.向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合

C.从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率

D.在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率

3.[探究点二·2023广西钦州统考模拟预测]现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩,则蓝、白口罩同时被选中的概率为　　　　. 

4.[探究点二]连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是　　　　　;“至少有2枚反面朝上”的概率是　　　　　. 

5.[探究点三]口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲胜,否则算乙胜.

(1)求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率.

(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

B级 关键能力提升练

6.(多选题)[2023湖北咸宁高二校考阶段练习]随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,则(　　)

A.可以排成9个不同的三位数

B.所得的三位数是奇数的概率为

C.所得的三位数是偶数的概率为

D.所得的三位数大于400的概率为

7.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是 (　　)

A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为

B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是

C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为

D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为

8.(多选题)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动,该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,则下列结论正确的是(　　)

A.应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人

B.第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为

C.第5组志愿者被抽中的概率为

D.第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为

9.在抛掷一颗骰子(一种正方体玩具,六个面分别标有1,2,3,4,5,6字样)的试验中,事件A表示“不大于3的奇数点出现”,事件B表示“小于4的点数出现”,则事件A+的概率为　　　　　. 

10.[2023湖北宜昌高二校联考]一个盒子中装有四张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片,每张卡片被抽到的概率相等.

(1)若一次抽取三张卡片,求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率;

(2)若第一次抽一张卡片,放回后搅匀再抽取一张卡片,求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率.

C级 学科素养创新练

11.[北师大版教材习题改编]某次茶话会上,共安排4个节目,其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目,按任意次序排出一个节目单,试求下列事件的概率:

(1)舞蹈在最前或最后;

(2)舞蹈和小品1个在最前、1个在最后;

(3)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后;

(4)两个歌唱节目相邻;

(5)舞蹈排在小品之前.

参考答案

5.3.3　古典概型

1.B　设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A,则样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),…,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,其中事件A={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)},包含6个样本点,所以P(A)=.故选B.

2.C　A选项中试验不具备等可能性;B,D选项中试验不具备有限性,故选C.

3.0.3　从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩,则样本点有(蓝,白,红),(蓝,白,黑),(蓝,白,绿),(蓝,红,黑),(蓝,红,绿),(蓝,黑,绿),(白,红,黑),(白,红,绿),(白,黑,绿),(红,黑,绿),共有10个.其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有(蓝,白,红),(蓝,白,黑),(蓝,白,绿),共3个,所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为0.3.

4.　样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1=,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率P2=.

5.解(1)设“甲胜且编号的和为6”为事件A.

甲编号为x,乙编号为y,(x,y)表示一个样本点,则两人摸球结果的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),…,(5,4),(5,5)},共25个样本点,A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5个样本点.

所以P(A)=.

所以甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为.

(2)这种游戏不公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.记D为“两个编号的和为偶数”.

D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)},共包含13个样本点.

所以甲胜的概率为P(B)=P(D)=,乙胜的概率为P(C)=1-.

因为P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.

6.BD　随机地排列数字1,5,6可以得到的三位数有156,165,516,561,615,651,共6个,故A不正确;

其中奇数有165,561,651,615,共4个,所以所得的三位数是奇数的概率为,故B正确;

其中偶数有156,516,共2个,所以所得的三位数是偶数的概率为,故C不正确;

其中大于400的有516,561,615,651,共4个,所以所得的三位数大于400的概率为,故D正确.

故选BD.

7.ABC　对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)},共3个样本点,记A:甲被选中,则A={(甲,乙),(甲,丙)},共2个样本点,故甲被选中的概率为P=,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共包含4个样本点,而能构成三角形的样本点为(3,5,7),所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,则蚂蚁能获得食物的概率为,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中元素的概率为,故D错误.

8.ABC　第3组抽取的人数为×6=3,

第4组抽取的人数为×6=2,

第5组抽取的人数为×6=1,故A正确;

设第3组的人分别为a,b,c,第4组的人分别为d,e,第5组的人为f,

则6人中随机抽取2人的样本点为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15个,

其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8个样本点,

则其概率为,故B正确;

第5组志愿者被抽中有5个样本点,

其概率为,故C正确;

第3组志愿者至少有一人被抽中有12个样本点,

其概率为,故D错误.

故选ABC.

9.　依题意,抛掷一颗骰子的试验,其样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},共包含6个样本点,它们等可能,其中事件A有2个样本点,事件有3个样本点.

于是有P(A)=,P()=,而事件A和是互斥的,则P(A+)=P(A)+P()=,

所以事件A+的概率为.

10.解(1)设A表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于8”,

∵从四张卡片中任取三张卡片的样本点是(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4个.

其中数字之和大于8的是(2,3,4),

∴P(A)=.

(2)设B表示事件“至少有一次抽到写有数字2的卡片”,

每次抽1张,有放回地连续抽取两张的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.

事件B包含的样本点有(1,2),(2,2),(2,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),共7个.

∴P(B)=.

11.解将2个歌唱节目分别记为1,2,将舞蹈、小品节目分别记为3,4,按任意次序排出一个节目单,依题意可知,其样本空间中包含的所有样本点:(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),共24个.

(1)设“舞蹈在最前或最后”为事件A,则满足A的样本点有12个,所以P(A)=.

(2)设“舞蹈和小品1个在最前、1个在最后”为事件B,则满足B的样本点有4个,所以P(B)=.

(3)设“舞蹈和小品至少有1个在最前或最后”为事件C,则满足C的样本点有20个,所以P(C)=.

(4)设“两个歌唱节目相邻”为事件D,则满足D的样本点有12个,所以P(D)=.

(5)设“舞蹈排在小品之前”为事件E,则满足E的样本点有12个,所以P(E)=.