高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.5 随机事件的独立性教课内容课件ppt

课后素养落实(十九)　随机事件的独立性

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%,3%,5%,3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为(　　)

A．22.5%　　　　　　 B．15.5%

C．15.3% D．12.4%

D　[四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品．设“加工出来的零件是次品”为事件A，则P()＝(1－2%)×(1－3%)×(1－5%)×(1－3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率为12.4%.]

2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)

A．互斥事件 B．相互独立事件

C．对立事件 D．不是相互独立事件

D　[根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．]

3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)

A． B．

C． D．

A　[问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.]

4．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙两贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为(　　)

A． B．

C． D．

C　[两户中至少有一户获得扶持资金的概率为P＝×＋×＋×＝.]

5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)

A． B．

C． D．

D　[由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，

∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，

∴P()＝P()＝，∴P(A)＝.]

二、填空题

6．两个人通过某项专业测试的概率分别为，，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．

　[二人均通过的概率为×＝，

∴至多有一人通过的概率为1－＝.]

7．甲、乙两人同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．

0.65　[由题意知P＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.]

8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．

　　[甲、乙两人都未能解决的概率为

＝×＝，

问题得到解决就是至少有1人能解决问题，

∴P＝1－＝.]

三、解答题

9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，求灯亮的概率．

[解]　记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件，

则P()＝P(A)＋P(B)＋P( )＝，

则灯亮的概率为P＝1－P(  )＝1－P()P()·P()＝1－＝.

10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

(1)2人都射中目标的概率；

(2)2人中恰有1人射中目标的概率；

(3)2人至少有1人射中目标的概率；

(4)2人至多有1人射中目标的概率．

[解]　设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件，且P(A)＝0.8，P(B)＝0.9.

(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.

(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)．根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为

P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)

＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9

＝0.08＋0.18＝0.26.

(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.

(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为P＝P( )＋P(A)＋P(B)＝P()P()＋P(A)P()＋P()·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.

11．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是(　　)

A． B． 

C．　　　 D．

A　[由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A只有两条途径：

第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；

第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝，

所以跳三次之后停在A上的概率为

P1＋P2＝＋＝.]

12．(多选题)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有(　　)

A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”

B．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”

C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”

D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”

CD　[在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件，故选CD．]

13．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝______；当A，B互斥时，P(A＋B)＝______.

0.65　0.8　[当A，B相互独立时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.

当A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)＝0.8.]

14．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，则A与B同时发生的概率的最大值为________．

　[事件A与B同时发生的概率为p(1－p)＝p－p2(p∈[0,1])，当p＝时，最大值为.]

15．为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表：

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．

[解]　方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元，由题表可知，采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.

方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元．由题表可知，联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率为1－(1－0.9)×(1－0.7)＝0.97.

联合甲、丁或乙、丙或乙、丁或丙、丁两种预防措施，此突发事件不发生的概率均小于0.97.

所以联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.97.

方案3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，

故只能联合乙、丙、丁三种预防措施．

此时突发事件不发生的概率为

1－(1－0.8)×(1－0.7)×(1－0.6)＝0.976.

由三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使突发事件不发生的概率最大．