2020-2021学年第五章 统计与概率5.3 概率5.3.5 随机事件的独立性当堂达标检测题

随机事件的独立性

(15分钟　30分)

1.抛掷3枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则A与B的关系是              (　　)

A.互斥事件　    B.对立事件

C.相互独立事件    D.不相互独立事件

【解析】选C.由已知,有P(A)=1-=,P(B)=1-=,P(AB)=,满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立.

2.从甲口袋内摸出1个白球的概率是,从乙口袋内摸出1个白球的概率是,如果从两个口袋内各摸出一个球,那么是              (　　)

A.2个球不都是白球的概率

B.2个球都不是白球的概率

C.2个球都是白球的概率

D.2个球恰好有一个球是白球的概率

【解析】选A.因为两个球不都是白球的对立事件是两个球都是白球,两者是相互独立的,两个球都是白球的概率P=×=,所以两个球不都是白球的概率是1-=.

3.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概率是________,三人中至少有一人达标的概率是________.  

【解析】三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5=0.24.

三人都不达标的概率为(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.2×0.4×0.5=0.04,

三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96.

答案:0.24　0.96

4.某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3或元件4正常工作,则部件正常工作,若四个电子元件的使用寿命超过

1 000小时的概率都为,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________. 

【解析】设事件A为元件1或元件2正常工作,事件B为元件3或元件4正常工作,所以P(A)=1-×=,P(B)=1-×=,所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=×=.

答案:

5.在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立.

(1)求恰有两个项目成功的概率;

(2)求至少有一个项目成功的概率.

【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××=,

只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××=,

只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××=,

所以恰有两个项目成功的概率为++=.

(2)三个项目全部失败的概率为××=,

所以至少有一个项目成功的概率为1-=.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.五一放假,甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是,,,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为              (　　)

A.  B.   C.   D.

【解析】选B.记事件A:至少有1人去厦门旅游,其对立事件为:三人都不去厦门旅游,

由独立事件的概率公式可得P==,由对立事件的概率公式可得P=1-P=1-=.

【补偿训练】

设每个工作日甲、乙、丙3人需使用某种设备的概率分别为0.2,0.5,0.6,若各人是否需使用该设备相互独立,则同一工作日中至少有1人需使用该设备的概率为              (　　)

A.0.84   B.0.16

C.0.94   D.0.34

【解析】选A.所求概率为P=1-=0.84.

2.甲、乙、丙三名学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为,乙及格的概率为,丙及格的概率为,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为              (　　)

A.   B.

C.   D.以上都不对

【解析】选C.因为甲及格的概率为,乙及格的概率为,丙及格的概率为,所以仅甲及格的概率为××=;

仅乙及格的概率为××=;

仅丙及格的概率为××=,

所以三人中只有一人及格的概率为:++=.

3.在荷花池中,有一只青蛙在如图成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.青蛙跳三次要回到A只有两条途径:

第一条:按A→B→C→A,P1=××=;

第二条,按A→C→B→A,P2=××=.

所以跳三次之后停在A叶上的概率为P=P1+P2=+=.

4.甲、乙两名同学参加2021年高考,根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示,甲、乙两人能考140分以上的概率分别为和,甲、乙两人是否考140分以上相互独立,则预估这两个人在2021年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.因为这两个人在2021年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为甲考140分以上乙未考到140分以上的事件概率与乙考140分以上甲未考到140分以上的事件概率的和,而甲考140分以上乙未考到140分以上的事件概率为×,乙考140 分以上甲未考到140 分以上的事件概率为×,因此,所求概率为×+×==.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.设M,N为两个随机事件,给出以下命题:

A.若P=,P=,P=,则M,N为相互独立事件

B.若P=,P=,P=,则M,N为相互独立事件

C.若P=,P=,P=,则M,N为相互独立事件

D.若P=,P=,P=,则M,N为相互独立事件

其中正确命题为 (　　)

【解析】选ABD.若P=,P=,

P=.

则由相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,故A正确;

若P=,P=,P=,

则P=1-P=,P=P·P,由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,故B正确;

若P=,P=,P= ,当M,N为相互独立事件时,P=1-P=,

P=×=,故C错误;

若P=,P=,P=,

则P=P·P=,

P=1-P=,

由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,故D正确.

6.掷一枚骰子一次,设事件A:“出现偶数点”,事件B:“出现3点或6点”,则事件A,B的关系是              (　　)

A.互斥   B.相互独立

C.不互斥   D.不相互独立

【解析】选BC.事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6},所以

P==,P==,P==×,即P=PP,因此,事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B同时发生,所以A,B不是互斥事件.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.某自助银行共有A,B,C三台ATM机,在某段时间内,这三台ATM机被占用的概率分别为,,,若一位顾客到自助银行使用ATM机,则其不需要等待的概率为________. 

【解析】设事件A,B,C分别为“ATM机A,B,C被占用”,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.

记事件D:“顾客不需要等待”,则为“顾客需要等待”,所以P()=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=,于是P(D)=1-P()=1-=.

答案:

【补偿训练】

甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为,,,现在三人同时射击目标,且相互不影响,则目标被击中的概率为________.

【解析】目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率,故目标被击中的概率是1-=.

答案:

8.在三角形ABC中,一机器人从三角形ABC上的一个顶点移动到另一个顶点(规定:每次只能从一个顶点移动到另一个顶点),而且按逆时针方向移动的概率为顺时针方向移动的概率的3倍,假设现在机器人的初始位置为顶点A处,则通过三次移动后返回到A处的概率为________. 

【解析】设顺时针方向移动的概率为p,

则逆时针方向移动的概率为3p,

所以3p+p=1⇒p=,所以顺时针方向移动的概率为,则逆时针方向移动的概率为,初始位置为顶点A处,则通过三次移动后返回到A处,共有两种情况:三次都逆时针的概率为=,三次都顺时针方向移动的概率为=,所以通过三次移动后返回到A处的概率为=.

答案:

【补偿训练】

本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙

不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是,,两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.

【解析】由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为,,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则

P(A)=×+×+×=.

所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.

答案:

四、解答题(每小题10分,共20分) 

9.眉山市位于四川西南,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡,也是人们旅游的好地方.在国庆黄金周,为了丰富游客的文化生活,每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响.

(1)分别求甲队总得分为0分、2分的概率;

(2)求甲队得2分乙队得1分的概率.

【解析】(1)记“甲队总得分为0分”为事件A,“甲队总得分为2分”为事件B,甲队总得分为0分,即甲队三人都回答错误,其概率P==;

甲队总得分为2分,即甲队三人中有1人答错,其余两人答对,其概率P=3×=.

(2)记“乙队得1分”为事件C,“甲队得2分乙队得1分”为事件D.事件C即乙队三人中有2人答错,1人答对,P=××+××+××=.

甲队得2分乙队得1分即事件B,C同时发生,则P=PP=×=.

10.在2019年女排世界杯中,中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠,为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.现有甲、乙两队进行排球比赛:

(1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为,求甲队最后赢得整场比赛的概率;

(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲得1分的概率为,乙发球时甲得1分的概率为,得分者获得下一个球的发球权.设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛,求x的取值及相应的概率p(x).

【解析】(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢,所以甲队最后赢得整场比赛的概率为+×=.

(2)根据比赛规则,x的取值只能为2或4,对应比分为16∶14,17∶15.

两队打了2个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲得分,此时概率为p(2)=×=;

两队打了4个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲失分,打第三个球乙发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分;或打第一个球甲发球甲失分,打第二个球乙发球甲得分,打第三个球甲发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,此时概率为p(4)=×××+×××=.

为了促进学生的全面发展,某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设,该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立,根据报名情况和他本人的才艺能力,两个社团都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率.

(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率p1和进入心理社的概率p2;

(2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分,对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率.

【思路导引】(1)利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组,即能求出结果.

(2)利用独立事件的概率乘法公式分别求得分数为1和1.5时的概率,再利用互斥事件概率计算公式求得结果.

【解析】(1)根据题意得

且p1<p2,所以p1=,p2=.

(2)令该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为X,P(X=1)=×=,

P(X=1.5)=×=,所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率P=+=.

【补偿训练】

随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试,在每一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试,或5次都没有通过,则需要重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为,女性学员参加科目二考试,

每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.

(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;

(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.

【思路导引】(1)分别计算出两人均不交补考费的概率,然后利用概率的乘法公式可计算出所求事件概率;

(2)根据题意可知,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元包含两种情况:①丈夫不需交补考费,妻子交200元补考费;②丈夫交200元补考费,妻子不用交补考费.再结合概率的乘法公式和加法公式可求出所求事件的概率.

【解析】(1)设这对夫妻中,“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai,“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件Bi,则P=,P=.

设事件A=“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”,事件B=“妻子参加科目二考试不需要交补考费”,事件C=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”.

则P=P=P+P

=+×=,P=P

=P+P=+×=,

P=P=×=.

因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为.

(2)设事件D=“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,事件E=“妻子参加科目二考试需交补考费200元”,事件F=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”,则P=P=××=,

P=P=××=,

P=P=×+×=.

因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为.