初中数学浙教版八年级上册2.1 图形的轴对称优秀课时作业

2.1图形的轴对称浙教版初中数学八年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图，、分别是、的中点，与关于直线对称，若的面积是，则面积为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，和都是等腰直角三角形，，点是边上的动点不与点、重合，与交于点，连结下列结论：；；若，则；在内存在唯一一点，使得的值最小，若点在的延长线上，且的长为，则其中含所有正确结论的选项是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，，，平分，点，关于对称，连接并延长，与的延长线交于点，连接，．
   对于以下结论：
   垂直平分；
   ；
   不一定是直角；
   ．
   其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，的周长为点是边的中点，，过点作的垂线，是上任意一点，则的周长最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，中，垂直于点，且，上方有一动点满足，则点到、两点距离之和最小时，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走可到达公路上的点；从点出发沿与垂直的方向走可到达点关于公路的对称点点；从点出发向正北方向走到上，需要走的路程是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，则与成轴对称且以格点为顶点的三角形共有．(    )

A. 个
B. 个
C.  个
D. 个

9. 如图，点是外一点，点，分别是，上的点，点关于的对称点落在线段的延长线上，点关于的对称点恰巧落在上．若，，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，直线，相交于点为这两直线外一点，且若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为          ．
     

12. 在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接．
    当时，______；
    取的中点，连接、，则的最小值为______．

13. 如图，在等腰直角中，，，是上一个动点，以为斜边作等腰直角，使点和位于两侧．点从点到点的运动过程中，周长的最小值是______．
14. 如图，在中，，，，点为上的动点，点为边的中点，点为内一动点，且满足，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 如图，以中间的实线为对称轴在方格纸上画出图形的另一半．

16. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、．
    作出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标．
    求的面积．

17. 如图，和关于直线对称，已知，，求的度数及、的长度．

18. 如图所示，在直角坐标系中，，，．
    作出关于轴的对称图形；
    的面积是______；
    点的坐标为______，若，且轴，则点的坐标为______．
    在轴上存在一点，使的周长最小，求出此时的最小值为______．

19. 如图是由单位小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，为线段上一点．仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
    平移至，使点对应点为点，连接；
    在上找一点，使；
    在、上分别找点、，使最小．

20. 如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“”的图形三个端点的坐标分别是，，．
    画出“”字图形向左平移个单位后的图形；
    画出原“”字图形关于轴对称的图形；
    所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？任意答一个即可

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
与关于直线对称，
，
故选：．
利用三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分解决问题即可．
本题考查轴对称的性质，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图中，

，
，
，，
≌，
，，故正确，
，
，
，
，
取的中点，连接，，，则，
，，，四点共圆，
，故正确，
设，则，，
过点作于点，
，
，
，，
，
，故正确．
如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，

，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，值最小，此时，，，
，
设，则，
，
，
，故错误．
故选：．
正确．证明≌，可得结论；
正确．证明，，，四点共圆，利用圆周角定理证明；
正确．设，则，，过点作于点，求出，，可得结论；
错误．将绕点顺时针旋转得到，连接，当点，点，点，点共线时，值最小，此时，，，设，则，构建方程求出，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

3.【答案】 

【解析】解：点，关于对称，
垂直平分，
所以错误；
垂直平分，连接，如图，

，
，平分，
，
，
又，
≌，
，
，
所以正确；
垂直平分，
，，
又，
≌，
≌≌，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
所以错误；
在中，根据勾股定理，得
，
，，
，
，
所以正确．
综上所述：正确的是．
故选：．
根据点，关于对称，可得垂直平分，即可判断错误；
根据垂直平分，连接，可得，证明≌，可得，即可判断；
结合证明≌≌和四边形内角和等于，进而证明角的度数，即可判断；
在中，根据勾股定理，得，根据，，即可判断．
本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

4.【答案】 

【解析】解：点是边的中点，，
，
的周长为，
，
如图，连接，
点是边的中点，，
是的垂直平分线，
，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，而长不变，
的周长最小值等于，
故选：．
连接，依据是的垂直平分线，可得，进而得到，依据，可知当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，而长不变，故的周长最小值等于．
本题主要考查了轴对称最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
根据轴对称的性质对各选项分析判断即可求解．
【解答】
解：
A.与关于直线对称，，故本项不符合题意；
B.与关于直线对称，，故本项不符合题意；
C.与关于直线对称，，故本项不符合题意；
D.与关于直线对称时，不一定成立，故本项符合题意，
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：，
在与平行，且到的距离为的直线上，
，
作点关于直线的对称点，连接交于，如图所示：
则，，此时点到、两点距离之和最小，
作于，则，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
故选：．
由三角形面积关系得出在与平行，且到的距离为的直线上，，作点关于直线的对称点，连接交于，则，，此时点到、两点距离之和最小，作于，则，证明是等腰直角三角形，得出，求出，即可得出答案．
本题考查了轴对称最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设从点出发向正北方向走到上的点处，连接，如图，

则，
设与交于点，
点与点关于直线对称，
，，
，
，
．
在中，
，
，
．
故选：．
依据题意画出图形，利用直角三角形的边角关系和轴对称的性质解答即可．
本题主要考查了方向角，直角三角形的边角关系定理，轴对称的性质，依据题意画出图形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查轴对称的性质；找准对称轴后画图是正确解答本题的关键．解答此题首先找到的对称轴，、、，所在直线，的中垂线都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【解答】
解：与成轴对称且以格点为顶点三角形有、、、，共个，

故选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了轴对称图形的性质，得出，是解题关键．
利用轴对称图形的性质得出，，进而利用，得出的长，即可得出的长．
【解答】
解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，
，，
，，，
，，
即，
则线段的长为：．  

10.【答案】 

【解析】解：连接，，，
点关于直线，的对称点分别是点，，
，，
，
，

故选：．
由对称得，，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称最短问题，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质．
连接，因为的周长，，推出的值最小时，的周长最小．由题意，推出，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接．

的周长，，
的值最小时，的周长最小，
垂直平分线段，
，
，
的最小值为，
的周长的最小值为．
故答案为．  

12.【答案】   

【解析】解：如图中，

是等边三角形，
，，
当时，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
∽，
，
，
故答案为：；

如图中，取的中点，作直线交于点．

，，
，
，
，
，，
，
，
点在直线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
证明，再证明，推出∽，推出，可得结论；
如图中，取的中点，作直线交于点证明，推出点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，，求出，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用轴对称解决最短问题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
根据等腰直角三角形到，求得周长，当的值最小时，周长的值最小，当时，的值最小，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：是等腰直角三角形，
，
周长，
当的值最小时，周长的值最小，
当时，的值最小，
在等腰直角中，，，
，
，
周长的最小值是，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
，
以为底边，在异于点的另一侧作等腰，使，则点在上运动，

，，
，
作点关于的对称点，连接，
当点、、、四点共线时，有最小值，
点为边的中点，
，
，
在中，，
的最小值为，
故答案为：．
以为底边，在异于点的另一侧作等腰，使，则点在上运动，然后作点关于的对称点，连接，利用轴对称的性质及勾股定理求解．
本题考查最短路线问题，理解轴对称的性质，分析点的运动轨迹是解题关键．
 

15.【答案】解：如图，线段即为所求．
 

【解析】分别作出，，，关于直线的对称点，，，，连接，，即可．
本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：如图，即为所求，点；


． 

【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：和关于直线对称，
，，，
又，，．
，，，
答：，、． 

【解析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．
本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等．
 

18.【答案】    或  

【解析】解：如图，即为所求；

的面积；
故答案为：：
点的坐标为，
，且轴，
则点的坐标为或；
故答案为：，或；
的周长的最小值为：．
故答案为：．
根据轴对称的性质即可作出关于轴的对称图形；
根据网格利用割补法即可求出的面积；
结合可得点的坐标；根据，且轴，即可得点的坐标；
根据最短路线即可在轴上存在一点，使的周长最小，进而可以求出此时的最小值．
本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

19.【答案】解：如图，线段，即为所求；
如图，点即为所求；
如图，点，点即为所求．
 

【解析】利用平移变换的性质，作出图形即可；
漏解交于点，理解，延长交于点，点即为所求；
取格点，理解交于点，取格点，理解交于点，点，点即为所求．
本题考查作图平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：如图，

如图，

图是，图是． 

【解析】根据要求直接平移即可；
在第四象限画出关于轴对称的图形；
观察图形可得结论．
本题考查了轴对称的性质和平移，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．