初中人教版13.3.2 等边三角形第1课时教案

第十三章 轴对称

13.3  等腰三角形

13.3.2  等边三角形

第1课时   等边三角形的性质与判定

一、教学目标

1.探索并掌握等边三角形的性质和判定．

2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．

二、教学重难点

重点：等边三角形的性质和判定．

难点：运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]

教师带领学生复习等腰三角形的相关知识，为本节课的学习做准备.

【新知探究】

知识点1   等边三角形的性质

[提出问题]三角形按照边是怎么分类的？

[课件展示]教师利用多媒体展示如下分类：

由这个分类可以看出，等边三角形是三条边都相等的特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.

[提出问题]把等腰三角形的性质1（等边对等角）用于等边三角形，能得到什么结论？把等腰三角形的性质2（三线合一）用于等边三角形，能得到什么结论？把等腰三角形的对称性用于等边三角形，能得到什么结论？

[小组讨论]学生之间讨论，教师引导学生已知等边三角形的三边相等.之后教师点名，由代表回答小组间讨论的结果.教师纠正.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：

BC边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.

AB边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.

AC边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.

BC边上的中线,高和所对角的平分线所在直线为对称轴.

AB边上的中线,高和所对角的平分线所在直线为对称轴.

AC边上的中线,高和所对角的平分线所在直线为对称轴.

[归纳总结]等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“三线合一”.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，分别为每条边上的中线、高和所对角的平分线所在直线.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下对比表格，教师带领学生根据表格提示找出答案：

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题与变式：

例1     如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE=CD．求证：BD=DE．

证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，

∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．

∵CE=CD，∴∠CDE=∠E．

又∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠CDE=∠E=30°．

∴∠DBC=∠E．∴DB=DE．

【变式】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（    A    ）

A.15°     B.20°       C.25°        D.30°

【变式】如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE的长.

解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BD为∠ABC的平分线，

∴∠DBE=∠ABC=30°. 

∵DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°.

∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.

∴∠CDE=∠E.∴CD=CE.

∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点,    

∴CE=CD=.

知识点2   等边三角形的判定

[提出问题]由等边三角形的性质可知三个角相等，那么由三个角相等能否判定该三角形是等边三角形呢？该怎么证明？

[学生思考]给学生单独思考时间，教师引导学生写出必要的已知和求证，可由三角相等推出三边相等.之后教师点名学生回答，之后教师纠正.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：

已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.

求证：△ABC是等边三角形.

证明：∵∠A=∠B,∴BC=AC.∵∠B=∠C,∴AC=AB.

      ∴AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形.

[归纳总结]等边三角形的判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

[提出问题]等腰三角形只要满足一个角是60°，就可以判定它是等边三角形？你同意这样的说法吗？试着证明一下吧！

[学生思考]给学生单独思考时间，教师引导学生可从角的角度来证明，且60°角应分情况讨论.之后教师点名学生回答，之后教师纠正.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：

当60°角为底角时

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.

求证：△ABC是等边三角形.

证明：∵AB=AC，∠B=60°,∴∠C=∠B=60°.

      ∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°,           

      ∴∠A=∠B=∠C.

      ∴△ABC是等边三角形.

当60°角为顶角时

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.

求证：△ABC是等边三角形.

证明：∵AB=AC,∴∠C=∠B.

      ∵∠A=60°,∴∠B+∠C=180°-∠A=120°.           

      ∴∠A=∠B=∠C=60°.

      ∴△ABC是等边三角形.

[归纳总结]等边三角形的判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

提醒学生：在等腰三角形中，只要有一个角是60° ，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下对比表格，教师带领学生根据表格提示找出答案：

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题与变式：

例2    如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.

求证：△ADE是等边三角形.

证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.

      ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

      ∴∠A=∠ADE=∠AED.

      ∴△ADE是等边三角形.

【变式】如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是边AB，AC上一点，且BD=CE.求证：△ADE是等边三角形.

证明：∵△ABC是等边三角形，

      ∴AB=AC，∠A=60°.

      ∵BD=CE，

      ∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE,

      ∴△ADE是等边三角形.

[归纳总结]判定一个三角形是等边三角形的方法选择：若已知三边关系，一般选用定义判定；若已知三角关系，一般选用判定方法1；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定方法2.

【课堂小结】

【课堂训练】

1.下列条件中不能得到等边三角形的是（    D     ）

A.有一个角是60°的等腰三角形

B.三边相等的三角形

C.有两个内角是60°的三角形

D.有两个外角相等的等腰三角形

2.已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长为　      24　      ．

3．（2021•丹阳市二模）如图，直线l1∥l2△ABC是等边三角形，若∠1＝40°，则∠2的度数　100°　．

4.   等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交于点F，则∠BFC的度数为     120°     ．

5．（2021•乐平市一模）如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF=  120°   ．

【解析】根据折叠的性质，得∠DFE＝∠A＝60°.

根据三角形内角和易得

∠BDF+∠1＝120°，∠CEF+∠2＝120°.

∴∠1＝120°-∠BDF，∠2＝120°-∠CEF.

根据平角为180°易得∠1+∠2＝120°.

∴∠BDF+∠CEF=120°.故答案为120°．

6.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，求∠ACE的度数.

解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴BD=CD，∠EDB=∠EDC，∠ACB=60°.

又ED=ED，∴△EDB≌△EDC（SAS）.

∴∠EBD=∠ECD=45°.

∴∠ACE=∠ACB-∠ECD=60°-45°=15°.

7.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE的大小是多少？

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，且AB=BC=AC.

又AD=CE，

∴△ADC≌△CEB（SAS），∴∠ACD=∠CBE.

∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°.

8.在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．

解：△APQ为等边三角形．证明如下：

∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.

∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，

∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.

∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，

∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，

∴△APQ是等边三角形．

【教学反思】

本节课,我先让学生进行新课前的复习,使学生们很好地梳理了等腰三角形的定义、性质与判定方法，这样可以为新知的学习奠定良好的基础,在新知的学习中水到渠成地获得成功的体验.因为有了等腰三角形作辅垫,学生很容易得出等边三角形的性质与判定，紧接着又设置了等边三角形与等腰三角形的区别与联系,从而加强了学生对等边三角形的性质与判定方法的记忆.其实等边三角形的性质与判定方法不难掌握，关键在于能灵活运用,所以在例题的设置上,我做了很多的变式题，让学生从不同的角度利用不同的方法来解决问题，更使学生们感受到了数学学习的乐趣,建立了学习数学的自信心.