初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形第1课时教学设计

第十三章   轴对称

13.3  等腰三角形

13.3.2 等边三角形

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.探索等边三角形的性质和判定;

2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.

【过程与方法】

经历用数学思想和方法研究数学问题.

【情感、态度与价值观】

积极参与数学学习活动,增强对数学的好奇心和求知欲.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

等边三角形的概念、性质和判定.

【教学难点】 

等边三角形判定定理的探究与证明,并灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。

学生：三角尺、直尺、圆规。

六、教学过程

（一）导入新课

我们知道底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形,那么等边三角形除了具有等腰三角形的性质外,还有哪些特殊的性质呢?（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究等边三角形的性质

教师问1：小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？（出示课件4）

学生讨论后回答：如下图：

教师问2：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形有哪些性质呢？（出示课件5）

学生回答：等边三角形的三条边都相等.

教师问3：等腰三角形有哪些性质？

学生讨论后回答：教师整理如下图：（出示课件6）

教师问4：等边三角形的三个内角之间有什么关系？（出示课件7）

学生回答：猜想等边三角形的三个内角都相等，每一个内角等于60°.

教师问5：如何证明猜想的正确性呢？

学生小组内讨论，然后回答，教师订正后得到：（出示课件8）

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

已知：AB=AC=BC ，    

求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.

证明： ∵AB=AC，

 ∴∠B=∠C .(等边对等角)

 同理 ∠A=∠C .

 ∴∠A=∠B=∠C.

 ∵ ∠A+∠B+∠C=180°,

∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.

教师问6：等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？（出示课件9）

学生动手作图后回答：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，等边三角形有3条对称轴.

总结点拨：如下表：（出示课件10）

例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．（出示课件11）

师生共同解答如下：

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°.

∵∠ABE＝40°，

∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°–  40°＝20°.

∵BE＝DE，

∴∠D＝∠EBC＝20°，

∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.

总结点拨：（出示课件12）

解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个内角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.

例2：△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？（出示课件14）

师生共同解答如下：

解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.

又∵BM＝CN，

∴△AMB≌△BNC(SAS)，

∴∠BAM＝∠CBN，

∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.

总结点拨：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.

2.探究等边三角形的判定方法

教师问7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

学生回答：三条边相等的三角形是等边三角形.

教师问8：三个角都相等的三角形是等边三角形吗？

学生回答：学生猜想是等边三角形.

教师问9：如何证明猜想的正确性呢？

学生讨论后回答：

在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形.

师生共同解答如下：

证明：∵∠A=∠B，

∴BC=AC,同理可得：BC=AB,AB=AC,

∴AB=AC=BC,

∴△ABC是等边三角形.

教师问10：你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？

学生讨论后回答：需要分情况证明.

教师问11：分哪些情况呢？

学生回答：等腰三角形的顶角是60°或等腰三角形的一个底角是60°.

教师问12：当等腰三角形的顶角是60°时，如何证明呢？

学生回答：因为三角形的内角和是180°，当顶角是60°时，等腰三角形的两个底角相等，所以每个底角是60°，也就是三个角都是60°，所以是等边三角形.

教师问13：当等腰三角形的一个底角是60°时，如何证明呢？

学生回答：因为等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是60°，因为三角形的内角和是180°，所以顶角为180°-60°-60°=60°，所以每角都是60°，所以是等边三角形.

教师问14：从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形.你能用更简洁的语言描述这个结论吗？

学生回答：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

总结点拨：（出示课件17）

等边三角形的判定方法：

  有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

例3：如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.（出示课件19）

师生共同解答如下;

证明：∵ △ABC是等边三角形，

∴ ∠A= ∠B= ∠C.

∵ DE//BC,

∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.

∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.

∴ △ADE是等边三角形.

例4：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．（出示课件23）

师生共同解答如下：

解：△APQ为等边三角形．

证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.

∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， 

∴△ABP≌△ACQ(SAS)，

∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.

∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，

∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，

∴△APQ是等边三角形．

总结点拨：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.

（三）课堂练习（出示课件27-33）

1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　）

A．105°         B．120°        C．135°       D．150°

2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（        ）

A.   4个                    B.   5个      

C.   6个                    D.   7个

3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　）

A．10°      B．15°            C．20°          D．25°

4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是______________ cm.

5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．

6如图，A,O,D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.

7. 图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
    (1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
    (2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．

参考答案：

1.B

2.D

3.B

4.12

5. 证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°–90°–30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，  
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
6. 解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.

∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A,O,D三点共线，
∴∠DOB=∠COA=120°.
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
∵ ∠EFB=∠AFO，

∴∠AEB=∠AOB=60°.
7. 解：(1)AN＝BM.
∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
   ∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.

(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
     ∴∠ECF=60°.
     ∵△ACN≌△MCB，
     ∴∠CAE＝∠CMB.
     ∵AC＝MC，
     ∴△ACE≌△MCF(ASA)，
     ∴CE＝CF.
     ∴△CEF是等边三角形．

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

1. 等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60°.

2. 三个角都相等的三角形是等边角形.

3. 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形.

（五）课前预习

预习下节课（13.3.2）81页到82页的相关内容。

知道含30°角的直角三角形的性质.

七、课后作业

1、教材80页练习1,2

2、如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,AD=BD,E为DC中点.

(1)求∠CBD的度数.

(2)△BDE是等边三角形吗?为什么?

八、板书设计：

九、教学反思：

1.本节课主要引导学生明确等边三角形是特殊的等腰三角形,满足等腰三角形的所有性质,让学生在这个探究过程中,自主探索、合作交流,以达到帮助学生从感性认识发展到理性思考,促使学生逐渐形成方法,形成技能.

2. 本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形.学习等边三角形的定义、性质和判定，在折一折的过程中体会等边三角形的特征，三条边相等，三个角也相等，都是60度.让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力.