第13章 轴对称 人教版数学八年级上册单元测试(含答案)

第十三章 轴对称

(90分钟　100分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．(2020·重庆中考A卷)下列图形是轴对称图形的是(　A　)

【解析】根据轴对称图形定义可知B，C，D都不是轴对称图形，A是轴对称图形.

2．(2020·大连中考)平面直角坐标系中，点P(3，1)关于x轴对称的点的坐标是(　B　)

A．(3，1)    B．(3，－1)    C．(－3，1)    D．(－3，－1)

【解析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，得点P(3，1)关于x轴对称的点的坐标是(3，－1).

3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8 cm，且△ABD的周长为14 cm，则△ABC的周长为(　C　)

A．15 cm    B．18 cm    C．22 cm    D．25 cm

【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∵△ABD的周长为14 cm，

∴AB＋BD＋AD＝14 cm，∴AB＋BD＋CD＝14 cm，即AB＋BC＝14 cm，

∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝22 cm.

4．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为(　B　)

A.1    B．2    C．3    D．4

【解析】∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝120°－90°＝30°，

∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，

∴∠A＝∠ABD，∴DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，∵∠C＝30°，∴CD＝2BD＝2.

5．(2021·天津质检)如图，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，如果DE是BC的垂直平分线，则∠C的度数为(　B　)

A．40°    B．30°    C．60°    D．45°

【解析】∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝EC，DE⊥BC，

∴∠CED＝∠BED，∴△CED≌△BED，∴∠C＝∠DBE，

∵∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABE＝2∠DBE＝2∠C，∴∠C＝30°.

6．已知点M(1－2m，1－m)关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(　D　)

【解析】∵点M(1－2m，1－m)关于x轴的对称点在第四象限，

∴对称点的坐标为：(1－2m，m－1)，

则1－2m＞0，且m－1＜0，解得：m＜，

如图所示：．

7．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是(　B　)

【解析】A.如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；

B．如图所示，△ABC不能分成两个等腰三角形；

C．如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；

D．如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形．

8.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是(　C　)

A．等边对等角

B．垂线段最短

C．等腰三角形“三线合一”

D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等

【解析】∵AB＝AC，BE＝CE，

∴AE⊥BC，故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”．

9.(2020·嘉兴中考)如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A′B′C′，则它们重叠部分的面积是(　C　)

A.2    B．    C．    D．

【解析】作AM⊥BC于M，如图：重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，

∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，

∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，

∴AM＝BM＝，

∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，

∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝×＝.

10．如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是以∠A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是(　D　)

A.2.5秒    B．3秒    C．3.5秒    D．4秒

【解析】由题意可设运动的时间为t秒，则BP＝3t，AP＝20－3t，AQ＝2t.当△APQ是以∠A为顶角的等腰三角形时，AP＝AQ，∴20－3t＝2t，解得t＝4，即运动的时间是4秒．

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BD上，AB＝AD＝DC，∠C＝30°，则∠BAD＝__60__°.

【解析】∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，

∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝60°，

∵AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°.

12．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以A点为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于__60°__．

【解析】∵用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A，B两点，∴OA＝OB，

∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，∴OA＝AC，

∴OA＝OB＝OC＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°.

13．(2020·达州中考)如图，点P(－2，1)与点Q(a，b)关于直线l(y＝－1)对称，则a＋b＝__－5__．

【解析】∵点P(－2，1)与点Q(a，b)关于直线l(y＝－1)对称，

∴a＝－2，b＝－3，∴a＋b＝－2－3＝－5.

14．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，并且AB＝6，BC＝3，则A′C′的取值范围是__3＜A′C′＜9__．

【解析】∵△ABC和△A′B′C′关于MN对称，∴得出△ABC≌△A′B′C′，

∴AC＝A′C′，∵AB－BC＜AC＜AB＋BC，∴6－3＜AC＜6＋3，

∴A′C′的取值范围是：3＜A′C′＜9.

15．如图，已知点P是射线ON上一动点，∠AON＝50°，若△AOP为等腰三角形，则∠A＝__50°或65°或80°__．

【解析】分三种情况：①当AO＝AP时，则有∠O＝∠APO＝50°，∴∠A＝80°；②当AO＝OP时，则∠A＝∠APO＝(180°－50°)＝65°；③当OP＝AP时，则∠A＝∠AON＝50°；综上可知，∠A为50°或65°或80°.

16．如图，已知P，Q是△ABC的边BC上的两点，且 BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，则∠BAC＝__120__°.

【解析】∵BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，

∴△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，

∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，

在△ABP和△ACQ中，

∴△ABP≌△ACQ，∴∠QAC＝∠B＝∠APQ＝30°，

同理：∠BAP＝30°，∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°.

17．(2020·潍坊中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P.按以下步骤作图：

①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF.若AF与PQ的夹角为α，则α＝__55__°.

【解析】如图，∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，

∴∠B＋∠BAC＝90°，∵∠B＝20°，∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－20°＝70°，

∵AM是∠BAC的平分线，∴∠2＝∠BAC＝×70°＝35°，

∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AMQ是直角三角形，

∴∠AMQ＋∠2＝90°，∴∠AMQ＝90°－∠2＝90°－35°＝55°，

∵∠α与∠AMQ是对顶角，∴∠α＝∠AMQ＝55°.

18．已知，∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝a，则△A7B7A8的边长为__64a__．

【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，

∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°－120°－30°＝30°，

又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°－60°－30°＝90°，

∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝a，∴A2B1＝a，

∵△A2B2A3，△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，

∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，

∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，

∴A3B3＝4B1A2＝4a，A4B4＝8B1A2＝8a，A5B5＝16B1A2＝16a，以此类推：A7B7＝64B1A2＝64a.

三、解答题(共46分)

19．(6分)(2021·太原期中)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°.

(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；

②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．

【解析】(1)如图，点D，射线AE即为所求．

(2)∵DF垂直平分线段AB，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°，

∵∠C＝40°，∴∠BAC＝180°－30°－40°＝110°，

∴∠CAD＝110°－30°＝80°，

∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝40°.

20．(6分)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE∥AB，与AC延长线交于点E.

(1)△CDE的形状是____________．

(2)若在AC上截取AF＝CE，连接FB，FD，判断FB，FD的数量关系，并给出证明．

【解析】(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠DCE＝∠ACB，DE∥AB，∴∠ABC＝∠CDE，

∴∠DCE＝∠CDE，∴△CDE是等腰三角形．

答案：等腰三角形

(2)BF＝DF，证明如下：∵AB∥DE，∴∠A＝∠E，∵AF＝CE，

∴AF＝DE，又AF＋CF＝CE＋CF，∴EF＝AC＝AB，

在△AFB与△EDF中，

∴△ABF≌△EFD(SAS)，∴BF＝DF.

21．(8分) (2021·哈尔滨期中)已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形(三角形的顶点是网格线的交点).

(1)面出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

(2)画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；若点B的坐标为(4，2)，请直接写出B2的坐标．

【解析】(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)如图，△A2B2C2即为所求．B2(－4，－3).

22．(8分) 如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

求证：AD垂直平分EF.

【证明】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF.∴点D在EF的垂直平分线上．

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).

∴AE＝AF.∴点A在EF的垂直平分线上．

又∵两点确定一条直线，

∴直线AD是线段EF的垂直平分线．

23.(8分) (2021·湖州期中)如图，△ABC，△ADE中，C，D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于F点，且BD＝CD＝CE.

(1)若∠B＝30°，∠E＝20°，求∠A的度数；

(2)若∠B＝x，∠E＝y，请用含x，y的代数式表示∠A的度数．

【解析】(1)∵BD＝CD＝CE，∴∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE，

∵∠B＝30°，∠E＝20°，

∴∠DCB＝∠B＝30°，∠CDE＝∠E＝20°，

∴∠ADC＝60°，∠ACD＝40°，∴∠A＝80°.

(2)∵BD＝CD＝CE，∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE，

∵∠B＝x，∠E＝y，∴∠DCB＝∠B＝x，∠CDE＝∠E＝y，

∴∠ADC＝2x，∠ACD＝2y，

∴∠A＝180－2(x＋y).

24. (10分)数学课上，李老师出示了如下题目：

“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

(1)特殊情况，探索结论．

当点E为AB的中点时，如图①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB(填“＞”“＜”或“＝”).

(2)特例启发，解答题目．

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE__DB(填“＞”“＜”或“＝”).

理由如下：如图②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你完成后面解答过程)

【解析】(1)＝

(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，

即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，

∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，

∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°，

∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，

∴∠BED＝∠ECF，在△DEB和△ECF中，

∴△DEB≌△ECF，∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD.

答案：＝

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