苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.1 数列课后测评

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A层 基础达标练
1. 已知数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 已知等差数列中，，，记数列的前项和为，若对任意的成立，则整数的最小值为( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
3. 已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为( )
A. B. 4C. 3D. 2
4. 设为等比数列的前项和，已知，，若存在，使得成立，则的最小值为.
5. 设是数列的前项和，，若不等式对任意的恒成立，则的最小值为.
6. [2022新高考Ⅰ]记为数列的前项和，已知,是公差为的等差数列.
（1） 求的通项公式；
（2） 证明：.
B层 能力提升练
7. 已知数列满足，，若不等式对任意的都成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知数列的前项和为，且，若恒成立，则实数 的最大值为( )
A. B. 1C. D.
9. 已知数列满足,，记，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为.
10. 已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若使得成立，则实数的取值范围是.
11. 已知数列的前项和，设数列满足 （为非零常数），存在整数 ，使得对任意的都有，则.
12. 在下列条件：
①数列{}的任意相邻两项均不相等，且数列{}为常数列，，，中，任选一个补充在横线上，并回答下面问题.
已知数列{}的前项和为，，.
（1） 求数列{}的通项公式和前项和；
（2） 设，数列{}的前项和记为，证明:.
13. 已知正项数列{}的前项和为，且满足.
（1） 求数列{}的通项公式；
（2） 设，证明：.
C层 拓展探究练
14. 已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增数列，则首项的取值范围是，当时，记，若，则整数.
15. 对于数列，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数，则叫作类等差数列，叫作类等差数列的首项，叫作类等差数列的类公差.
（1） 若类等差数列满足，请类比等差数列的通项公式，写出数列的通项不等式（不必证明）.
（2） 若数列中，，.
① 判断数列是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
② 记数列的前项和为，证明：.
培优课⑯ 数列与不等式
分层作业
A层 基础达标练
1. B
2. B
3. D
4. 9
5.
6. （1） 解 因为，所以,所以.又因为是公差为的等差数列，所以,所以,所以当时，，所以,整理，得,即,所以，显然对于也成立，所以的通项公式为.
（2） 证明 因为,所以.
B层 能力提升练
7. A
8. C
9. 10
[解析]因为数列满足,，所以，所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列，易得.令，而，即为减函数，所以，即,而为正整数，所以.
10.
[解析],,，，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以.依题意，使得成立，即，.设,,，当时，，所以，所以的取值范围是.
11.
[解析]因为，所以，解得.当时，，化为，变形为，所以数列是等差数列，首项为1，公差为1，所以，所以.而 （为非零常数），所以.
因为存在整数 ，使得对任意的都有，所以，化为，当时，；当时，，所以.因为 为非零整数，所以.
12. （1） 解 若选①，因为,数列为常数列，所以,解得或.又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，所以数列为2，，2，，2，，，所以,即，所以又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以,即，所以
若选②，因为,,,两式相减可得,即，以下过程与条件①相同.
若选③，由,可得.又,当时，,所以.
因为,所以也满足上式，所以有，即，以下过程与条件①相同.
（2） 证明 由（1）知，,,所以,所以.
13. （1） 解 由,得，结合正项数列得，所以
（2） 证明由（1）知，当时，，所以
C层 拓展探究练
14. （0,2）;
[解析]在正项数列中，为严格增数列，则，则，解得.又，则，则.由，可得.由可得，则，则.又当时，，则-…+-…+.由可得，，.又，则解得，则整数.
15. （1） 解 .
（2） ① 数列是类等差数列.证明：因为，所以，即.又，所以，则是递减数列,，所以,，所以，所以，所以
，所以是递减数列，，，所以数列是类等差数列.
② 证明 因为，所以，所以.由①知，数列是类等差数列，结合（1）中结论可得，且，所以，所以，即，故.