数学选择性必修第一册4.4 数学归纳法*第2课时同步测试题

第2课时 数学归纳法的综合应用

分层作业

A层 基础达标练

1. 用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是(  )

A.  B.

C.  D.

2. 用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时,左边增加的项为(  )

A.  B.

C.  D.

3. 凸边形有条对角线,则凸边形对角线的条数(  )

A.  B.  C.  D.

4. 用数学归纳法证明“能被3整除”的过程中，当时，为了使用归纳假设，应将变形为(  )

A.  B.

C.  D.

5. 用数学归纳法证明“能被9整除”,要利用归纳假设证时的情况,只需展开(  )

A.  B.

C.  D.

6. 请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：

①；

②.

已知数列的前项和为,且,.

（1） 求,,;

（2） 猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

B层 能力提升练

7. 已知数列中，,,,用数学归纳法证明能被4整除，假设能被4整除，然后应该证明(  )

A. 能被4整除 B. 能被4整除 C. 能被4整除 D. 能被4整除

8. 已知数列满足，，,则下列结论成立的是(  )

A.  B.

C.  D.

9. 用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于.

10. 平面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.

11. 先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？

12. 一个计算装置有一个数据入口和一个运算结果的出口，将正整数数列中的各数依次输入口，从口得到输出数据组成数列,结果表明：①从口输入时，从口得到；②当时，从口输入,从口得到的结果是将前一个结果先乘正整数数列中的第个奇数，再除以正整数数列中的第个奇数，试问：

（1） 从口输入2和3时，从口分别得到什么数？

（2） 从口输入100时，从口得到什么数？请说明理由.

13. 已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且,，.

（1） 求,;

（2） 已知,,试比较,的大小.

C层 拓展探究练

14. （多选题）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第2课时 数学归纳法的综合应用

分层作业

A层 基础达标练

1. B

2. D

3. C

4. A

5. A

6. （1） 解选择条件①，因为,,所以当时,，即,当时,，所以，即,当时,，即，故,,分别为3，5，7.

选择条件②,，所以当时，，当时，，当时，．故,,分别为3，.

（2） 猜想,理由如下：

选择条件①，因为，

当时，由题知，，猜想成立，

假设时，，则，所以，两式相减,得，即,

所以当时，成立.

综上，对任意的，.

选择条件②，.

当时，由题知，，猜想成立.

假设时，,则,所以当时，成立.

综上，对任意的，.

B层 能力提升练

7. C

8. A

9. 6

10. 证明 ①当时，两条直线的交点只有一个，又，所以当时,命题成立.

②假设，且时，命题成立,即平面内满足题设的任何条直线交点的个数，那么当时，任取一条直线，除以外其他条直线交点的个数为，与其他条直线交点的个数为，从而条直线共有个交点，即，所以当时，命题成立.由①②可知，对,命题都成立.

11. 解当时，原式，当时，原式,当时，原式，当时，原式,这些数都可以被6整除，所以猜想可以被6整除，也可以被1，2,3整除.

证明：①当时，，命题显然成立;

②假设当时，能被6整除．

当时，，其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除.由假设知能被6整除,故，，6分别能被6整除，所以当时，命题也成立.根据①②，可知可以被6整除．故能被自然数1，2，3，6整除.

12. （1） 解当时,；当时，;当时,.

（2） 因为,,，，故猜想.理由:当时,显然猜想成立，假设时，猜想成立,即，则当时,,

所以当时，猜想成立，所以，故从口输入100时，从口得到的数为.

13. （1） 解设等差数列的公差为，等比数列的公比为,依题意,得

整理得

解得所以,.

（2） 由（1）知,,数列是首项为，公比为的等比数列,则.因为,所以,则.用数学归纳法证明,.

①当时，左边，右边，左边 右边，即原不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则，即时，原不等式成立.由①②知,，成立.因此，，即，所以.

C层 拓展探究练

14. CD

[解析]取，则,,不成立；取，则,,不成立；取，则,

,成立；取，则,,成立；下证：当时,成立.当时，则，,成立；假设当时，有成立，则当时，有,令，则.因为，所以.因为,所以,所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知,对任意的都成立.故选.