高中第4章 数列4.1 数列巩固练习

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1．(多选)下列说法正确的是( )
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
解析：选ABD 数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确．
2．(多选)数列eq \r(2)，0，eq \r(2)，0，…的通项公式可以是( )
A．an＝eq \f(\r(2),2)[1－(－1)n](n∈N*)
B．an＝eq \r(1＋（－1）n)(n∈N*)
C．an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(2)，n为奇数,0，n为偶数))(n∈N*)
D．an＝eq \f(\r(2),2)(1－cs nπ)(n∈N*)
解析：选ACD 经代入检验，A，C，D均可以作为已知数列的通项公式．
3．已知数列2，3，eq \r(14)，eq \r(19)，2eq \r(6)，…，则12是它的( )
A．第28项 B．第29项
C．第30项 D．第31项
解析：选B 已知数列2，3，eq \r(14)，eq \r(19)，2eq \r(6)，…，则数列的一个通项公式为an＝eq \r(4＋（n－1）×5)＝eq \r(5n－1).由12＝eq \r(5n－1)，得n＝29，∴12是这个数列的第29项．
4．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选C 观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2an－1－1，n为偶数，,2an－1＋2，n为奇数，))则a4＝( )
A．7 B．10
C．12 D．22
解析：选A 依题意得a4＝2a3－1＝2(2a2＋2)－1＝2[2(2a1－1)＋2]－1＝7.
6．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N*，则a2n＝________，eq \f(a2,a3)＝________．
解析：因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，
eq \f(a2,a3)＝eq \f(3－22,3－23)＝eq \f(1,5).
答案：3－4n eq \f(1,5)
7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝19－2n>0，得n答案：9
8．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是an＝an－1＋________(n∈N*，n≥2)．由a10＝55，a12＝________．
解析：由已知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
所以递推公式可以写成an＝an－1＋n.
所以a12＝a11＋12＝a10＋11＋12＝78.
答案：n 78
9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)eq \f(3,4)，eq \f(2,3)，eq \f(7,12)，________，eq \f(5,12)，eq \f(1,3)，…；
(2)eq \f(\r(5),3)，________，eq \f(\r(17),15)，eq \f(\r(26),24)，eq \f(\r(37),35)，…；
(3)2，1，________，eq \f(1,2)，…；
(4)eq \f(3,2)，eq \f(9,4)，________，eq \f(65,16)，….
解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号
1 2 3 4 5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
eq \f(9,12) eq \f(8,12) eq \f(7,12) ________ eq \f(5,12) eq \f(4,12)
于是应填eq \f(6,12)，而分子恰为10减序号，
故应填eq \f(1,2)，通项公式为an＝eq \f(10－n,12).
(2)eq \f(\r(5),3)＝eq \f(\r(4＋1),4－1)，eq \f(\r(17),15)＝eq \f(\r(16＋1),16－1)，eq \f(\r(26),24)＝eq \f(\r(25＋1),25－1)，eq \f(\r(37),35)＝eq \f(\r(36＋1),36－1).
只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填eq \f(\r(10),8)，
通项公式为an＝eq \f(\r(（n＋1）2＋1),（n＋1）2－1).
(3)因为2＝eq \f(2,1)，1＝eq \f(2,2)，eq \f(1,2)＝eq \f(2,4)，所以数列缺少部分为eq \f(2,3)，数列的通项公式为an＝eq \f(2,n).
(4)先将原数列变形为1eq \f(1,2)，2eq \f(1,4)，________，4eq \f(1,16)，…，所以应填3eq \f(1,8)，数列的通项公式为an＝n＋eq \f(1,2n).
10．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来：
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝eq \f(n＋1,n).
解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①.
(2)a1＝2，a2＝eq \f(3,2)，a3＝eq \f(4,3)，a4＝eq \f(5,4)，a5＝eq \f(6,5).图象如图②.
[B级 综合运用]
11．(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是( )
A．an＝n
B．an＝n3－6n2－12n＋6
C．an＝eq \f(1,2)n2－eq \f(1,2)n＋1
D．an＝eq \f(6,n2－6n＋11)
解析：选AD 对于A，若an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B，若an＝n3－6n2－12n＋6，则a1＝－11，不符合题意；对于C，若an＝eq \f(1,2)n2－eq \f(1,2)n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D，若an＝eq \f(6,n2－6n＋11)，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．故选A、D.
12．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝eq \f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N*)，则a2 020等于( )
A．－3 B．0
C.eq \r(3) D．3
解析：选B 由题意知a1＝0，a2＝eq \f(－\r(3),1)＝－eq \r(3)，a3＝eq \f(－2\r(3),－3＋1)＝eq \r(3)，a4＝eq \f(\r(3)－\r(3),3＋1)＝0，a5＝eq \f(－\r(3),1)＝－eq \r(3)，…，由此可知，an＋3＝an.所以数列{an}的周期为3，
又2 020＝3×673＋1，
所以a2 020＝a1＝0.
13．已知数列2，eq \f(7,4)，2，…的通项公式为an＝eq \f(an2＋b,cn)，则a4＝________，a5＝________．
解析：将a1＝2，a2＝eq \f(7,4)代入通项公式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,c)＝2，,\f(4a＋b,2c)＝\f(7,4)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝3a，,c＝2a，))
∴an＝eq \f(n2＋3,2n)，∴a4＝eq \f(42＋3,2×4)＝eq \f(19,8)，a5＝eq \f(52＋3,2×5)＝eq \f(14,5).
答案：eq \f(19,8) eq \f(14,5)
14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq \f(1,2)，a2＝－eq \f(3,4).
(1)求{an}的通项公式；
(2)－eq \f(255,256)是{an}中的第几项？
解：(1)∵an＝pn＋q，且a1＝－eq \f(1,2)，a2＝－eq \f(3,4)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＋q＝－\f(1,2)，,p2＋q＝－\f(3,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)，,q＝－1，))
因此{an}的通项公式是an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)－1.
(2)令an＝－eq \f(255,256)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)－1＝－eq \f(255,256)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)＝eq \f(1,256)，解得n＝8.故－eq \f(255,256)是{an}中的第8项．
[C级 拓展探究]
15．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，求此数列的通项公式．
解：∵OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，…，
∴a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n)，….
∴此数列的通项公式为an＝eq \r(n).