苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.4 数学归纳法*第1课时课后练习题

第1课时 数学归纳法

分层作业

A层 基础达标练

1. 利用数学归纳法证明不等式的过程中,由变到时,左边增加了(  )

A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项

2. 已知命题及其证明：

①当时，左边，右边，所以等式成立；

②假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立.

由①②知，对任意的正整数等式都成立.

判断以上评述(  )

A. 命题、推理都正确 B. 命题正确,推理不正确

C. 命题不正确,推理正确 D. 命题、推理都不正确

3. 用数学归纳法证明时,从到的证明,若设,则(  )

A.  B.

C.  D.

4. （多选题）已知一个命题,,若当,2,，时，成立，且当时也成立，则下列判断中正确的是(  )

A. 对 成立 B. 对每一个自然数 都成立

C. 对每一个正偶数 都成立 D. 对某些偶数可能不成立

5. 用数学归纳法证明时,第一步应验证的等式是；从“”到“”左边需增加的代数式是.

6. 用数学归纳法证明：.

B层 能力提升练

7. 现有命题“,”不知真假，请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为(  )

A. 不能用数学归纳法去判断真假

B. 一定为真命题

C. 加上条件 后才是真命题，否则为假

D. 存在一个很大常数 ,当 时，命题为假

8. 利用数学归纳法证明等式:,当时,左边的和记作,当时,左边的和记作,则(  )

A.  B.

C.  D.

9. （多选题）如果命题对成立，那么它对也成立，则下列结论正确的是(  )

A. 若 对 成立，则 对所有正整数都成立

B. 若 对 成立，则 对所有正偶数都成立

C. 若 对 成立，则 对所有正奇数都成立

D. 若 对 成立，则 对所有自然数都成立

10. （多选题）设是定义在正整数集上的函数,且满足当成立时,总有成立，则下列命题总成立的是(  )

A. 若 成立,则 成立

B. 若 成立,则当 时,均有 成立

C. 若 成立,则 成立

D. 若 成立,则当 时,均有 成立

11. 若,用数学归纳法验证关于的命题时，第一步计算;第二步“从到时”，.

12. 已知存在常数 ，使等式对都成立，则.

13. 用数学归纳法证明,其中.

14. 观察下列等式：

……

据此规律，请你猜想出第个等式并证明你的结论.

C层 拓展探究练

15. 已知向量,,,,则.

16. 是否存在常数，,使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出,的值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.

第1课时 数学归纳法

分层作业

A层 基础达标练

1. D

2. B

3. B

4. AD

5. ;

6. 证明 ①当时，左边，右边，左边右边，等式成立.

②假设当时，等式成立，即，

则当时，，

所以当时，等式也成立.根据①②可知，对任意的，等式成立.

B层 能力提升练

7. B

8. C

9. BC

10. AD

11. ;

12. 5

13. 证明①当时，左边，右边，左边右边，等式成立.②假设当时，等式成立，即，那么当时，，即当时，等式也成立.综上，对任意的，等式都成立.

14. 解 猜想第个等式为.证明：当时，，显然成立；假设当时，成立，那么时，，所以对任意的，成立.

C层 拓展探究练

15.

[解析].下面用数学归纳法进行证明：当时，，满足题意，假设当时，,,则当时，，，，，，，，故，,所以,，所以.

16. 解 分别令，2，可得解得猜想对一切正整数都成立.下面用数学归纳法证明：

①当时，由上面的探求可知等式成立.②假设时猜想成立，即

,当时，

，

所以当时等式也成立.

由①②知猜想成立，即存在，使命题成立.