苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.3 等比数列第2课时课时练习

第2课时 等比数列前项和的性质及应用

分层作业

A层 基础达标练

1. 记为等比数列的前项和.若,，则的值为(  )

A. 24 B. 48 C. 39 D. 36

2. 一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的2倍，且首项为1，中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(  )

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

3. （多选题）已知单调递增的正项等比数列中，，，其公比为，前项和为，则下列选项正确的有(  )

A.  B.  C.  D.

4. 已知等比数列的前项和，则.

5. 设各项均为正数的等比数列的首项，前项和为,且,则公比.

6. （1） 设数列满足,且，记的前项和为,求；

（2） 设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，求.

7. 设是等比数列的前项和，，且，，成等差数列.

（1） 求的通项公式；

（2） 设为实数，为的前项和，为数列的前项和，且，求的值.

B层 能力提升练

8. 已知等比数列的前项和为，若，，则(  )

A. 32 B. 28 C. 48 D. 60

9. 等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列的前项积为,则的最大值为(  )

A.  B.  C. 1 D. 2

10. （多选题）已知等比数列的前项和，则(  )

A. 首项 不确定 B. 公比 C.  D.

11. （多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是(  )

A.  B.

C. 是数列 中的最大项 D.

12. 设是定义在上的恒不为零的函数，且对任意的实数,，都有.若,,则数列的前项和.

13. 复印纸幅面规格采用A系列，其幅面规格为：，，，，，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等份，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等份，便成为规格；…；如此对开至规格.现有，，，，纸各一张，若纸的幅宽为，则纸的面积为，这9张纸的面积之和等于.

14. 已知正项等比数列满足,则的最小值为.

15. 已知是首项为1,公比为2的等比数列,是首项为2,公差为5的等差数列，同时出现在这两个数列中的数按从小到大的顺序排成数列,则

16. 已知一等比数列的前项、前项、前项的和分别，,,求证：.

17. 已知数列的前项和为，且，又数列满足.

（1） 求数列的通项公式.

（2） 当 为何值时，数列是等比数列？并求此时数列的前项和的取值范围.

C层 拓展探究练

18. （多选题）如果有穷数列,,,,（为正整数）满足,,,即,我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.设是项数为的“对称数列”，且1，2，，，，依次为该数列中连续的前项，则数列的前100项和可能的取值为(  )

A.  B.

C.  D.

19. 设等比数列,,,和,,，，记.

（1） 写出一组，，和，，，使得，，是公差不为0的等差数列；

（2） 当时，证明：不可能是公差不为0的等差数列.

第2课时 等比数列前 项和的性质及应用

分层作业

A层 基础达标练

1. C

2. B

3. AD

4. 1 458

5.

 6. （1） 解 因为,

所以,且,

所以为等比数列,且公比,

所以.

（2） 设数列的公比为,则.

因为,

所以是首项为,公比为2的等比数列，

所以.

7. （1） 解 设等比数列的公比为，

由，且，，成等差数列，得

解得

所以.

（2） 由（1）知，，数列是以1为首项，为公比的等比数列，则，由，得，即.

B层 能力提升练

8. D

9. D

10. BCD

[解析]，当时，.由数列为等比数列，可得必定符合，有，可得，数列的通项公式为，，公比.由上述知选项错误.故选.

11. ACD

[解析]由，，和等比数列的性质，可得,.对于，,，则成立，故正确；对于，，则，故错误；对于，当时，，当时，，故是数列中的最大项，故正确；对于，，故正确.故选.

12.

[解析]令,,则.又,所以,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以.

13. ;

[解析]由题意，设规格，则规格,，规格,，,所以，可得，则规格，故其面积为，这9张纸的面积构成首项为，公比为的等比数列，所以这9张纸的面积之和等于.

14. 196

[解析]设公比为,由条件知,即.

显然,所以，,当,即时，等号成立，所以的最小值为196.

15.

[解析]数列中的数等于2的整数次幂,数列中的数被5除余2.注意,,,,被5除的余数依次为1,2,4,3,1,2,4,3,，不难发现，中仅有形如的数被5除余2,从而出现在中,因此，则.

16. 证明 设此等比数列的公比为,首项为,

当时,,,,

所以,

,

所以.

当时,,

,

,

所以

又,

所以.

17. （1） 解 由，当时， ；

当时，，而，故数列的通项公式为

（2） 由，得

若数列为等比数列，则首项为，满足的情况，故，则.因为，所以 是单调递增的，故且，即.

C层 拓展探究练

18. ABD

[解析]由题意知，数列为1,2,,,,,,,,,2,1,且,若,则,故正确；若,则,故错误，正确；若,则,故正确.故选.

19. （1） 解 ，，,，，，此时,，.

（2） 证明 设，,则，假设是公差不为0的等差数列，则由，得，当时，可取1，2.故，

，解得.

所以当时，,

从而；

当时，

又数列是公差不为0的等差数列，矛盾.因此，命题成立.