江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第3章圆锥曲线与方程测评苏教版选择性必修第一册

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第3章测评（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 2. 双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则等于( )A. 14 B. 26 C. 14或26 D. 16或243. 若方程表示椭圆，则的取值范围是( )A. B. C. D. 4. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为 ，两个焦点分别为,，点为椭圆的上顶点， ，则椭圆的短轴长为( )A. 2 B. 4 C. D. 5. 已知动圆与直线相切，且与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A. B. C. D. 6. [2023苏州期中]在抛物线上有三点，，，为其焦点，且为的重心，则( )A. 6 B. 8 C. 9 D. 127. 已知椭圆的左、右焦点分别为,，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于( )A. B. C. D. 8. [2023盐城期末]已知,是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知双曲线过点，且其渐近线的方程为，则下列结论正确的是( )A. 双曲线 的方程为B. 双曲线 的离心率为C. 直线 与双曲线 只有一个公共点D. 直线 与双曲线 有两个公共点10. [2023湛江调研]已知椭圆的上、下焦点分别为,，左、右顶点分别为,，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是( )A. 该椭圆的长轴长为B. 使 为直角三角形的点 共有6个C. 若点 的纵坐标为1，则 的长度为D. 若点 是异于 ， 的点，则直线 与 的斜率之积为11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.设与轴的交点为，为抛物线上异于的任意一点，点在上的射影为，的平分线交轴于点，过点作交于点，过点作，交线段的延长线于点，则( )A. B. C. D. 12. [2023莱芜质检]如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，连接，并延长，分别交于，两点，连接，与的面积分别记为，，则下列命题中正确的为( )A. 若记直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的大小是定值B. 的面积 是定值2C. 线段 ， 长度的平方和 是定值5D. 设 ，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. [2023张家港质检]写一个的值，使曲线是焦点在轴上的双曲线，你写的是.14. 已知椭圆，，是椭圆的左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为，最小值为.15. 根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为.16. 把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点，是圆弧与轴的交点，过点的直线交“曲圆”于，两点，则的周长的取值范围为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点.（1） 求双曲线的渐近线方程；（2） 求抛物线的标准方程.18. （12分）已知双曲线，第一象限内的点在上，双曲线的左、右焦点分别记为，，且，，为坐标原点.（1） 求双曲线的离心率；（2） 若的面积为2，求点的坐标.19. [2023无锡期中]（12分）已知抛物线的焦点为，直线与相交所得线段的长为.（1） 求抛物线的方程.（2） 若不过点的直线与抛物线相交于，两点，请从中点的纵坐标为3；的重心在直线上；这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. （12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，为抛物线的焦点，为直线上任意一点，以点为圆心，为半径的圆与抛物线的准线交于，两点，过点，分别作准线的垂线，交抛物线于点，.（1） 求抛物线的方程；（2） 证明：直线过定点，并求出定点的坐标.21. [2023长沙质检]（12分）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.（1） 求椭圆的方程.（2） 点为椭圆上异于顶点的任意一点，点，分别与点关于原点、轴对称.连接，与轴交于点，并延长交椭圆于点.试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.22. （12分）在平面直角坐标系内，已知抛物线的焦点为，为平面直角坐标系内的点，若抛物线上存在点，使得，则称为的一个“垂足点”.（1） 若点有两个“垂足点”为和，求点的坐标.（2） 是否存在点，使得点有且仅有三个不同的“垂足点”，且点也是双曲线上的点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.第3章测评一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. C2. C3. B4. B5. A[解析]设动圆圆心为，半径为，由题意可得到的距离与到直线的距离相等.由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的一条抛物线，所以,，其方程为.故选.6. D[解析]因为为的重心，所以.设点，，的坐标分别为，，，因为抛物线，为其焦点，所以,所以,,.因为，所以，所以，所以.故选.7. A[解析]因为直线经过左焦点，且斜率为，所以，所以 ，所以 ，所以.设，则.由椭圆的定义可知，即，解得，所以，.由勾股定理，得，故，解得，故椭圆的离心率为.故选.8. B[解析]不妨设的方程为，则的方程为，，因为，所以直线的方程为.由，即.由，即.因为，，所以，所以.故选.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. AC[解析]渐近线.设双曲线的方程为 ，代入得 ，所以双曲线的方程为，故选项正确；,,，离心率为，故选项错误；直线与双曲线的渐近线平行，所以与双曲线只有一个公共点，故选项正确；联立消去并化简，得，所以即直线与双曲线只有一个公共点,故选项错误.故选.10. BCD[解析]由椭圆方程知,,，则椭圆的长轴长为，故选项错误.当轴时，满足为直角三角形，此时点有2个；当轴时，满足为直角三角形，此时点有2个；又因为，满足为直角三角形，此时点可以为左、右顶点,，所以使为直角三角形的点共有6个，故选项正确.若点的纵坐标为1,则，，，故的长度为，故选项正确.设点，则，所以直线与的斜率之积，故选项正确.故选.11. ABD[解析]对于，由抛物线的定义可知，故正确.对于，因为是的平分线，所以.又，所以，所以，所以，故正确.对于，若，则有，从而有，所以，此时为定点，与为抛物线上异于的任意一点矛盾，故错误.对于，因为四边形是矩形，所以.又，所以，故正确.故选.12. AC[解析]易得，设直线的方程为，，，联立消去，得，所以，，所以，所以，故正确.设直线的方程为，则直线的方程为联立解得.因为点在第三象限，所以，，用替换，可得，，所以点到的距离为.又,所以,故错误.，,所以,故正确.联立可得，故，所以，用替换，可得，，所以点到直线的距离为,所以，当且仅当，即时取等号，所以，故错误.故选.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 5（答案不唯一）14. ;[解析]椭圆，所以，，，所以，.如图，点在椭圆内部，因为为椭圆上的点，所以，所以.因为，又，所以，即.15. 12[解析]由，得.设，，由抛物线的性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，，，，所以，所以该光线经过的路程为12.16. （6,[解析]显然直线的斜率不能为0，设直线的倾斜角为 ，，由半椭圆方程为可得，圆弧：的圆心为，半径为2，且恰为椭圆的左焦点，，设“曲圆”与轴的两个交点为，，当直线经过点时，，即有；当直线经过点时，，即有.①当,时，点，分别在圆弧、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，则，的周长；②当,时，点，分别在圆弧、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，且，的周长；③当,时，点，在半椭圆上，的周长.综上，的周长的取值范围为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1） 解 因为双曲线过点，所以，所以，得.又因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为（2） 由（1）得，所以，所以双曲线的右焦点坐标是，所以抛物线的焦点坐标是，所以，所以，所以抛物线的标准方程为.18. （1） 解 因为，，所以，.因为，所以，化为，所以，则，即双曲线的离心率为.（2） 如图，由题意得，.又，解得，，，所以，双曲线的方程为.把代入双曲线的方程，得.又，解得，所以,.19. （1） 解 因为直线与抛物线相交所得线段的长为，所以抛物线过点（由抛物线的对称性得到），则，即，所以抛物线的方程为.（2） 当直线的斜率不存在时，与抛物线相交于，两点，中点的纵坐标为0，选①②或①③或②③均不符合题意，故直线的斜率存在.设，，，由（1）知,.由得，所以.若选择条件①③：因为中点的纵坐标为3，所以，则.因为，所以，则，即，所以.综上，直线的方程为若选择条件②③：因为的重心在直线上，所以，则，即.因为，所以，则，即，所以综上，直线的方程为若选择条件①②：因为中点的纵坐标为3，所以，则.因为的重心在直线上，所以，则，即.两个条件，都只能得出斜率，无法计算出的值，故不能得到直线的方程.20. （1） 解 设抛物线的方程为，依题意，有，得，所以抛物线的方程为.（2） 证明易得,.设，则，，所以圆的方程为.令，得.①显然恒成立.设,,,，由①得,，②直线的斜率为，则直线的方程为，即，代入②，有，即，则直线恒过定点,.21. （1） 解 由已知得，，所以解得故椭圆的方程为.（2） 是.设，，则，，所以，,所以直线的方程为，代入椭圆方程，得，显然是此方程的一个解，另一解为，而，,即为点的横、纵坐标，,所以.故为定值.22. （1） 解 设，由于抛物线的焦点为,，且和是点的“垂足点”，所以且.又,，，,，，所以解得所以点的坐标为,.（2） 假设存在满足条件，设其中的一个“垂足点”为.由于，且,，，所以，即.若点有三个“垂足点”，即关于的方程有三个不相等的实数根，所以方程可化为，且因为，所以解得若点在双曲线上，则，化简，得，即，解得或，此时或，且满足故存在点，使得点有且仅有三个不同的“垂足点”，其坐标为，或,或,或,.