苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程本章综合与测试同步练习题

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程本章综合与测试同步练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(三)　圆锥曲线与方程
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
B　[根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝．]
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线的焦点的坐标为(　　)
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
B　[y2＝2px的准线方程为x＝－，由条件知－＝－1．∴p＝2，即方程为y2＝4x，其焦点坐标为(1，0)．]
3．若双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为y＝3x，则正实数a的值为(　　)
A．9　　B．3　　C．　　D．
D　[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±x．由条件知＝3，解得a＝．]
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为(　　)
A．　　B．2　　C．　　D．2
D　[法一：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x．由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2．故选D．
法二：离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2．故选D．]
5．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 (　　)
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
B　[椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝．又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1．]
6．设P是双曲线－＝1(a＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　)
A．1或5　　B．6　　C．7　　D．8
C　[双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2．又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7．]
7．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
D　[根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，
∴⇒
∴xy＝·＝⇒b2＝12，故双曲线的方程为－＝1，故选D．]
8．我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝(　　)

A．90°　　B．60°　　C．45°　　D．30°
A　[设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知，得A(a，0)，B(0，b)，F(－c，0)，
则＝(－c，－b)，＝(a，－b)．
∵离心率e＝＝，
∴c＝a，b＝
＝＝a，
∴·＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．对于双曲线C1：－y2＝1与双曲线C2：y2－＝1的下列说法中，正确的是(　　)
A．它们的实轴长和虚轴长相同
B．它们的焦距相同
C．它们的渐近线相同
D．若它们的离心率分别为e1，e2，那么＋＝1
BCD　[A中，C1的实轴长、虚轴长分别为4和2，而C2的实轴长和虚轴长分别为2和4，故A错误；B中，C1，C2的焦距均为2c＝2＝2，故B正确；C中，C1，C2的渐近线方程均为y＝±x，故C正确．D中，C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，这里＋＝＋＝1．故D正确，故应选BCD．]
10．给定下列四条曲线中，与直线x＋y－＝0仅有一个公共点的曲线是(　　)
A．x2＋y2＝ B．＋＝1
C．－＝1 D．y2＝－4x
ACD　[A中，圆心到直线距离d＝＝r．故直线与圆相切，仅有一个公共点，∴A正确；B中，由
得13x2－18x＋9＝0，Δ＞0，∴直线与椭圆相交，有两个交点，∴B错误；C中，由于直线平行于双曲线的渐近线，故只有一个交点，∴C正确；D中，
由得x2＋2x＋5＝0，这里Δ＝0．故直线与抛物线相切．
∴D正确，故应选ACD．]
11．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线不可能的是下图中的(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　D
ABD　[方程化为y＝ax＋b和＋＝1．从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a＜0，b＜0矛盾，所以B不可能；D中直线有a＜0，b＞0矛盾，也不可能；再看A中双曲线的a＜0，b＞0，但直线有a＞0，b＞0，也矛盾，所以A也不可能；C中双曲线的a＞0，b＜0和直线中a，b一致．所以C是可能的，故应选ABD．]
12．已知点M(1，0)，A，B是椭圆＋y2＝1上的动点，当·取下列哪些值时，可以使·＝0(　　)
A．3　　B．6　　C．9　　D．12
ABC　[设A(x0，y0)，且·＝0．
因为·＝·(＋)＝2＋·＝2＝(x0－1)2＋y，
将A点坐标代入椭圆，得＋y＝1，
所以y＝1－，代入上式可得·＝(x0－1)2＋1－＝－2x0＋2＝＋(－2≤x0≤2)．
所以(·)min＝，(·)max＝9．对照选项，·可以取ABC．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为________．
　[由抛物线y2＝8x可得其焦点为(2，0)，
又双曲线－＝1的渐近线方程为x±y＝0，∴所求距离为d＝＝．]
14．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为________．
－＝1　[法一：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．又点(3，2)在双曲线上，故－＝1．又a2＋b2＝16＋4＝20，得a2＝12，b2＝8，则双曲线的标准方程为－＝1．
法二：设双曲线的标准方程为－＝1(－4 15．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝________．
6　[法一：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)．
∵N点在y轴上，设N(0，yN)．又∵M为FN的中点，
∴M，即M．
又∵M点在抛物线y2＝8x上，
∴＝8×1，得y＝32，
∴|FN|＝＝6．
法二：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2．如图，设l与x轴的交点为A，分别过N，M作直线l的垂线，垂足分别为C，B．由M为FN的中点，易知线段BM为梯形AFNC的中位线．

∵|CN|＝2，|AF|＝4，∴|MB|＝3．又由抛物线的定义得|MB|＝|MF|，且|MN|＝|MF|，∴|NF|＝|NM|＋|MF|＝2|MF|＝2|MB|＝6．]
16．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为_____________．
(第一空2分，第二空3分)
－1　2　[如图，六边形ABF1CDF2为正六边形，直线OA、OB是双曲线的渐近线，则△AOF2是正三角形，∴直线OA的倾斜角为，∴其斜率k＝＝，∴双曲线的离心率e1＝＝＝2；连接F1A，∵正六边形的边长为c，∴|F1A|＝c．由椭圆的定义得|F1A|＋|F2A|＝2a，即c＋c＝2a，∴椭圆的离心率e2＝＝＝－1．]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程．
[解]　因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2．双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b．所以y＝±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1．
18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
[解]　依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×．∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x．
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1．
19．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．
[解]　(1)|PF1|·|PF2|≤＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为100．
(2)S＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝，①
由题意知：

∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2．②
由①②得c＝6，∴b＝8．
20．(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．

(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2．证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
[证明]　(1)依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，
得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
直线AO的方程为y＝x，
BD的方程为x＝x2，
则交点D的坐标为．
又x1x2＝－8，x＝4y1，
则有＝＝＝－2，
即D点在定直线y＝－2上(x≠0)．
(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0．
设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，
化简整理，得b＝－a2，故切线的方程为y＝ax－a2．
分别令y＝2，y＝－2，
得N1，N2，
则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8，
即|MN2|2－|MN1|2为定值8．
21．(本小题满分12分)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．
(1)求椭圆的方程．
(2)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
[解]　(1)设椭圆的焦距为2c，由已知得＝．又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b．由|AB|＝＝得a＝3，b＝2．所以椭圆的方程为＋＝1．
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)．由题意，x2＞x1＞0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1．易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组消去y，可得x2＝．由方程组消去y，可得x1＝．由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－或k＝－．当k＝－时，x2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．所以k的值为－．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解]　(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
∵A在椭圆C上，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝2，
∴a＝，b2＝a2－c2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y＝2x＋t，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，
由，消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
∴y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，
故y0＝＝且－3＜t＜3，
由＝，知四边形PMQN为平行四边形，
∴y0＝＝，得y4＝，又－3＜t＜3，可得－＜y4＜－1，∴点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l．