【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一章末检测试卷(三)【讲义+习题】

章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.
2．椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为椭圆方程为＋＝1，
所以a＝3，c＝＝＝.
所以e＝＝.
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A. B. C．1 D.
答案　B
解析　由题意可得抛物线的焦点坐标为(1，0)，
双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.
4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　)
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－
C．x2＝y－ D．x2＝2y－2
答案　A
解析　设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，
则y0＝x，又F(0，1)，所以
所以代入y0＝x得2y－1＝(2x)2，化简得x2＝2y－1.
5．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)
A．1 B．0 C．－2 D．－
答案　C
解析　设点P(x0，y0)，则x－＝1，
由题意得A1(－1，0)，F2(2，0)，
则·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)
＝x－x0－2＋y，
由双曲线方程得y＝3(x－1)，
故·＝4x－x0－5(x0≥1)，
可得当x0＝1时，·有最小值－2.
6．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，过点(4，0)的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(2，－1)，则椭圆E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析 　 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减得＋＝0，
因为AB的中点坐标为(2，－1)，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，
所以＝－＝，
又kAB＝＝＝，
所以＝，即a＝2b，所以e＝＝＝.
7．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D．3
答案　A
解析　如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，B(0，b)为上顶点，F(c，0)为右焦点，设D(x，y)，

由＝2，
得(c，－b)＝2(x－c，y)，即
解得所以D.
因为点D在椭圆上，所以＋＝1，
解得a2＝3c2，即e2＝，所以e＝.
8.如图所示，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　)

A．2 B. C. D.
答案　C
解析　∵AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，
不妨令AB＝3，BF2＝4，AF2＝5，
∵AB2＋BF＝AF，∴∠ABF2＝90°，
又由双曲线的定义得BF1－BF2＝2a，AF2－AF1＝2a，∴AF1＋3－4＝5－AF1，∴AF1＝3，
∴2a＝AF2－AF1＝2，∴a＝1，BF1＝6.
在Rt△BF1F2中，F1F＝BF＋BF＝36＋16＝52，又F1F＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝，∴e＝.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝－4x
C．x2＝－4y D．x2＝－2y
答案　AC
解析　直线2x－y－1＝0与x轴的交点坐标是，即抛物线的焦点坐标是，
此时抛物线的标准方程是y2＝2x，
与y轴的交点坐标是(0，－1)，
抛物线的焦点坐标是(0，－1)，
此时抛物线的标准方程是x2＝－4y.
10.如图所示，一个底面半径为3的圆柱被与其底面所成的角θ＝30°的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是(　　)

A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为
C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为＋＝1
答案　ABD
解析　由题意易知椭圆的短半轴b＝3，
∵截面与底面所成的角为θ＝30°，
∴椭圆的长轴长为2a＝＝4，
∴a＝2，c＝＝＝，离心率为＝＝，b2＝9，
当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为x轴，短轴为y轴时，
则椭圆的方程为＋＝1.
11．已知双曲线C：－＝1，则下列说法正确的是(　　)
A．直线y＝x＋1与双曲线有两个交点
B．双曲线C与－＝1有相同的渐近线
C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D．双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0)
答案　BC
解析　A错误，因为直线y＝x＋1与渐近线y＝x平行，与双曲线只有一个交点；B正确，两曲线渐近线方程均为y＝±x；C正确，右焦点(，0)到渐近线y＝x的距离为3；D错误，因为c2＝a2＋b2＝13，所以双曲线焦点坐标为(，0)和 (－，0)．
12．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有(　　)
A．△PF1F2的周长为4＋2
B．当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2中PF1＝2
C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形
答案　AD
解析　由椭圆的方程可得，a＝2，b＝，c＝，
对于选项A，△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝4＋2，故选项A正确；
对于选项B，当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x轴，令x＝－，可得y＝±1，所以PF1＝1，故选项B不正确；
当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为b2×tan 30°＝2×＝，故选项C不正确；
当点P位于椭圆的上、下顶点时，PF1＝PF2＝a＝2，而F1F2＝2c＝2，此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形，当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，如图所示，沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝2px(p>0)反射后，与x轴相交于点
A(2，0)，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．

答案　4
解析　依题意，A(2，0)为该抛物线的焦点，则＝2，得p＝4.
∴该抛物线的焦点到准线的距离为4.
14．已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，顶点Q(0，2)，P是双曲线C右支上的动点，则PF1＋PQ的最小值等于________．
答案　6
解析　结合题意，绘制图象，

根据双曲线的性质可知PF1－PF2＝2a＝2，
得到PF1＝PF2＋2，
所以PF1＋PQ＝PF2＋PQ＋2≥QF2＋2，
而Q(0，2)，F2(2，0)，
所以QF2＝＝4，
所以最小值为6.
15．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
答案　－1
解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，F2的坐标为(c，0)，P点坐标为(不妨取第一象限内点P)，由题意知PF2＝F1F2，所以＝2c，a2－c2＝2ac，2＋2－1＝0，解得＝±－1，负值舍去，所以e＝＝－1.
16．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案　
解析　根据题意，得a2＝9，b2＝16.
所以c＝＝5，且A(3，0)，F(5，0)．
因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
所以直线BF的方程为y＝±(x－5)．
①若直线BF的方程为y＝(x－5)，
与渐近线y＝－x交于点B，
此时S△AFB＝AF·|yB|＝×2×＝；
②若直线BF的方程为y＝－(x－5)，与渐近线y＝x交于点B，
此时S△AFB＝AF·|yB|＝×2×＝.
因此，△AFB的面积为.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足PF2＝F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
解　设PF1的中点为M，连接F2M(图略)．
由PF2＝F1F2，
故F2M⊥PF1，即F2M＝2a.
在Rt△F1F2M中，F1M＝＝2b，
故PF1＝4b.
根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，
即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
故双曲线的渐近线方程是y＝±x，即4x±3y＝0.
18．(12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2，一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
解　①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝，
设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.
因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为，
所以b2＝36，n2＝4.所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
19．(12分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
(1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；
(2)过点(4，0)的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B两点，试探究是否总有⊥？请说明理由．
解　(1)因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件①符合，条件②不符合．
又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，
所以条件④不符合题意．
当选择条件③时，AF＝xA＋1＝1＋1＝2，
此时符合题意．
故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.
(2)由题意得直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消x得，y2－4ty－16＝0，
所以Δ>0恒成立，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，
则x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝－16t2＋16t2＋16＝16，
所以·＝x1x2＋y1y2＝16－16＝0，
所以⊥.
综上所述，无论l如何变化，总有⊥.
20．(12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程；
(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．
解　(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，p>0，其准线方程为x＝－，因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，
所以4＋＝6，所以p＝4，
所以此抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
设直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有解得k>－1，且k≠0，且x1＋x2＝＝4，解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以所求k的值为2.
21．(12分)设有三点A，B，P，其中点A，P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，A(0，2)，
B(2，0)，且＋＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的右焦点的直线l的倾斜角为45°，直线l与椭圆C相交于E，F两点，求△OEF的面积．
解　(1)由题意知，b＝2，椭圆方程为＋＝1，设P(x，y)，A(0，2)，B(2，0)，由＋＝，
得(2，2)＝(x，y)，则
可得＋＝1，即a2＝8.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)c＝＝2.所以直线l的方程为y＝x－2，代入椭圆方程＋＝1，
整理得3x2－8x＝0，则x＝0或x＝.
所以交点坐标为(0，－2)和，
所以EF＝＝，
O到直线l的距离d＝＝，
所以S△OEF＝××＝.
22．(12分)已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过椭圆C1：＋＝1的右顶点作直线交曲线C于A，B两点，其中O为坐标原点．
①求证：OA⊥OB；
②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点O到直线DE的距离为定值．
(1)解　设P(x，y)(x≥0)，
由题意，＝x＋1(x≥0)，
两边平方，整理得y2＝4x.
∴所求点P的轨迹方程为C：y2＝4x.
(2)证明　①设过椭圆的右顶点(4，0)的直线AB的方程为x＝my＋4.
代入抛物线方程y2＝4x，得y2－4my－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
∴x1x2＋y1y2＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0.
∴OA⊥OB.
②设D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线DE的方程为x＝ty＋λ，代入＋＝1，
得(3t2＋4)y2＋6tλy＋3λ2－48＝0.
于是y3＋y4＝－，y3y4＝.
从而x3x4＝(ty3＋λ)(ty4＋λ)＝.
∵OD⊥OE，∴x3x4＋y3y4＝0.
代入，整理得7λ2＝48(t2＋1)．
∴原点到直线DE的距离d＝＝为定值．