数学选择性必修第一册3.3 抛物线当堂达标检测题

3.3.2 抛物线的几何性质

分层作业

A层 基础达标练

1. 顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(  )

A.  B.  C.  D.

2. 若直线与抛物线只有一个公共点，则实数的值为(  )

A.  B. 0 C. 或0 D. 8或0

3. 在同一平面直角坐标系中，方程与的曲线大致为(  )

A.  B.  C.  D.

4. 已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若线段中点的纵坐标为2，则直线的斜率为.

5. 一条光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为.

6. 已知抛物线上一点到焦点的距离为4.

（1） 求实数的值；

（2） 若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.

B层 能力提升练

7. 已知直线过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线的条数为(  )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，线段的中点为，则的方程为(  )

A.  B.  C.  D.

9. 已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点.若四边形是矩形，则(  )

A.  B.  C.  D.

10. 设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的方程为(  )

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

11. 如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，，若，且，则抛物线的方程为(  )

A.  B.  C.  D.

12. 点在直线上，若存在过点的直线交抛物线于，两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是(  )

A. 直线 上的所有点都是“ 点”

B. 直线 上仅有有限个点是“ 点”

C. 直线 上的所有点都不是“ 点”

D. 直线 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“ 点”

13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且 ，，则抛物线的方程为.

14. 已知过点的直线与抛物线交于,两点，，则面积的最小值为.

15. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且.

（1） 求抛物线的标准方程.

（2） 在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

C层 拓展探究练

16. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线，如图，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为.

17. 已知抛物线：的焦点为，,在抛物线上，且.

（1） 求抛物线的方程及的值；

（2） 若过点的直线与抛物线相交于，两点，为的中点，是坐标原点，且，求直线的方程.

3.3.2 抛物线的几何性质

分层作业

A层 基础达标练

1. D

2. C

3. D

4. 1

5.

6. （1） 解由题意可知，解得.

（2） 由（1）知抛物线，则焦点坐标为.

由题意知，直线的斜率不为0，设直线，,，

联立消去，得，则,,所以，

所以，解得，所以直线的方程为或.

B层 能力提升练

7. D

8. A

9. C

10. C

[解析]抛物线的焦点为,.设，由抛物线的定义，知，得，则以为直径的圆的圆心横坐标为，而圆的半径为，于是得该圆与轴相切于点，得圆心的纵坐标为2，则点的纵坐标为4，即,，从而有，整理，得，解得或，所以抛物线的方程为或.故选.

11. A

[解析]如图，分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，,设与轴交于点.设，因为,所以.由抛物线的定义得，故 .在中，因为，所以，，所以，所以，所以.因为，，所以，即，所以，所以抛物线的方程为.故选.

答图

12. A

[解析]如图,

设,，由题意可知点是的中点，则.

因为,在上，

所以

消去，整理，得关于的方程.因为恒成立，所以方程恒有实数解，即对于任意的点，都存在使得.故选.

13.

[解析]如图，设准线与轴的交点为，准线方程为，焦点为,.由抛物线的定义知，又 ，所以为等边三角形，且 ，所以,则.又因为，所以，故抛物线的方程为.

14.

[解析]设直线的方程为，，，联立消去，得，所以，，所以，所以当时，取得最小值，最小值为.

15. （1） 解 由题意，设所求抛物线的标准方程为，联立消去，得.设，，则，.由，得，解得或（舍去），

所以抛物线的标准方程为.

（2） 设的中点为，则,.

假设在轴上存在满足条件的点，连接.

因为为正三角形，所以，即，解得，

所以,，

所以.

又，

所以在轴上不存在一点，使为正三角形.

C层 拓展探究练

16.

[解析]由抛物线的光学性质可得，必过抛物线的焦点,.

当直线的斜率不存在时，易得;

当直线的斜率存在时，设的方程为,,,

联立得,

整理得，

所以,，

所以.

综上，当直线与轴垂直时，弦长最短.

又因为两平行光线间的最小距离为3，故,所以抛物线的方程为.

17. （1） 解 因为抛物线的焦点为，则其准线方程为.

又,在抛物线上，

由抛物线的定义知，解得，即抛物线的方程为.

将,的坐标代入，得，所以抛物线的方程为，的值为2.

（2） 设，，，由（1）知，显然直线的斜率存在，设直线，由消去，得，显然，，解得，且，

于是得,.

而，且点，，，都在直线上，从而得，则有.又是的中点，即，从而得，即，整理，得，故有，解得或，均满足题意，所以直线的方程为或